Positions relatives de droites et de plans
Sur une feuille de papier, deux droites sont soit sécantes, soit parallèles : il n'y a pas d'autre possibilité. Dans l'espace, il en existe une troisième : deux droites peuvent n'être ni parallèles ni sécantes. Pense à deux câbles du TGV qui passent l'un au-dessus de l'autre sans se toucher. Dans cette page, tu apprends à décider de la position relative de droites et de plans avec une seule méthode : comparer des vecteurs et résoudre des systèmes.
Deux droites : confondues, parallèles, sécantes ou non coplanaires
Certains énoncés donnent une droite sous la forme $\dfrac{x-x_A}{a}=\dfrac{y-y_A}{b}=\dfrac{z-z_A}{c}$ (avec $a$, $b$, $c$ non nuls). Cette écriture n'est pas au programme, mais elle se traduit immédiatement : on appelle $t$ la valeur commune des trois quotients. On obtient $x=x_A+t\,a$, $y=y_A+t\,b$, $z=z_A+t\,c$ : la droite passe par $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et a pour vecteur directeur $\vec u(a\,;b\,;c)$.
Un satellite d'observation suit une trajectoire rectiligne dans l'espace définie par la droite $r : (x\,;\,y\,;\,z) = (1\,;\,2\,;\,0) + \lambda(2\,;\,-1\,;\,3)$. On veut…
Un satellite d'observation suit une trajectoire rectiligne dans l'espace définie par la droite $r : (x\,;\,y\,;\,z) = (1\,;\,2\,;\,0) + \lambda(2\,;\,-1\,;\,3)$. On veut vérifier si le satellite passera exactement par un point de contrôle situé en $P(5\,;\,0\,;\,6)$. Déterminer si le point $P$ appartient à la trajectoire du satellite.
Perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires
Si $(d)$ et $(d')$ sont non coplanaires, de vecteurs directeurs $\vec u$ et $\vec v$, leur perpendiculaire commune est la droite $(\Delta)$ qui coupe $(d)$ en $M$ et $(d')$ en $N$ et qui est orthogonale aux deux. Son vecteur directeur $\vec w$ vérifie $\vec w\cdot\vec u=0$ et $\vec w\cdot\vec v=0$. On résout ce système, puis on détermine $M$ et $N$ avec les conditions $\overrightarrow{MN}\cdot\vec u=0$ et $\overrightarrow{MN}\cdot\vec v=0$.
Soit les droites $r$ et $s$ données par leurs équations paramétriques : $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ et…
Soit les droites $r$ et $s$ données par leurs équations paramétriques :
$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ et $s: \begin{cases} x = \mu \\ y = 1 + \mu \\ z = 2 - \mu \end{cases}$
Étudier leur position relative en comparant leurs vecteurs directeurs. Sont-elles parallèles ou ont-elles des directions différentes ?
Soit les points $A(1 ; 0 ; -1)$, $B(2 ; 1 ; 0)$ et $C(3 ; 2 ; 1)$. Déterminer la position relative de la droite passant par $A$ et $B$ par rapport à la droite passant…
Soit les points $A(1 ; 0 ; -1)$, $B(2 ; 1 ; 0)$ et $C(3 ; 2 ; 1)$. Déterminer la position relative de la droite passant par $A$ et $B$ par rapport à la droite passant par $B$ et $C$. S'agit-il de la même droite (droites confondues) ou de droites sécantes au point $B$ ?
Étudier la position relative des droites $r$ et $s$ suivantes. Dans le cas où elles sont sécantes, calculer les coordonnées du point d'intersection :…
Étudier la position relative des droites $r$ et $s$ suivantes. Dans le cas où elles sont sécantes, calculer les coordonnées du point d'intersection :
$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -2\lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$
$s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-4}{-1}$
On donne les droites $r$ et $s$ d'équations : $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$ $s: \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + z = 1 \end{cases}$ a) Démontrer…
On donne les droites $r$ et $s$ d'équations :
$r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$
$s: \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + z = 1 \end{cases}$
- a) Démontrer analytiquement que les droites $r$ et $s$ sont non coplanaires.
- b) Déterminer une équation de la perpendiculaire commune à ces deux droites.
- c) Déterminer la position relative de cette perpendiculaire commune avec le plan de coordonnées $XZ$.
