Types de fonctions

L'ensemble de définition d'une fonction est fondamental pour sa représentation. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions transcendantes suivantes :

1. a) $f(x) = \ln(x^2 - 1)$
2. b) $g(x) = e^{\frac{1}{x}}$
3. c) $h(x) = \sqrt{x + 5}$

Expliquer brièvement pourquoi il existe des restrictions dans chaque cas.

Déterminer la parité des fonctions suivantes en justifiant mathématiquement si elles sont paires ($f(x) = f(-x)$), impaires ($f(-x) = -f(x)$) ou ni l'un ni l'autre :

1. a) $f(x) = x^2 \cdot \cos(x)$
2. b) $g(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$
3. c) $h(x) = e^x - x$

Soit la fonction polynôme $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$. Réaliser une étude élémentaire de son comportement en suivant les étapes suivantes :

1. a) Calculer les coordonnées des points d'intersection avec les axes du repère.
2. b) Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance à l'aide de la dérivée première $f'(x)$.
3. c) Déterminer les coordonnées $(x, y)$ de ses maximums et minimums locaux.

Soit la fonction $f(x) = x^4 - 2x^2$. Étudier sa convexité en suivant les étapes ci-dessous :

1. a) Calculer la dérivée seconde $f''(x)$.
2. b) Déterminer les intervalles de convexité ($\cup$) et de concavité ($\cap$).
3. c) Déterminer les points d'inflexion de la fonction.

Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que la fonction $f(x) = ax^3 + bx^2 - x + 4$ admette un point d'inflexion en $x = 1$ et que le coefficient directeur de la tangente en ce point soit $1$. Une fois les paramètres trouvés :

1. a) Étudier le sens de variation de la fonction obtenue.

1. b) Déterminer si elle admet un maximum ou un minimum local.

1. c) Justifier si la fonction admet des asymptotes.

Considérer la fonction rationnelle $f(x) = \frac{2x + 4}{x - 3}$. Pour comprendre sa structure avant de la représenter, analyser ses principaux éléments. La figure montre une partie de sa courbe ; les graduations des axes sont espacées de 1 unité.

1. a) Déterminer son ensemble de définition.

1. b) Déterminer les équations de ses asymptotes verticales et horizontales.

1. c) Étudier la parité de la fonction. Est-elle paire, impaire ou ni l'un ni l'autre ?

Un biologiste étudie l'évolution d'une population de bactéries dans un milieu contrôlé. Le nombre de bactéries (en milliers) est donné par la fonction $P(t) = \frac{40t}{t + 2}$, où $t$ est le temps en heures écoulé depuis le début de l'expérience ($t \geq 0$). La figure montre la courbe représentative de $P(t)$.

1. a) Quelle est la population au début de l'expérience ($t = 0$) ?

1. b) Quelle est la limite de la population lorsque le temps croît indéfiniment ? Interpréter le résultat en termes d'asymptotes.

1. c) La population augmente-t-elle ou diminue-t-elle avec le temps ? Justifier la réponse à l'aide de la dérivée $P'(t)$.

Soit la fonction rationnelle $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 9}$. Réaliser une étude complète en vue de sa représentation graphique en suivant ces étapes :

1. a) Déterminer l'ensemble de définition et les points d'intersection avec les axes du repère.

1. b) Étudier l'existence de symétries de la fonction.

1. c) Déterminer les asymptotes verticales, horizontales et la position de la courbe par rapport à celles-ci.

1. d) Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance, ainsi que ses maximums et minimums locaux.

1. e) Esquisser la courbe de la fonction à partir des résultats précédents.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Pour étudier les asymptotes et la position relative de la courbe de la fonction rationnelle $f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x + 2}$, deux élèves proposent des stratégies différentes :

• Méthode A (Alba) : effectuer la division polynomiale du numérateur par le dénominateur pour écrire la fonction sous la forme $f(x) = c(x) + \dfrac{r(x)}{d(x)}$.

• Méthode B (Bruno) : appliquer les limites classiques $m = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ et $n = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - m \cdot x]$.

1. a) Comparer les deux méthodes et justifier pourquoi celle d'Alba est plus efficace dans ce cas pour déterminer simultanément l'équation de l'asymptote oblique et la position de la courbe par rapport à elle en $+\infty$ et $-\infty$ sans calculer de limites supplémentaires.
2. b) Appliquer la méthode d'Alba pour déterminer la droite asymptote et justifier par le calcul si la courbe est située au-dessus ou au-dessous de cette asymptote en chacun des deux infinis.

On considère la fonction $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$. On demande :

1. Déterminer les équations de ses asymptotes. S'il existe une asymptote oblique, déterminer la position de la courbe par rapport à celle-ci lorsque $x \to +\infty$ et $x \to -\infty$.

