Équations différentielles y' = ay + b et y' = ay + f
Tu sors un chocolat chaud à $80\ °\text{C}$ dans une cuisine à $20\ °\text{C}$. Il refroidit vite au début, puis de plus en plus lentement, et ne descendra jamais sous $20\ °\text{C}$. Comment décrire sa température à chaque instant, et au bout de combien de temps peut-on le boire ? Une équation différentielle permet de répondre : on connaît une relation entre une fonction et sa dérivée, et il faut retrouver la fonction.
Résoudre y' = f : les primitives
Une équation différentielle est une égalité qui relie une fonction inconnue $y$ à sa dérivée $y'$. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les fonctions dérivables $y$ qui la vérifient.
Le cas le plus simple est $y' = f(x)$ où $f$ est une fonction continue donnée : les solutions sont exactement les primitives de $f$.
Pourquoi « $+ C$ » ? Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$, alors $(G - F)' = f - f = 0$ : la fonction $G - F$ a une dérivée nulle sur un intervalle, donc elle est constante. Deux primitives diffèrent d'une constante.
Une seule solution ne suffit pas à tout décrire : il y en a une infinité. Pour en choisir une seule, on impose une condition initiale, par exemple $y(0) = 4$.
Déterminer toutes les primitives sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f : x \mapsto 4x^2 - 3 + e^{2x}$, puis la solution $y$ de l'équation $y' = f(x)$ vérifiant $y(0) = 1$.
Déterminer toutes les primitives sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f : x \mapsto 4x^2 - 3 + e^{2x}$, puis la solution $y$ de l'équation $y' = f(x)$ vérifiant $y(0) = 1$.
L'équation y' = ay
Quand la dérivée est proportionnelle à la fonction, on retrouve l'exponentielle. La fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{ax}$ vérifie $y' = a\,y$ : c'est justement son comportement.
Pourquoi n'y en a-t-il pas d'autres ? Soit $y$ une solution. On pose $h(x) = y(x)\,\mathrm{e}^{-ax}$. Alors
$$h'(x) = y'(x)\,\mathrm{e}^{-ax} - a\,y(x)\,\mathrm{e}^{-ax} = \bigl(y'(x) - a\,y(x)\bigr)\mathrm{e}^{-ax} = 0.$$Donc $h$ est constante, égale à un réel $C$, et $y(x) = C\,\mathrm{e}^{ax}$.
La condition initiale fixe $C$ : si $y(0) = 5$, alors $C\,\mathrm{e}^{0} = C = 5$.
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = 3y$, puis déterminer la solution $f$ telle que $f(0) = 5$.
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = 3y$, puis déterminer la solution $f$ telle que $f(0) = 5$.
L'équation y' = ay + b
Revenons au chocolat chaud. Si $T$ est sa température et $20\ °\text{C}$ celle de la cuisine, la température baisse d'autant plus vite que l'écart est grand : $T' = -0{,}1\,(T - 20) = -0{,}1\,T + 2$. L'équation est de la forme $y' = ay + b$.
L'idée : une solution constante est facile à trouver. Si $y = k$ est constante, alors $y' = 0$, donc $0 = ak + b$ et $k = -\dfrac{b}{a}$ (pour $a \neq 0$).
Pourquoi ? Posons $k = -\dfrac{b}{a}$. Comme $a k + b = 0$, on a $y' = ay + b = a\,(y - k)$. Or $(y - k)' = y'$, donc $z = y - k$ vérifie $z' = az$, c'est-à-dire $z = C\,\mathrm{e}^{ax}$, d'où $y = C\,\mathrm{e}^{ax} + k$.
Vérifie : tu retrouves ici le chocolat chaud de la question initiale, qui se refroidit mais reste au-dessus de la température de la pièce.
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = -2y + 6$.
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = -2y + 6$.
Un bain à Lyon est rempli d'eau à $60\ °\text{C}$ dans une pièce à $20\ °\text{C}$. La température $T(t)$ de l'eau, en degrés Celsius, à l'instant $t$ en minutes,…
Un bain à Lyon est rempli d'eau à $60\ °\text{C}$ dans une pièce à $20\ °\text{C}$. La température $T(t)$ de l'eau, en degrés Celsius, à l'instant $t$ en minutes, vérifie $T' = -0{,}05\,(T - 20)$.
- a) Résoudre cette équation différentielle avec la condition $T(0) = 60$.
