Continuité d'une fonction en un point
Une entreprise de livraison de colis facture un envoi de $x$ kg à $P(x) = 2 + 1{,}5\,x$ euros jusqu'à 2 kg, puis à $P(x) = 1 + 2\,x$ euros au-delà. Quand le colis passe de 2 kg à 2,001 kg, le prix fait-il un bond ? Pour répondre, il faut un outil précis : la continuité en un point. Tu as vu en première la notion de nombre dérivé. Ici, c'est la notion de limite qui fait tout le travail.
Continuité en un point : la définition
Intuitivement, une fonction est continue en $a$ si sa courbe se trace « sans lever le crayon » autour du point d'abscisse $a$. Pour le démontrer, on traduit cette idée avec les limites.
Cette égalité contient trois informations : $f(a)$ existe, la limite en $a$ existe et est finie, et les deux valeurs sont égales. Si l'une manque, il y a une rupture dans la courbe.
Les fonctions de référence (polynômes, fractions rationnelles, racine carrée, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus) sont continues en tout point de leur ensemble de définition. On l'admet : le programme ne demande pas de le justifier à chaque fois.
Pourquoi ? Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f(a+h) - f(a) = h \times \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ tend vers $0 \times f'(a) = 0$ quand $h \to 0$, donc $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$. La réciproque est fausse : $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ sans y être dérivable.
Revenons au colis : pour $x \to 2^-$, $P(x) \to 2 + 1{,}5 \times 2 = 5$ ; pour $x \to 2^+$, $P(x) \to 1 + 2 \times 2 = 5$ ; et $P(2) = 5$. Le prix ne fait donc aucun bond à 2 kg.
Observer la courbe représentative suivante de la fonction $f(x)$ et analyser son comportement au point d'abscisse $x = 2$. Indiquer si la fonction est continue en ce…
Observer la courbe représentative suivante de la fonction $f(x)$ et analyser son comportement au point d'abscisse $x = 2$. Indiquer si la fonction est continue en ce point en vérifiant les trois conditions de continuité : existence de $f(2)$, existence de $\lim_{x \to 2} f(x)$ et égalité des deux valeurs.
Vérifier si la fonction $f(x) = e^{x-1}$ est continue au point $x = 1$. Pour que la réponse soit complète, vous devez vérifier si la valeur de la fonction en ce point…
Vérifier si la fonction $f(x) = e^{x-1}$ est continue au point $x = 1$. Pour que la réponse soit complète, vous devez vérifier si la valeur de la fonction en ce point coïncide avec la limite de la fonction quand $x$ tend vers 1.
Un drone de surveillance suit une trajectoire dont la hauteur est définie par la fonction $h(t)$ (en mètres) en fonction du temps $t$ (en secondes). À la suite d'un…
Un drone de surveillance suit une trajectoire dont la hauteur est définie par la fonction $h(t)$ (en mètres) en fonction du temps $t$ (en secondes). À la suite d'un changement du système de contrôle, la fonction change en $t = 5$ :
$h(t) = \begin{cases} t^2 - 10 & \text{si } 0 \le t < 5 \\ 3t & \text{si } t \ge 5 \end{cases}$
Vérifier si la transition de hauteur est continue à l'instant $t = 5$ afin d'éviter que le drone ne subisse un mouvement brusque.
Limites à gauche, limites à droite, types de discontinuité
Quand la formule change au point étudié, ou quand la fonction n'y est pas définie, on calcule séparément la limite à gauche $\lim\limits_{x \to a^-} f(x)$ et la limite à droite $\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$.
Pourquoi ? La limite en $a$ existe exactement quand les deux limites latérales existent et sont égales. Il reste à vérifier que cette valeur commune est $f(a)$.
Quand $f$ n'est pas continue en $a$, on distingue trois situations.
| Situation | Ce qui se passe | Nom usuel |
|---|---|---|
| Les limites à gauche et à droite sont finies et égales, mais $\neq f(a)$ ou $f(a)$ n'existe pas | un « trou » dans la courbe | discontinuité avec limite finie : on peut prolonger par continuité |
| Les limites à gauche et à droite sont finies mais différentes | la courbe fait un saut | discontinuité par saut fini (amplitude = écart entre les deux limites) |
| Une limite au moins est infinie | la courbe part à l'infini | limite infinie : asymptote verticale $x = a$ |
Étudier la continuité de la fonction $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ au point $x = 1$. Si elle présente une discontinuité, indiquer de quel type elle est (limite finie,…
Étudier la continuité de la fonction $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ au point $x = 1$. Si elle présente une discontinuité, indiquer de quel type elle est (limite finie, saut fini ou limite infinie) et déterminer s'il existe un moyen de redéfinir la fonction pour qu'elle soit continue en ce point.