2. Trouver les intervalles de concavité et de convexité, et vérifier s'il existe des points d'inflexion.

3. Utiliser les informations sur la croissance et les extremums pour dessiner un schéma précis de la courbe.

Soit la fonction rationnelle définie par :

$$f(x) = \frac{x^3 + ax^2 + b}{x^2 - 1}$$

Déterminer les valeurs des paramètres réels $a$ et $b$ sachant que la droite $y = x + 2$ est une asymptote oblique de la fonction et que sa courbe passe par le point $(0 ; 0)$. Une fois les paramètres calculés :

1. Déterminer l'ensemble de définition et les asymptotes verticales, en étudiant la position de la courbe par rapport à celles-ci.

2. Trouver les points d'intersection avec les axes.

3. Étudier l'existence de points d'inflexion. Est-il possible que cette fonction n'ait aucun point d'inflexion sur son ensemble de définition ? Justifier la réponse.

Les fonctions avec valeurs absolues présentent souvent des points où la courbe change brusquement de direction. Soit la fonction $f(x) = |x - 4|$.

1. a) Exprimer la fonction comme une fonction définie par morceaux.

1. b) Indiquer le point de la courbe où la fonction est continue mais non dérivable (point anguleux).

1. c) Esquisser sa courbe en indiquant le sommet.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Marc doit déterminer les extremums locaux de la fonction avec valeur absolue $f(x) = |x^2 - 9|$. Sur sa copie, il écrit :

« Comme la valeur absolue ne change pas le degré du polynôme, je dérive directement son argument pour obtenir le coefficient directeur : $f'(x) = 2x$. J'égale à zéro et j'obtiens $2x = 0 \implies x = 0$. En remplaçant, $f(0) = |-9| = 9$. Comme $f''(0) = 2 > 0$, je conclus que la fonction admet un unique extremum local : un minimum au point $(0 ; 9)$ ».

1. a) Identifier les deux erreurs conceptuelles graves commises par Marc en ignorant la définition de la valeur absolue et la dérivabilité de la fonction.
2. b) Écrire correctement $f(x)$ comme une fonction définie par morceaux selon le signe de son argument.
3. c) Déterminer tous les extremums locaux réels de $f(x)$, en les classant avec justification en maximums ou minimums et en distinguant ceux qui correspondent à des points lisses ($f'(x) = 0$) et ceux qui correspondent à des points anguleux où la fonction n'est pas dérivable.

Soit la fonction avec valeur absolue $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$ :

1. a) Exprimer la fonction sous forme de fonction définie par morceaux.

1. b) Étudier la dérivabilité de la fonction aux points $x = 1$ et $x = 3$. Que se passe-t-il géométriquement en ces points ?

1. c) Déterminer les extremums locaux de la fonction et la représenter graphiquement.

Soit la fonction $f(x) = (x - 2)e^x$. Réaliser une étude détaillée de celle-ci en vue de sa représentation graphique, comprenant :

1. Ensemble de définition et points d'intersection avec les axes.

2. Asymptotes horizontales et comportement à l'infini.

3. Intervalles de monotonie et extremums locaux.

4. Points d'inflexion et convexité.

Étudier et représenter la fonction logarithme $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. Votre analyse doit comprendre :

1. Démonstration que la fonction est paire. Quelle conséquence cela a-t-il sur sa représentation ?

2. Détermination des intervalles de croissance et de décroissance.

3. Étude de la convexité et recherche de points d'inflexion.

4. La fonction admet-elle des asymptotes, de quelque type que ce soit ? Justifier la réponse.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Soit la fonction $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}$. Répondre aux questions suivantes en combinant raisonnement logique et calcul formel :

1. Phase d'estimation (sans dériver ni calculer de limites formelles pour l'instant) :

a) À partir de l'ensemble de définition de la fonction logarithme et sachant que $\ln(x) \to -\infty$ lorsque $x \to 0^+$, estimer le comportement de la courbe près de l'axe $Y$. Y aura-t-il une asymptote verticale ? Vers où la branche va-t-elle tendre ?

b) Le cours souligne que le logarithme « croît beaucoup plus lentement que n'importe quel polynôme ». En vous appuyant sur cela, estimer vers quelle valeur $f(x)$ se rapprochera lorsque $x \to +\infty$ et en déduire s'il existera une asymptote horizontale.

c) Sachant que $f(1) = 0$, que $f(x) < 0$ pour $x \in ]0 ; 1[$, et que pour $x > 1$ la fonction est positive mais doit se rapprocher de l'asymptote horizontale lorsque $x \to +\infty$, déduire s'il doit obligatoirement exister au moins un maximum local et estimer dans quel intervalle de $x$ il devrait se trouver.