- b) Calculer la température au bout de $30$ minutes (arrondir au dixième).
- c) Au bout de combien de minutes la température passe-t-elle sous $25\ °\text{C}$ ?
Un médicament est perfusé à débit constant dans le sang d'un patient à l'hôpital de Bordeaux. La quantité $q(t)$, en mg, présente à l'instant $t$ en heures vérifie…
Un médicament est perfusé à débit constant dans le sang d'un patient à l'hôpital de Bordeaux. La quantité $q(t)$, en mg, présente à l'instant $t$ en heures vérifie $q' = -0{,}4\,q + 12$ avec $q(0) = 0$.
- a) Résoudre cette équation différentielle.
- b) Déterminer la limite de $q(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$.
- c) Au bout de combien d'heures la quantité atteint-elle $90\,\%$ de cette limite ?
L'équation y' = ay + f
Parfois le second membre n'est pas constant : $y' = ay + f(x)$. Il n'y a plus de solution constante, mais le même raisonnement fonctionne si on connaît une solution particulière $g$.
Pourquoi ? On a $y' = ay + f$ et $g' = ag + f$. En soustrayant : $(y - g)' = a\,(y - g)$. La réciproque se démontre en additionnant.
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y' = 2y + 4x - 1$. a) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $g(x) = ax + b$ soit solution de $(E)$. b) Montrer que $y$…
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y' = 2y + 4x - 1$.
- a) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $g(x) = ax + b$ soit solution de $(E)$.
- b) Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $y - g$ est solution de $y' = 2y$.
- c) En déduire les solutions de $(E)$, puis celle vérifiant $y(0) = 3$.
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y' = y + (2x+1)e^{x}$. a) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $g(x) = (ax^2 + bx)e^{x}$ soit solution de $(E)$. b)…
On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y' = y + (2x+1)e^{x}$.
- a) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $g(x) = (ax^2 + bx)e^{x}$ soit solution de $(E)$.
- b) Résoudre $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
- c) Déterminer la solution $y$ telle que $y(0) = 2$ et étudier ses variations sur $\mathbb{R}$.
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que, pour tout réel $x$, $f'(x) + f(x) = e^{-x} + 1$ et $f(0) = 0$. a) Résoudre l'équation $y' + y = 1$. b)…
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que, pour tout réel $x$, $f'(x) + f(x) = e^{-x} + 1$ et $f(0) = 0$.
- a) Résoudre l'équation $y' + y = 1$.
- b) Montrer que $h(x) = x e^{-x}$ est solution de $y' + y = e^{-x}$.
- c) En déduire l'expression de $f(x)$, puis la limite de $f$ en $+\infty$.
Raisonner à partir de l'équation
Certains énoncés ne demandent pas de résoudre, mais d'utiliser l'équation. L'astuce habituelle : construire une fonction auxiliaire, dériver, et montrer que la dérivée est nulle. Une fonction de dérivée nulle sur $\mathbb{R}$ est constante.
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. On pose $g(x) = f(x)\,f(-x)$. a) Montrer que $g$ est dérivable et calculer $g'(x)$. b)…
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. On pose $g(x) = f(x)\,f(-x)$.
- a) Montrer que $g$ est dérivable et calculer $g'(x)$.
- b) En déduire que $f$ ne s'annule pas et que $f(-x) = \dfrac{1}{f(x)}$ pour tout réel $x$.
- c) Soit $a$ un réel fixé et $h(x) = \dfrac{f(x+a)}{f(a)}$. Montrer que $h' = h$ et $h(0) = 1$, puis conclure que $f(x+a) = f(x)f(a)$.
L'essentiel
-
Les solutions de $y' = f$ sont les primitives $F(x) + C$ de $f$.
-
Les solutions de $y' = ay$ sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax}$.
-
Les solutions de $y' = ay + b$ ($a \neq 0$) sont $x \mapsto C\,\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}$ ; la solution constante vérifie $0 = ak + b$.
-
Pour $y' = ay + f$ : si $g$ est une solution particulière, les solutions sont $C\,\mathrm{e}^{ax} + g(x)$.
-
On détermine $C$ à la fin, avec la condition initiale ; la solution est alors unique.
-
Quand $a < 0$, la solution tend vers l'équilibre $-\dfrac{b}{a}$ : c'est le refroidissement ou la perfusion.