Soit la fonction définie par morceaux suivante. Calculer les limites à gauche et à droite au point de raccordement $x = 3$ et déterminer si la fonction est continue en…
Soit la fonction définie par morceaux suivante. Calculer les limites à gauche et à droite au point de raccordement $x = 3$ et déterminer si la fonction est continue en ce point :
$f(x) = \begin{cases} 2x - 4 & \text{si } x < 3 \\ \sqrt{x + 1} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$
Analyser graphiquement la continuité de la fonction représentée ci-dessous. Identifier la valeur de $x$ en laquelle la fonction présente une discontinuité et la classer…
Analyser graphiquement la continuité de la fonction représentée ci-dessous. Identifier la valeur de $x$ en laquelle la fonction présente une discontinuité et la classer d'après le comportement de ses branches de part et d'autre.
Outils pour calculer les limites en un point
Dans la plupart des exercices, la substitution donne une forme indéterminée « $\dfrac{0}{0}$ ». Deux techniques suffisent.
Troisième technique : reconnaître un nombre dérivé. Si $g$ est dérivable en $0$ avec $g(0) = 0$, alors $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{x} = g'(0)$, car $\dfrac{g(x) - g(0)}{x - 0}$ est le taux de variation qui définit $g'(0)$. Ainsi $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{kx} - 1}{x} = k$, $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ et $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1$. De même, comme $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, on a $\dfrac{\tan x}{x} = \dfrac{\sin x}{x} \times \dfrac{1}{\cos x} \to 1 \times 1 = 1$ : $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1$. Plus généralement, $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{kx} - 1}{\tan x} = k$ : on divise numérateur et dénominateur par $x$.
Considérer la fonction réelle définie par : $$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ 0,25 & \text{si } x = 0 \end{cases}$$ a) Estimer :…
Considérer la fonction réelle définie par :
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ 0,25 & \text{si } x = 0 \end{cases}$$- a) Estimer : avant tout développement algébrique formel, approcher le comportement du taux de variation près de l'origine. Pour cela, évaluer numériquement l'expression $\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ pour des valeurs proches de zéro de part et d'autre (par exemple avec $x = 0,1$, $x = 0,01$, $x = -0,1$ et $x = -0,01$). À partir de ces résultats, formuler une conjecture argumentée : pensez-vous que la fonction soit continue en $x = 0$ ?
- b) Vérifier : démontrer analytiquement votre conjecture en levant l'indétermination $\lim_{x \to 0} f(x)$ par multiplication par l'expression conjuguée. Vérifier de façon ordonnée si les trois conditions exigées par la définition de la continuité en $x = 0$ sont remplies.
- c) Évaluer : comparer le résultat algébrique exact avec les approximations numériques calculées au début et réfléchir au risque de conclure à la continuité d'une fonction en se fondant uniquement sur un tableau fini de valeurs.
On teste un nouveau prototype de moteur dont l'accélération $a$ (en $m/s^2$) dépend du temps $t$ (en secondes) selon l'expression : $$a(t) = \begin{cases} t^2 + m &…
On teste un nouveau prototype de moteur dont l'accélération $a$ (en $m/s^2$) dépend du temps $t$ (en secondes) selon l'expression :
$$a(t) = \begin{cases} t^2 + m & \text{si } 0 \leq t < 2 \\ \frac{t-2}{\sqrt{t+7} - 3} & \text{si } t > 2 \end{cases}$$Calculer la valeur de $m$ pour que l'accélération ne subisse pas de sauts brusques (soit continue) à l'instant $t = 2$ s.
Une entreprise de télécommunications règle la puissance d'une antenne 5G. La perte de signal $L$ (en décibels) dépend de la distance $d$ (en km) selon l'expression :…
Une entreprise de télécommunications règle la puissance d'une antenne 5G. La perte de signal $L$ (en décibels) dépend de la distance $d$ (en km) selon l'expression :
$L(d) = \begin{cases} \frac{k \cdot \ln(d+1)}{d} & \text{si } 0 < d < 1 \\ \sqrt{d^2 + 3} - a & \text{si } d \geq 1 \end{cases}$
On exige que la transition de puissance soit douce et continue afin de ne pas interrompre les appels à la limite de 1 km. Calculer les valeurs de $k$ et $a$ sachant que, lorsque la distance tend vers 0 km, la perte de signal tend vers 2 dB.
