Propriétés de l'intégrale définie

Soit deux fonctions continues $f(x)$ et $g(x)$ sur l'intervalle $[1 ; 5]$. On connaît les valeurs suivantes de leurs intégrales :

Utiliser la linéarité de l'intégrale pour calculer la valeur de :

Marc résout des exercices de révision pour le baccalauréat et tombe sur l'énoncé suivant : « Sachant que $f(x)$ est une fonction continue sur $[1 ; 4]$ et que $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8$, calculer la valeur de $\int_{1}^{4} [2 \cdot f(x) + 3] \, dx$ ».\nDans son cahier, il écrit la résolution suivante :\n$$\int_{1}^{4} [2 \cdot f(x) + 3] \, dx = 2 \cdot \int_{1}^{4} f(x) \, dx + 3 = 2 \cdot 8 + 3 = 19$$\na) Identifier avec précision mathématique l'erreur commise par Marc. Expliquer pourquoi son traitement du terme constant $+3$ est incorrect au regard de la définition de l'intégrale comme somme d'aires de rectangles infinitésimaux.\nb) Corriger le calcul en appliquant rigoureusement les propriétés de linéarité de l'intégrale.

On sait qu'un signal électrique capté par un capteur suit un comportement décrit par deux fonctions, $f(x)$ et $g(x)$. Après plusieurs mesures en laboratoire, on a obtenu les valeurs suivantes pour leurs intégrales sur l'intervalle $[1 ; 4]$ :

$\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ et $\int_{1}^{4} g(x) \, dx = -3$

En utilisant la linéarité de l'intégrale, calculer la valeur de l'intégrale obtenue en combinant les deux signaux sur cet intervalle :

Une entreprise de logistique surveille la vitesse de l'un de ses véhicules. La courbe de la fonction $f(x)$ représente le rythme de consommation de carburant. Sachant que :

Calculer, en appliquant la relation de Chasles, la valeur de l'intégrale $\int_0^7 f(x) \, dx$ et interpréter sa signification si l'axe des abscisses représente le temps en heures.

Soit une fonction continue $h(x)$ dont on connaît les données suivantes :

Calculer la valeur de l'intégrale $\int_3^6 h(x) \, dx$ en utilisant la relation de Chasles.

Un drone de surveillance parcourt une trajectoire rectiligne dont la vitesse en fonction du temps est donnée par une fonction continue $v(t)$. Les analystes de données ont déterminé que le déplacement cumulé sur différents tronçons est :

1. Du début à la seconde 3 : $\int_{0}^{3} v(t) \, dt = 45$ mètres.

2. De la seconde 3 à la seconde 8 : $\int_{3}^{8} v(t) \, dt = 120$ mètres.

3. De la seconde 5 à la seconde 8 : $\int_{5}^{8} v(t) \, dt = 70$ mètres.

Calculer, en justifiant l'utilisation de la relation de Chasles, le déplacement du drone entre les secondes 0 et 5, c'est-à-dire : $\int_{0}^{5} v(t) \, dt$.

Si l'on sait que l'intégrale d'une fonction $f(x)$ sur un intervalle pris à l'envers est $\int_8^3 f(x) \, dx = 14$, déterminer la valeur de l'intégrale dans le sens habituel :

Justifier quelle propriété de l'intégrale a été utilisée.

Déterminer, sans calculer de primitive ni évaluer la fonction, la valeur de l'intégrale suivante :

Indiquer le nom de la propriété sur laquelle repose votre réponse.

L'agence de l'eau Adour-Garonne surveille le débit net d'entrée $q(t)$ (mesuré en $\text{hm}^3/\text{jour}$) dans un barrage des Pyrénées lors d'un épisode pluvieux de trois jours ($t \in [0, 3]$). Les capteurs automatiques ont enregistré les mesures hydriques intégrées suivantes :\n- Apport net total sur les trois jours complets : $\int_{0}^{3} q(t) \, dt = 14,5 \, \text{hm}^3$.\n- Apport net cumulé sur les deux derniers jours : $\int_{1}^{3} q(t) \, dt = 9,2 \, \text{hm}^3$.\n- Mesure de contrôle entre deux vannes enregistrée dans le sens chronologique inverse : $\int_{2}^{1} q(t) \, dt = -3,8 \, \text{hm}^3$.\na) Modéliser la situation en posant les relations pertinentes à l'aide de la relation de Chasles et de l'inversion des bornes d'intégration, puis calculer le volume net apporté durant le premier jour ($t \in [0, 1]$).\nb) Déterminer en justifiant le volume net d'eau entré dans le barrage uniquement durant le troisième jour ($t \in [2, 3]$).