Droite et plan : sécants, parallèles ou droite contenue
Pour trouver le point d'intersection, on remplace $x$, $y$, $z$ de la représentation paramétrique de $(d)$ dans l'équation de $\mathcal P$ et on résout en $t$.
Un rayon laser se propage le long de la droite $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{3}$ et rencontre une lame de verre plane d'équation $\pi: x + y + z - 1 = 0$.…
Un rayon laser se propage le long de la droite $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{3}$ et rencontre une lame de verre plane d'équation $\pi: x + y + z - 1 = 0$. Déterminer la position relative du rayon laser et de la lame. Dans le cas où ils se coupent, calculer les coordonnées du point d'impact.
Vérifier si la droite $r$, définie comme l'intersection des plans $x + y = 2$ et $x - y = 0$, est parallèle au plan de coordonnées $XY$ (le plan $z = 0$). Justifier la…
Vérifier si la droite $r$, définie comme l'intersection des plans $x + y = 2$ et $x - y = 0$, est parallèle au plan de coordonnées $XY$ (le plan $z = 0$). Justifier la réponse à l'aide du vecteur directeur de la droite.
Un architecte utilise un logiciel de conception pour placer une poutre structurelle représentée par la droite $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y+1}{-2} = \dfrac{z-4}{4}$.…
Un architecte utilise un logiciel de conception pour placer une poutre structurelle représentée par la droite $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y+1}{-2} = \dfrac{z-4}{4}$. Déterminer si la poutre est perpendiculaire au plan de façade $\pi: 3x - 2y + 4z + 1 = 0$. Justifier la réponse.
On considère le plan $\pi: 2x - y + az + 3 = 0$ et la droite $r$ passant par les points $A(1 ; 0 ; -1)$ et $B(2 ; 1 ; 0)$. Déterminer la valeur du paramètre…
On considère le plan $\pi: 2x - y + az + 3 = 0$ et la droite $r$ passant par les points $A(1 ; 0 ; -1)$ et $B(2 ; 1 ; 0)$. Déterminer la valeur du paramètre $a \in \mathbb{R}$ pour que la droite soit parallèle au plan. Pour cette valeur de $a$, la droite est-elle contenue dans le plan ? Justifier la réponse.
Deux plans : confondus, parallèles ou sécants
Plan défini par trois points ou par une droite et une direction
Pour trouver une équation cartésienne, on cherche un vecteur normal $\vec n(a\,;b\,;c)$ orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, puis on détermine $d$ avec un point.
Même méthode pour un plan contenant une droite $(d)$ de vecteur directeur $\vec u$ et parallèle à une droite de vecteur directeur $\vec v$ (non colinéaire à $\vec u$) : on prend $\vec n$ orthogonal à $\vec u$ et à $\vec v$, et un point de $(d)$.
Dans la conception d'un bâtiment intelligent, deux surfaces planes correspondant au plafond et au sol d'un étage technique ont été définies. Les équations des plans sont…
Dans la conception d'un bâtiment intelligent, deux surfaces planes correspondant au plafond et au sol d'un étage technique ont été définies. Les équations des plans sont $\pi_1: 2x - y + 3z - 5 = 0$ et $\pi_2: 4x - 2y + 6z + 8 = 0$. Analyser la position relative des deux plans pour confirmer s'ils sont parallèles.
Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que les plans $\pi_1: x + ky + z - 2 = 0$ et $\pi_2: 2x - 4y + 2z + 1 = 0$ soient parallèles. Pour cette valeur de $k$, les…
Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que les plans $\pi_1: x + ky + z - 2 = 0$ et $\pi_2: 2x - 4y + 2z + 1 = 0$ soient parallèles. Pour cette valeur de $k$, les plans pourraient-ils être confondus ? Justifier la réponse en observant les termes constants.
Déterminer une équation cartésienne du plan contenant la droite $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$ et parallèle à la droite…
Déterminer une équation cartésienne du plan contenant la droite $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$ et parallèle à la droite $s: \begin{cases} x = t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$. Quelle est la position relative des droites $r$ et $s$ ?
