Forme trigonométrique et exponentielle d'un nombre complexe
Sur l'écran d'un radar de contrôle aérien à Toulouse, un avion n'est pas repéré par deux coordonnées $(x\,;y)$ mais par sa distance au radar et son cap, c'est-à-dire un angle. Pour un nombre complexe, c'est la même idée : au lieu de $(a\,;b)$, on peut donner la distance du point image à l'origine et l'angle qu'il forme avec l'axe des réels. Cette écriture rend les produits, les quotients et les puissances presque faciles. Comment passer d'une écriture à l'autre ?
Module et argument
Pour trouver l'argument, on utilise le cosinus et le sinus, pas seulement la tangente. Si $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$ :
$$\cos\theta = \frac{a}{r} \qquad \text{et} \qquad \sin\theta = \frac{b}{r}.$$C'est le triangle rectangle de la figure : $a$ est le côté adjacent et $b$ le côté opposé à l'angle $\theta$.
Pourquoi ? Avec $z = a + b\mathrm{i}$, $z\overline{z} = (a+b\mathrm{i})(a-b\mathrm{i}) = a^2 - (b\mathrm{i})^2 = a^2 + b^2 = |z|^2$. On utilisera cette égalité pour le module d'un produit ou d'un quotient : $|zz'|^2 = zz'\,\overline{z}\,\overline{z'} = |z|^2|z'|^2$.
Observer la représentation dans le plan complexe du vecteur qui définit $z$. Déterminer son module et son argument, et écrire son expression sous forme exponentielle et…
Observer la représentation dans le plan complexe du vecteur qui définit $z$. Déterminer son module et son argument, et écrire son expression sous forme exponentielle et sous forme trigonométrique.
Marc doit écrire le nombre complexe $z = -2 + 2\sqrt{3}i$ sous forme polaire. Dans son devoir, il écrit : «…
Marc doit écrire le nombre complexe $z = -2 + 2\sqrt{3}i$ sous forme polaire. Dans son devoir, il écrit :
« $r = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.
$\alpha = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{-2}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) = -60^\circ = 300^\circ$.
Donc $z = 4_{300^\circ}$ ».
Identifier l'erreur conceptuelle commise par Marc dans la détermination de l'argument, expliquer, en analysant les signes de la partie réelle et de la partie imaginaire, dans quel quadrant doit se situer le point image de $z$, et écrire la forme polaire correcte avec son argument principal dans l'intervalle $[0^\circ ; 360^\circ[$.
On considère le nombre complexe $z = -3\sqrt{2} - \sqrt{6}i$. a) Avant de calculer : sachant que $\sqrt{2} \approx 1,41$ et $\sqrt{6} \approx 2,45$, estimer en…
On considère le nombre complexe $z = -3\sqrt{2} - \sqrt{6}i$.
- a) Avant de calculer : sachant que $\sqrt{2} \approx 1,41$ et $\sqrt{6} \approx 2,45$, estimer en justifiant le quadrant dans lequel se trouve son point image. Comparer la valeur absolue de la partie réelle ($|a| \approx 4,24$) à celle de la partie imaginaire ($|b| \approx 2,45$) : l'argument principal sera-t-il plus proche de $180^\circ$ ou de $270^\circ$ ? Donner une estimation de son argument (avec une marge de $\pm 10^\circ$) et une valeur approchée de son module.
- b) Calculer algébriquement la valeur exacte du module $r$ et de l'argument principal $\alpha$ de $z$. Écrire $z$ sous forme exponentielle et sous forme trigonométrique, et confronter le résultat exact aux estimations de la question précédente, en justifiant si le calcul est cohérent avec la position géométrique du point image.
Forme trigonométrique
Si tu connais $r$ et $\theta$, retrouver $a$ et $b$ est immédiat : $a = r\cos\theta$ et $b = r\sin\theta$.
Pourquoi ? Parce que $z = a + b\mathrm{i} = r\cos\theta + \mathrm{i}\,r\sin\theta$ : on met $r$ en facteur.
Étant donné le nombre complexe sous forme exponentielle $z = 4_{120^\circ}$, déterminer son écriture sous forme algébrique.
Étant donné le nombre complexe sous forme exponentielle $z = 4_{120^\circ}$, déterminer son écriture sous forme algébrique.
Forme exponentielle
On pose, pour tout réel $\theta$ : $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = \cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta$. C'est le point du cercle trigonométrique d'angle $\theta$.
Cette notation est choisie parce que $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\times\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+\theta')}$, comme pour les exposants : nous le verrons plus bas.
Arguments en degrés. Certains énoncés donnent l'argument en degrés. Il suffit de le convertir en radians pour écrire la forme exponentielle : un module $4$ et un argument de $120^\circ$ donnent $4\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi/3}$. Tu peux aussi garder les degrés dans la forme trigonométrique : $4(\cos 120^\circ + \mathrm{i}\sin 120^\circ)$.
| Degrés | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | $120^\circ$ | $180^\circ$ | $270^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{2\pi}{3}$ | $\pi$ | $\dfrac{3\pi}{2}$ |
Exprimer le nombre complexe $z = 3 + 3\sqrt{3}i$ sous forme exponentielle et sous forme trigonométrique.