Soit la fonction continue $f(x)$ définie sur l'intervalle $[-2 ; 5]$. On sait que l'aire délimitée par la courbe et l'axe $OX$ est la suivante :

• Sur l'intervalle $[-2 ; 1]$, la fonction est négative et l'aire du domaine est $4$ $u^2$.

• Sur l'intervalle $[1 ; 5]$, la fonction est positive et l'aire du domaine est $10$ $u^2$.

Calculer en justifiant les valeurs des intégrales suivantes :

1. $\int_{-2}^{5} f(x) \, dx$

2. $\int_{5}^{1} f(x) \, dx$

3. $\int_{-2}^{5} |f(x)| \, dx$

Calculer la valeur de l'intégrale de la fonction $f(x) = |x^2 - 4|$ sur l'intervalle $[0 ; 3]$. Pour cela, il faudra décomposer l'intégrale en plusieurs parties à l'aide de la relation de Chasles, selon le signe de la fonction à intégrer.

Soit la fonction $f(x) = |x - a| + |x - 2|$ définie sur l'intervalle $[0 ; 4]$. Sachant que la valeur de l'intégrale définie de cette fonction sur cet intervalle est minimale pour une valeur particulière de $a \in [0 ; 4]$, utiliser les propriétés de l'intégrale pour exprimer $\int_{0}^{4} f(x) \, dx$ en fonction de $a$, $I(a)$, et déterminer la valeur de $a$ qui minimise cette intégrale.

Un drone se déplace horizontalement à une vitesse constante de $v(t) = 12$ mètres par seconde. Calculer la distance parcourue par le drone entre les secondes $t=5$ et $t=15$ en posant l'intégrale de la fonction constante :

Vérifier le résultat à l'aide de la formule géométrique de l'aire d'un rectangle. Sur la figure, la région comprise entre la courbe de $v(t)$ et l'axe des temps pour $5 \le t \le 15$ est coloriée.

Sans calculer de primitives, justifier laquelle des intégrales suivantes est la plus grande en utilisant la propriété de comparaison des intégrales ($f(x) \leq g(x) \implies \int f \leq \int g$) :

Votre réponse changerait-elle si l'intervalle d'intégration était $[1 ; 2]$ ? Justifier en analysant le comportement des fonctions sur les deux intervalles.

Soit deux fonctions continues $f$ et $g$ sur l'intervalle $[0 ; 1]$ telles que $f(x) = \frac{1}{1+x^4}$ et $g(x) = 1 - x^4$. Utiliser la propriété de comparaison (positivité) de l'intégrale définie pour démontrer l'inégalité suivante sans calculer les intégrales :

Aide : analyser le comportement des fonctions à l'intérieur de l'intervalle $]0 ; 1[$ et utiliser que, pour $0 < u < 1$, on a $1-u < \frac{1}{1+u} < 1$.

Soit $f(x)$ une fonction continue sur l'intervalle $[2 ; 6]$ dont on sait que le minimum est $m = 1$ et le maximum est $M = 5$.

1. a) Indiquer, en justifiant, entre quelles valeurs est comprise l'intégrale $\int_{2}^{6} f(x) \, dx$.

1. b) Si l'on sait de plus que $\int_{2}^{6} f(x) \, dx = 12$, déterminer la valeur moyenne de la fonction sur cet intervalle et expliquer sa signification géométrique.

Sachant que l'intégrale d'une fonction $f(x)$ sur l'intervalle $[a ; b]$ est égale à $I$, démontrer à l'aide des propriétés de l'intégrale que :

Expliquer l'interprétation de ce résultat en lien avec le théorème de la moyenne.