Soit les droites $r$ et $s$. Démontrer qu'elles sont non coplanaires et déterminer une équation du plan contenant $s$ et parallèle à $r$ :…
Soit les droites $r$ et $s$. Démontrer qu'elles sont non coplanaires et déterminer une équation du plan contenant $s$ et parallèle à $r$ :
$r: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{1}$
$s: \frac{x-1}{-1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}$
On considère la trajectoire d'un drone représentée par la droite $r$ passant par le point $A(1 ; 2 ; -1)$ et de vecteur directeur $\vec{v} = (k ; 1 ; 2)$. Par ailleurs,…
On considère la trajectoire d'un drone représentée par la droite $r$ passant par le point $A(1 ; 2 ; -1)$ et de vecteur directeur $\vec{v} = (k ; 1 ; 2)$. Par ailleurs, un panneau solaire est contenu dans le plan $\pi$ défini par les points $P(1 ; 0 ; 1)$, $Q(0 ; 2 ; 3)$ et $R(2 ; 1 ; 0)$.
Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la trajectoire du drone soit parallèle au panneau solaire. Pour cette valeur de $k$, existe-t-il une droite $s$ contenue dans le plan $\pi$ et perpendiculaire à $r$ ? Justifier la réponse en s'appuyant sur la position relative des éléments.
Trois plans et droites données par deux équations
Trois plans forment un système de trois équations à trois inconnues. On le résout (méthode du pivot ou substitution) et on interprète géométriquement.
Droite donnée par deux équations
Une droite définie comme l'intersection de deux plans non parallèles est l'ensemble des solutions d'un système de deux équations à trois inconnues. On choisit une inconnue comme paramètre $t$ et on exprime les deux autres en fonction de $t$ : on obtient une représentation paramétrique, donc un point et un vecteur directeur.
Avec ce vecteur directeur, on peut ensuite appliquer les méthodes des sections précédentes (parallélisme avec un plan ou avec une autre droite, point d'intersection).
Faisceau de plans
Si une droite $(d)$ est l'intersection de $P_1 : a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$ et $P_2 : a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$, les plans contenant $(d)$ ont pour équation $\lambda(a_1x+b_1y+c_1z+d_1)+\mu(a_2x+b_2y+c_2z+d_2)=0$. Pour imposer qu'il passe par un point, on remplace ses coordonnées et on en déduit le rapport de $\lambda$ et $\mu$.
Discuter, en fonction du paramètre réel $m$, la position relative des trois plans suivants : $\pi_1: mx + y + z = 1$ $\pi_2: x + my + z = m$ $\pi_3: x + y + mz = m^2$
Discuter, en fonction du paramètre réel $m$, la position relative des trois plans suivants :
$\pi_1: mx + y + z = 1$
$\pi_2: x + my + z = m$
$\pi_3: x + y + mz = m^2$
Deux drones de surveillance aérienne suivent des trajectoires rectilignes définies par les droites $r$ et $s$. Le centre de contrôle doit savoir s'il existe un risque de…
Deux drones de surveillance aérienne suivent des trajectoires rectilignes définies par les droites $r$ et $s$. Le centre de contrôle doit savoir s'il existe un risque de collision (si les trajectoires se coupent). Les équations des trajectoires sont :
$r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{3}$
$s: \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$
Déterminer la position relative des deux trajectoires.
Un faisceau de plans a pour axe la droite $r: \begin{cases} 3x - y + z = 2 \\ x + 2y - z = 1 \end{cases}$. Trouver lequel des plans du faisceau passe par le point…
Un faisceau de plans a pour axe la droite $r: \begin{cases} 3x - y + z = 2 \\ x + 2y - z = 1 \end{cases}$. Trouver lequel des plans du faisceau passe par le point $P(1 ; 1 ; 1)$. Une fois ce plan obtenu, déterminer sa position relative par rapport à l'axe $OY$.
Dans un projet de conception industrielle, trois surfaces sont définies par les plans suivants de l'espace : $\pi_1: x + ay + z = a$ $\pi_2: ax + y + (a-1)z = 1$…
Dans un projet de conception industrielle, trois surfaces sont définies par les plans suivants de l'espace :
$\pi_1: x + ay + z = a$
$\pi_2: ax + y + (a-1)z = 1$
$\pi_3: x + y + z = 1$
Discuter la position relative des trois plans selon les différentes valeurs du paramètre réel $a$. Dans les cas où les trois plans se coupent selon une droite (formant un faisceau de plans), déterminer une représentation paramétrique de cette droite.