Exprimer le nombre complexe $z = 3 + 3\sqrt{3}i$ sous forme exponentielle et sous forme trigonométrique.
Conjugué et opposé
En forme algébrique, le conjugué change le signe de $b$ et l'opposé change les deux signes. En forme exponentielle, cela se voit sur l'angle.
Déterminer le conjugué et l'opposé du nombre complexe $z = 6_{45^\circ}$. Exprimer les deux résultats sous forme exponentielle avec des arguments positifs compris entre…
Déterminer le conjugué et l'opposé du nombre complexe $z = 6_{45^\circ}$. Exprimer les deux résultats sous forme exponentielle avec des arguments positifs compris entre $0^\circ$ et $360^\circ$.
On cherche un nombre complexe $z$ dont le point image se situe dans le quatrième quadrant et dont la distance à l'origine du repère est égale à $6$. On sait que son…
On cherche un nombre complexe $z$ dont le point image se situe dans le quatrième quadrant et dont la distance à l'origine du repère est égale à $6$. On sait que son conjugué, $\bar{z}$, a une partie réelle exactement égale à la moitié de son module ($a = r/2$). Déterminer, en justifiant, l'argument de $\bar{z}$, en déduire la forme exponentielle de $z$ avec son argument dans l'intervalle $[0^\circ, 360^\circ)$ et déterminer la forme algébrique exacte de son opposé, $-z$.
Pour calculer la forme algébrique de l'opposé du conjugué du nombre complexe $z = 4_{150^\circ}$, c'est-à-dire $-\bar{z}$, deux élèves débattent de la stratégie la plus…
Pour calculer la forme algébrique de l'opposé du conjugué du nombre complexe $z = 4_{150^\circ}$, c'est-à-dire $-\bar{z}$, deux élèves débattent de la stratégie la plus adaptée :
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Méthode 1 (voie algébrique) : convertir d'abord $z = 4_{150^\circ}$ sous forme algébrique en utilisant $a = r\cos\alpha$ et $b = r\sin\alpha$, calculer ensuite son conjugué $\bar{z} = a - bi$, et enfin changer le signe des deux composantes pour obtenir $-\bar{z}$.
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Méthode 2 (voie exponentielle) : calculer directement l'argument de $-\bar{z}$ en utilisant les propriétés de l'argument du conjugué ($\arg(\bar{z}) = -\alpha$) et de l'opposé ($\arg(-w) = \arg(w) + 180^\circ$), simplifier l'angle obtenu dans $[0^\circ, 360^\circ)$ sachant que le module ne change pas, et ne passer à la forme algébrique que pour le résultat final.
Appliquer les deux méthodes pas à pas pour déterminer $-\bar{z}$ sous forme algébrique et argumenter laquelle des deux voies minimise le risque d'erreurs de calcul sur les signes et les rapports trigonométriques.
Égalité de deux nombres complexes
Pourquoi ? Le module donne le rayon du cercle sur lequel se trouve le point, l'argument donne la demi-droite. Ajouter des tours complets ne change pas la demi-droite, donc ne change pas le point.
Dans un circuit en courant alternatif, la tension est représentée par le nombre complexe $V = 220_{30^\circ}$ et l'impédance par $Z = 10_{-15^\circ}$. La loi d'Ohm en…
Dans un circuit en courant alternatif, la tension est représentée par le nombre complexe $V = 220_{30^\circ}$ et l'impédance par $Z = 10_{-15^\circ}$. La loi d'Ohm en courant alternatif établit que l'intensité est $I = \frac{V}{Z}$. Calculer l'intensité $I$ sous forme exponentielle puis l'exprimer sous forme algébrique.
Déterminer la valeur de $a \in \mathbb{R}$ pour que l'argument du nombre complexe $z = \frac{a + 2i}{1 + i}$ soit égal à $45^\circ$.
Déterminer la valeur de $a \in \mathbb{R}$ pour que l'argument du nombre complexe $z = \frac{a + 2i}{1 + i}$ soit égal à $45^\circ$.
Produit, quotient et puissances
La forme exponentielle sert surtout à cela. Soient $z = r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ et $z' = r'\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}$ non nuls.
Pour les modules, $|zz'|^2 = zz'\,\overline{z}\,\overline{z'} = |z|^2|z'|^2$, donc $|zz'| = |z|\,|z'|$.
Pourquoi ? Les formules d'addition donnent $(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)(\cos\theta' + \mathrm{i}\sin\theta') = \cos(\theta+\theta') + \mathrm{i}\sin(\theta+\theta')$ : les angles s'additionnent comme des exposants.