Un drone de surveillance se déplace en ligne droite avec une vitesse donnée par la fonction $v(t) = t \cdot \sqrt{16 - t^2}$ en mètres par seconde, où $t$ est le temps en secondes écoulé depuis le début de la mission jusqu'à $t = 4$.

Déterminer tous les instants $c \in ]0 ; 4[$ où la vitesse instantanée du drone est égale à sa vitesse moyenne sur tout l'intervalle $[0 ; 4]$. Pour cela, appliquer le théorème de la moyenne (calcul intégral) et calculer l'intégrale correspondante.

Soit la fonction $F(x)$ définie pour $x > 0$ par l'intégrale suivante à bornes variables :

À l'aide du théorème fondamental de l'analyse et de la dérivée d'une fonction composée, calculer la valeur de la dérivée $F'(1)$. Expliquer quelle propriété de l'intégrale définie permet de découper l'intervalle d'intégration pour appliquer le théorème lorsque les bornes ne sont pas constantes.

Soit la fonction définie par l'intégrale $G(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - 3t + 2) \cdot e^{-t^2} \, dt$. Résoudre les questions suivantes en utilisant le théorème fondamental de l'analyse :

1. a) Calculer $G'(x)$, étudier son signe et déterminer les intervalles sur lesquels $G(x)$ est croissante et ceux sur lesquels elle est décroissante dans $[0 ; 3]$.

1. b) Déterminer les abscisses des maximums et minimums locaux de $G(x)$ sur l'intervalle $[0 ; 3]$.

1. c) Sans calculer l'intégrale, justifier si la valeur de $\int_{1}^{2} (t^2 - 3t + 2) \cdot e^{-t^2} \, dt$ est positive ou négative en se basant sur le signe de la fonction à intégrer sur cet intervalle.

Sans calculer de primitive, expliquer, à l'aide des propriétés de symétrie des fonctions, pourquoi la valeur de l'intégrale suivante est exactement égale à zéro :

On sait qu'une fonction $f(x)$ est paire et que l'aire comprise sous sa courbe entre l'axe des ordonnées ($x=0$) et la droite $x=3$ est de $4,5$ unités d'aire. Autrement dit :

Calculer la valeur de $\int_{-3}^3 f(x) \, dx$ en justifiant le résultat par la symétrie de la fonction.

Considérer l'intégrale suivante sur un intervalle symétrique :\n$$I = \int_{-3}^{3} (4x^3 - 2x + 5) \, dx$$\na) Estimer : Avant de calculer des primitives, analyser les trois termes de l'intégrande et leur comportement par rapport à l'origine du repère. Prédire de manière argumentée la valeur numérique exacte de $I$, en justifiant quels termes s'annulent par symétrie et lequel détermine le résultat final.\nb) Vérifier : Appliquer les propriétés de linéarité et de symétrie (parité et imparité) de l'intégrale pour décomposer $I$ en sommes d'intégrales plus simples. Justifier formellement la valeur de chacune sans calculer de primitives des puissances impaires et vérifier si votre estimation initiale était correcte.

Soit une fonction $f(x)$ paire et une fonction $g(x)$ impaire sur l'ensemble des nombres réels. On connaît les données suivantes :

$\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 5$ et $\int_{-3}^{0} g(x) \, dx = 4$

Déterminer, en appliquant les propriétés de symétrie de l'intégrale, la valeur de :

Le service d'aérodynamique d'une écurie modélise la section d'un aileron par une fonction continue $f(x)$ paire sur tout $\mathbb{R}$ ($f(-x) = f(x)$). Lors des essais en soufflerie, on a déterminé les valeurs suivantes de portance cumulée :\n$$\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 12 \qquad\text{et}\qquad \int_{-4}^{6} f(x) \, dx = 19$$\na) En utilisant les propriétés de symétrie des fonctions paires et la relation de Chasles, déduire, en justifiant, la valeur de $\int_{4}^{6} f(x) \, dx$ et celle de $\int_{-6}^{-4} f(x) \, dx$.\nb) Problème inverse : On souhaite ajouter un dispositif de compensation qui produit un effet constant uniforme. Poser et résoudre l'équation permettant de déterminer la valeur exacte de la constante réelle $k$ pour que la condition d'équilibre suivante soit vérifiée :\n$$\int_{-4}^{4} [k \cdot f(x) - 2] \, dx = 16$$