Fonctions définies par morceaux : déterminer des paramètres
C'est l'exercice le plus classique : une fonction définie par morceaux contient des lettres, et on cherche leurs valeurs pour que la courbe se « recolle » sans saut.
Pourquoi ? Imposer l'égalité des limites latérales et de $f(a)$, c'est imposer que les deux morceaux se rejoignent exactement à la même hauteur.
Dans l'énoncé, on te demande parfois en plus de classer ce qui se passe quand le paramètre ne convient pas : c'est le tableau de la section précédente (saut fini, limite finie, limite infinie).
Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la fonction $g(x)$ soit continue sur toute la droite réelle $\mathbb{R}$ :…
Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la fonction $g(x)$ soit continue sur toute la droite réelle $\mathbb{R}$ :
$g(x) = \begin{cases} x + k & \text{si } x \le 2 \\ x^2 - 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$
Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que la fonction $f(x)$ soit continue sur tout $\mathbb{R}$ : $$f(x) = \begin{cases} \frac{x+2}{x-1} & \text{si } x < -2 \\ a…
Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que la fonction $f(x)$ soit continue sur tout $\mathbb{R}$ :
$$f(x) = \begin{cases} \frac{x+2}{x-1} & \text{si } x < -2 \\ a \cdot x + b & \text{si } -2 \leq x \leq 3 \\ \sqrt{x^2 + 7} & \text{si } x > 3 \end{cases}$$Expliquer en détail la démarche suivie, en vérifiant l'égalité des limites à gauche et à droite en chaque point de changement de branche.
Une équipe d'ingénieurs en robotique a programmé le mouvement d'un bras mécanique. La vitesse de l'extrémité du bras (en m/s) suit la trajectoire :…
Une équipe d'ingénieurs en robotique a programmé le mouvement d'un bras mécanique. La vitesse de l'extrémité du bras (en m/s) suit la trajectoire :
$v(t) = \begin{cases} \frac{\sqrt{t+5}-3}{t-4} & \text{si } 0 \leq t < 4 \\ \frac{a}{12} & \text{si } t = 4 \\ \frac{t^2 - 16}{t^2 - 3t - 4} \cdot b & \text{si } t > 4 \end{cases}$
Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que le mouvement du robot soit continu (sans à-coups brusques) à l'instant $t = 4$ secondes.
Valeur absolue et continuité
La valeur absolue change d'expression là où son argument s'annule, comme une fonction définie par morceaux. Pour l'étudier on la « supprime » par intervalles.
Pourquoi ? Une valeur absolue est une distance, donc positive : quand l'expression est négative, on la change de signe.
Lors d'un devoir de terminale, on demande d'étudier la continuité au point $x = 1$ de la fonction : $$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{|x - 1|} & \text{si } x \neq 1…
Lors d'un devoir de terminale, on demande d'étudier la continuité au point $x = 1$ de la fonction :
$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{|x - 1|} & \text{si } x \neq 1 \\ 2 & \text{si } x = 1 \end{cases}$$Marc écrit la réponse suivante dans sa copie :
« Comme en remplaçant $x = 1$ dans la première branche on obtient $\frac{0}{0}$, je factorise le numérateur sous la forme $(x - 1)(x + 1)$. Je simplifie le facteur $(x - 1)$ avec le dénominateur $|x - 1|$, de sorte que l'expression simplifiée est $x + 1$. En calculant la limite quand $x \to 1$, j'obtiens $1 + 1 = 2$. Comme cette limite est égale à $f(1) = 2$, la fonction est continue en $x = 1$ ».
Votre tâche consiste à :
- a) Identifier et expliquer les deux erreurs conceptuelles commises par Marc (l'une algébrique, relative à la simplification de la valeur absolue, et l'autre relative à la définition formelle de la limite).
- b) Corriger l'exercice : écrire la fonction par morceaux en supprimant les barres de valeur absolue au voisinage de $x = 1$, calculer rigoureusement les limites à gauche et à droite $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ et $\lim_{x \to 1^+} f(x)$, et conclure en justifiant si $f$ est continue en $x = 1$, en indiquant le type de discontinuité le cas échéant.