Calculer le produit des nombres complexes $z_1 = 2_{30^\circ}$ et $z_2 = 5_{45^\circ}$. Exprimer le résultat sous forme exponentielle.
Calculer le produit des nombres complexes $z_1 = 2_{30^\circ}$ et $z_2 = 5_{45^\circ}$. Exprimer le résultat sous forme exponentielle.
Dans le développement d'un jeu vidéo 2D, la position d'un personnage est donnée par le point image du nombre complexe $z = 4 - 4i$. Le moteur graphique applique une…
Dans le développement d'un jeu vidéo 2D, la position d'un personnage est donnée par le point image du nombre complexe $z = 4 - 4i$. Le moteur graphique applique une rotation de $60^\circ$ dans le sens direct en multipliant sa position par le complexe $w = 1_{60^\circ}$. Déterminer la nouvelle position du personnage sous forme algébrique.
Utiliser la formule de Moivre pour développer l'expression $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. À partir de l'égalité des parties réelles et des parties imaginaires, en…
Utiliser la formule de Moivre pour développer l'expression $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. À partir de l'égalité des parties réelles et des parties imaginaires, en déduire les identités trigonométriques pour $\cos(3\alpha)$ et $\sin(3\alpha)$ en fonction de $\cos \alpha$ et $\sin \alpha$.
Racines n-ièmes
Résoudre $z^n = w$ avec $w = \rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$, $\rho > 0$. On cherche $z = r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ : par Moivre, $r^n\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta} = \rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$. L'égalité de deux formes exponentielles donne $r^n = \rho$ et $n\theta = \varphi + 2k\pi$.
Une équation de la forme $z^6 - 7z^3 - 8 = 0$ se ramène à ce cas par un changement d'inconnue $Z = z^3$ : on résout d'abord l'équation du second degré en $Z$, puis on cherche les racines cubiques de chaque solution.
Calculer les racines carrées du nombre complexe $z = 9_{80^\circ}$ et exprimer les résultats sous forme exponentielle.
Calculer les racines carrées du nombre complexe $z = 9_{80^\circ}$ et exprimer les résultats sous forme exponentielle.
Résoudre l'équation $z^4 + 81 = 0$ en utilisant la forme exponentielle des nombres complexes. Exprimer les quatre solutions obtenues sous forme algébrique.
Résoudre l'équation $z^4 + 81 = 0$ en utilisant la forme exponentielle des nombres complexes. Exprimer les quatre solutions obtenues sous forme algébrique.
Déterminer tous les nombres complexes $z$ qui vérifient l'équation $z^6 - 7z^3 - 8 = 0$. Exprimer les solutions sous forme exponentielle. (Indice : effectuer un…
Déterminer tous les nombres complexes $z$ qui vérifient l'équation $z^6 - 7z^3 - 8 = 0$. Exprimer les solutions sous forme exponentielle. (Indice : effectuer un changement de variable.)
Applications : sommes et configurations
Pour additionner des nombres écrits sous forme exponentielle (forces, bras articulé, ondes), on passe par la forme algébrique, puis on repasse éventuellement à l'exponentielle. Pour les polygones réguliers, on utilise les racines n-ièmes : la somme des $n$ racines n-ièmes d'un complexe non nul vaut $0$ (par symétrie, et par la formule de la somme d'une suite géométrique de raison $\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi/n}$).
Soit le nombre complexe $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Montrer que $z^3 = 1$ puis calculer la valeur de l'expression $S = z^{2023} + z^{2024} + z^{2025}$.
Soit le nombre complexe $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Montrer que $z^3 = 1$ puis calculer la valeur de l'expression $S = z^{2023} + z^{2024} + z^{2025}$.
Cinq forces coplanaires de même intensité $F = 10\text{ N}$ sont appliquées à un point matériel situé à l'origine. Les directions de ces forces correspondent aux images…
Cinq forces coplanaires de même intensité $F = 10\text{ N}$ sont appliquées à un point matériel situé à l'origine. Les directions de ces forces correspondent aux images des racines cinquièmes du nombre complexe $z = 100000_{0^\circ}$. Démontrer mathématiquement, à l'aide des propriétés des nombres complexes sous forme exponentielle, que la force résultante est nulle.
Un bras robotisé articulé est constitué de deux segments. Le premier segment est représenté dans le plan complexe par le vecteur $z_1 = 5_{60^\circ}$. Le second segment,…
Un bras robotisé articulé est constitué de deux segments. Le premier segment est représenté dans le plan complexe par le vecteur $z_1 = 5_{60^\circ}$. Le second segment, $z_2$, a une longueur de $3$ unités et est tourné de $45^\circ$ dans le sens direct par rapport à la direction de $z_1$. Calculer la position finale de l'extrémité du bras robotisé (c'est-à-dire $z_1 + z_2$) sous forme algébrique, en arrondissant à deux décimales.
Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.