En traitement du signal audio numérique, on étudie des fonctions qui représentent des ondes sonores complexes. On considère la fonction $f(x) = x^3 \cdot \cos(x^2) \cdot e^{\sin^2(x)}$. Sans calculer aucune primitive, justifier, à l'aide des propriétés de l'intégrale définie, la valeur de :

Ensuite, sachant que $\int_{0}^{5} f(x) \, dx = K$, déterminer en fonction de $K$ la valeur de $\int_{-5}^{0} f(x) \, dx$.

Une pièce mécanique a un profil supérieur défini par la fonction $f(x)$, périodique de période $T=2$. On sait que sur l'intervalle $[0 ; 2]$, la fonction est $f(x) = x(2-x)$.

Calculer l'aire totale sous la courbe sur l'intervalle $[0 ; 20]$ en utilisant les propriétés de l'intégrale des fonctions périodiques et la relation de Chasles.

Dans une expérience d'optique sur la diffraction de la lumière, on obtient une intégrale de la forme $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \cdot \sin(x)}{1 + \cos^2(x)} \, dx$.

Pour la calculer, utiliser la propriété de symétrie $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ afin de démontrer que :

À partir de cette égalité, déterminer la valeur exacte de l'intégrale $I$.

Lors d'une épreuve de mathématiques avancées, on demande de calculer la valeur exacte de l'intégrale :\n$$I = \int_{-2}^{2} \left( \frac{x^5 \cdot \sqrt{4 + x^2} + \sin^3(x)}{1 + \cos^2(x) + x^4} + 3x^2 + 5 \right) \, dx$$\nDeux élèves débattent de la stratégie à adopter :\n- Laura (méthode 1) : elle propose de chercher d'abord une primitive $F(x)$ de la fonction à intégrer tout entière, à l'aide des techniques usuelles de calcul de primitives (changements de variable et trigonométrie), puis de calculer $F(2) - F(-2)$.\n- David (méthode 2) : il propose de décomposer l'intégrale par linéarité, d'étudier la parité de la fraction et de calculer le terme polynomial en exploitant les propriétés de symétrie de l'intégrale.\na) Choisir la méthode : analyser de façon critique la faisabilité des deux méthodes au niveau de la terminale. Justifier rigoureusement pourquoi la démarche de Laura est impraticable et pourquoi la méthode de David est la plus adaptée.\nb) En suivant la méthode la plus efficace, démontrer rigoureusement la symétrie de chaque terme et calculer la valeur exacte de $I$ en justifiant chaque propriété utilisée.

Paul et Sophie discutent de la portée des propriétés théoriques de l'intégrale. Paul formule au tableau deux conclusions :\n1. Conclusion 1 : « Pour calculer $\int_{2}^{8} f(x) \, dx$ en sachant seulement que $\int_{2}^{10} f(x) \, dx = 15$ et que $\int_{8}^{10} f(x) \, dx = 6$, on ne peut pas appliquer la relation de Chasles $\int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f$ car le point $c = 10$ n'appartient pas à l'intervalle $[2 ; 8]$ ».\n2. Conclusion 2 : « Si, pour une fonction continue $g(x)$, on vérifie que $\int_{-3}^{3} g(x) \, dx = 0$, alors il est démontré que $g(x)$ est nécessairement une fonction impaire sur $[-3 ; 3]$ ».\na) Identifier l'erreur conceptuelle de la Conclusion 1. Démontrer formellement que la relation de Chasles reste valable même si $c$ est extérieur à l'intervalle $[a ; b]$, en combinant la relation ordinaire sur $[2 ; 10]$ avec l'inversion des bornes, et calculer la valeur exacte de $\int_{2}^{8} f(x) \, dx$.\nb) Réfuter la Conclusion 2 en expliquant l'erreur de raisonnement logique (confusion entre implication et réciproque) et fournir un contre-exemple explicite : définir une fonction continue simple qui soit paire sur $[-3 ; 3]$ (et non identiquement nulle) dont l'intégrale sur cet intervalle symétrique soit exactement $0$.