Primitives : décomposition élémentaire et primitives usuelles

Déterminer si la fonction $F(x) = x \cdot e^x$ est une primitive de la fonction $f(x) = (x+1)e^x$. Pour justifier la réponse, penser à utiliser la relation fondamentale entre une fonction et sa primitive au moyen de la dérivation.

Déterminer la primitive de la fonction $f(x) = 2x - 6$ dont la courbe passe par le point $P(3 ; 4)$.

Remarque : calculer d'abord les primitives pour obtenir la famille de fonctions avec la constante $C$, puis utiliser le point $P$ pour déterminer la valeur de cette constante.

Un drone de surveillance se déplace de sorte que sa vitesse sur l'axe horizontal (en m/s) est donnée par la fonction $v(t) = 4e^{2t-1} + \sin(3t)$. Sachant qu'à l'instant initial $t=0$ le drone se trouve à la position $s=0$, déterminer l'expression de la fonction position $s(t)$.

Dans l'étude de la propagation d'une information sur un réseau social, on a établi que le rythme de croissance des « partages » suit une loi de puissance. Pour trouver le total cumulé, un programmeur doit calculer la primitive d'une fonction irrationnelle. La calculer en écrivant d'abord la racine sous forme d'exposant fractionnaire :

Déterminer toutes les primitives de la fonction $f(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 5}{x^2}$.

Déterminer l'ensemble des primitives de la fonction suivante, en simplifiant le résultat par l'élimination des exposants négatifs et l'emploi de radicaux :

$f(x) = \dfrac{3}{x^4} - \dfrac{2}{\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{1}{5x}$

Une étude d'audition pour adolescents analyse l'intensité d'un signal sonore. La fonction qui décrit la pression acoustique instantanée est $p(x) = \frac{3}{x} + e^{2x}$. Déterminer les primitives de cette fonction :

Déterminer les primitives de la combinaison suivante de fonctions trigonométriques et de constantes, en appliquant les propriétés de linéarité (sortir les constantes et séparer les sommes) :

Marc doit calculer lors d'un contrôle la primitive $\int (3x - 2)(2x + 1)\, dx$. Sur sa copie, il écrit :

1. a) Expliquer en détail l'erreur conceptuelle que commet Marc en appliquant la propriété de linéarité de l'intégrale.
2. b) Montrer que le résultat de Marc est incorrect en dérivant la fonction obtenue et en vérifiant qu'elle ne coïncide pas avec la fonction à intégrer $(3x - 2)(2x + 1)$.
3. c) Calculer correctement la primitive en effectuant d'abord le produit algébrique, puis en appliquant les règles des primitives usuelles.

Déterminer les primitives de la fonction composée suivante, en identifiant la dérivée de la fonction intérieure :

$I = \displaystyle\int \dfrac{\ln^2(x) + 1}{x} \, dx$

Déterminer les primitives de la fonction suivante en utilisant la décomposition par linéarité et l'ajustement de la dérivée de l'exposant :

$I = \displaystyle\int \left( 2x \cdot e^{x^2+3} - \dfrac{5}{1+4x^2} \right) \, dx$

Déterminer les primitives de la fonction :

Cet exercice évalue la capacité à reconnaître la structure $g(u(x)) \cdot u'(x)$ lorsqu'il y a plusieurs fonctions composées.

Déterminer la primitive de la fonction $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 1}{x-2}$ dont la courbe passe par le point $P(3 ; 5)$.

Remarque : effectuer d'abord la division des polynômes.

Soit la fonction $f(x) = \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1 + \cos(x)}}$. Déterminer l'ensemble de ses primitives. Vérifier le résultat en dérivant la fonction obtenue.

Déterminer l'ensemble des primitives de la fonction trigonométrique suivante en utilisant les identités fondamentales pour transformer l'expression à intégrer en une somme de primitives usuelles :

Soit la fonction $f(x) = |x - 2| \cdot e^x$. Déterminer la primitive $F(x)$ qui vérifie $F(0) = 1$.

Rappel : pour que $F(x)$ soit une primitive sur tout son ensemble de définition, elle doit être continue ; il faudra donc ajuster les constantes d'intégration sur les différents intervalles.