1. Phase de vérification :

d) Confirmer analytiquement vos estimations en calculant $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

e) Calculer la dérivée $f'(x)$, déterminer les coordonnées exactes $(x, y)$ de son extremum local et vérifier si votre déduction préalable sur l'existence et la position du maximum était correcte.

On considère la fonction définie par morceaux :

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-2} & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 2x - \frac{1}{2} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction en $x = 0$.

2. Déterminer les asymptotes de la fonction sur son ensemble de définition.

3. Déterminer les minimums et maximums locaux de chaque morceau sur l'intervalle correspondant.

4. Esquisser la courbe de la fonction.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Lors d'un épisode hivernal d'inversion thermique à Paris, la concentration de dioxyde d'azote ($NO_2$) dans l'air, mesurée en microgrammes par mètre cube ($\mu\text{g/m}^3$), est suivie pendant une journée complète ($t \in [0, 24]$ heures). Le service de la qualité de l'air modélise l'évolution par une fonction définie par morceaux qui relie la phase d'accumulation matinale due à la circulation et la dispersion de l'après-midi :

$$C(t) = \begin{cases} 40 + 10t - 0,5t^2 & \text{si } 0 \le t \le 12 \\ 124 \cdot e^{-0,1(t-12)} - 36 & \text{si } 12 < t \le 24 \end{cases}$$

1. a) Vérifier si le modèle garantit la continuité au changement d'intervalle ($t = 12$). Étudier ensuite la dérivabilité en ce point et justifier si la courbe présente un point anguleux ou une transition lisse. Interpréter la signification physique de ce fait.
2. b) Déterminer à quel moment de la journée la concentration maximale de polluant est atteinte et calculer sa valeur exacte.
3. c) Si le modèle de dispersion exponentielle se poursuivait indéfiniment ($t \to +\infty$), aurait-il une asymptote horizontale ? Justifier par le calcul pourquoi le terme exponentiel tend vers zéro et quel serait le niveau résiduel théorique de pollution selon cette asymptote.

On considère la fonction définie par morceaux :

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x+2} & \text{si } x < -2 \\ a \cdot e^{x+2} + b x & \text{si } -2 \le x < 0 \\ \dfrac{x+1}{x^2+1} & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

Réaliser une étude complète de la fonction en suivant ces étapes :

1. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que la fonction soit continue en $x = -2$ et admette un extremum local en $x = -1$.

2. Pour les valeurs trouvées, étudier la dérivabilité en $x = -2$ et $x = 0$.

3. Déterminer les asymptotes de la fonction sur tout son ensemble de définition.

4. Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance, ainsi que les maximums et minimums locaux sur l'intervalle $]-\infty \,;\, 0[$.

Observer la courbe suivante d'une fonction $f(x)$ (les droites en pointillés sont les asymptotes de la fonction ; utiliser les graduations des axes, une par unité) et en extraire les informations demandées :

1. a) Indiquer les valeurs de $x$ où se trouvent les asymptotes verticales.

1. b) Estimer les intervalles où la fonction est croissante.

1. c) Identifier la valeur de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ en observant le comportement de la courbe.

On considère la fonction $f(x) = (x-2)^2 \cdot e^x$.

1. Déterminer les points d'intersection avec les axes et les asymptotes de la fonction.

2. Déterminer le sens de variation et les extremums locaux (maximums et minimums).

3. Déterminer les intervalles de convexité et les points d'inflexion.

4. Sachant que $e^{-2} \approx 0,135$ et $e^0 = 1$, esquisser la courbe de la fonction.

5. Calculer l'aire du triangle formé par l'origine du repère et les points de la courbe où la tangente est horizontale.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Dessiner l'allure de la courbe d'une fonction continue $f(x)$ vérifiant simultanément les huit conditions suivantes :

• Son ensemble de définition est $\mathbb{R} - \{1\}$.

• Elle admet une asymptote verticale en $x = 1$ telle que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty$.

• Elle admet une asymptote oblique $y = x$ lorsque $x \to +\infty$.

• Elle admet une asymptote horizontale $y = -2$ lorsque $x \to -\infty$.

• $f'(x) < 0$ sur l'intervalle $]-\infty ; -2[$ et $f'(x) > 0$ sur $]-2 ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[$.

• Elle présente un minimum local au point $(-2 ; -4)$.

• $f''(x) > 0$ sur $]-3 ; 1[$ et $f''(x) < 0$ sur $]-\infty ; -3[ \cup ]1 ; +\infty[$.

• Elle coupe l'axe $OX$ uniquement aux points $x = 0$ et $x = 2$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.