Soit la fonction : $$f(x) = \frac{x^2 - 1}{|x| - 1}$$ Étudier sa continuité aux points $x = 1$ et $x = -1$. S'il existe des discontinuités, indiquer de quel type elles…
Soit la fonction :
$$f(x) = \frac{x^2 - 1}{|x| - 1}$$Étudier sa continuité aux points $x = 1$ et $x = -1$. S'il existe des discontinuités, indiquer de quel type elles sont et s'il existe un moyen de redéfinir la fonction pour les supprimer.
Étudier la continuité de la fonction suivante sur tout son ensemble de définition, en classant en détail chacun de ses points de discontinuité :…
Étudier la continuité de la fonction suivante sur tout son ensemble de définition, en classant en détail chacun de ses points de discontinuité :
$f(x) = \dfrac{|x^2 - 1|}{x^2 - 3x + 2}$
Ensuite, s'il existe un point où la discontinuité est évitable, proposer une redéfinition de la fonction en ce point afin d'en faire une fonction continue en celui-ci. S'il n'y en a aucun, le justifier.
Exponentielles, logarithmes et formes en $1^\infty$
Avec des exponentielles de $\dfrac{1}{x}$, les limites à gauche et à droite peuvent être finies mais différentes, alors que la fonction a l'air « sage ».
Pour une forme en « $1^\infty$ », on passe à l'exponentielle : $u^v = \mathrm{e}^{v \ln u}$, puis on utilise $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\ln(1 + h)}{h} = 1$.
Soit la fonction $f(x) = \frac{1}{x + 4}$. Justifier pourquoi elle n'est pas continue au point $x = -4$. Pour cela, calculer les limites à gauche et à droite…
Soit la fonction $f(x) = \frac{1}{x + 4}$. Justifier pourquoi elle n'est pas continue au point $x = -4$. Pour cela, calculer les limites à gauche et à droite $\lim_{x \to -4^-} f(x)$ et $\lim_{x \to -4^+} f(x)$ et décrire le type de discontinuité qu'elle présente.
Étudier la continuité de la fonction $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$ au point $x = 0$. Pour cela, calculer les limites à gauche et à droite $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ et…
Étudier la continuité de la fonction $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$ au point $x = 0$. Pour cela, calculer les limites à gauche et à droite $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ et $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. Quel type de discontinuité la fonction présente-t-elle en ce point ?
Soit la fonction $f(x) = \left( \frac{2x^2 + 3}{2x^2 - 1} \right)^{ax^2}$. On demande : a) Déterminer la valeur du paramètre $a \in \mathbb{R}$ pour que…
Soit la fonction $f(x) = \left( \frac{2x^2 + 3}{2x^2 - 1} \right)^{ax^2}$. On demande :
- a) Déterminer la valeur du paramètre $a \in \mathbb{R}$ pour que $\lim_{x \to \infty} f(x) = e^2$.
- b) Avec la valeur de $a$ obtenue à la question précédente, on définit une nouvelle fonction $g(x)$ telle que :
$g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \ge 1 \\ \frac{x^2 + bx + c}{x - 1} & \text{si } x < 1 \end{cases}$
Déterminer $b$ et $c$ pour que $g(x)$ soit continue en $x = 1$.
Une application de la continuité : le théorème des valeurs intermédiaires
La continuité sert à prouver qu'une équation $f(x) = k$ a une solution sans la calculer. On y reviendra dans le chapitre sur la continuité sur un intervalle ; voici l'essentiel.
Pourquoi ? Une courbe continue qui passe d'une hauteur $f(a)$ à une hauteur $f(b)$ doit traverser toutes les hauteurs intermédiaires. Si elle ne fait que monter, elle ne traverse chaque hauteur qu'une fois.
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour démontrer que les courbes représentatives des fonctions $f(x) = \ln(x)$ et $g(x) = e^{-x}$ se coupent en au moins…
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour démontrer que les courbes représentatives des fonctions $f(x) = \ln(x)$ et $g(x) = e^{-x}$ se coupent en au moins un point dans l'intervalle $]1 ; e[$. Justifier si ce point d'intersection est unique dans cet intervalle en s'appuyant sur le sens de variation des fonctions.