Fonctions : limites, continuité, convexité, logarithme et exponentielle · Mathématiques et maths expertes Terminale (maths expertes)

Limites et asymptotes

Pour calculer une limite, on commence par les limites usuelles et les opérations.

Quand on tombe sur une forme indéterminée ($\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\frac\infty\infty$, $\frac00$), il faut transformer l'écriture.

Pourquoi ? Pour $x$ grand, $\mathrm e^x$ croît bien plus vite que n'importe quelle puissance de $x$. C'est ce qui lève l'indétermination dans $x\,\mathrm e^{-x}=\dfrac{x}{\mathrm e^x}$.

Démonstration de $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm e^x}{x^n}=+\infty$

On montre d'abord que $g(x)=\mathrm e^x-\dfrac{x^2}{2}$ est positive sur $[0\,;+\infty[$. On a $g'(x)=\mathrm e^x-x$ et $g''(x)=\mathrm e^x-1\geqslant0$, donc $g'$ est croissante avec $g'(0)=1>0$ : $g'>0$, $g$ est croissante et $g(0)=1>0$. Ainsi $\mathrm e^x>\dfrac{x^2}2$, donc $\dfrac{\mathrm e^x}{x}>\dfrac x2\to+\infty$. Par comparaison, $\dfrac{\mathrm e^x}{x}\to+\infty$.

Pour $n$ quelconque, on écrit $\dfrac{\mathrm e^x}{x^n}=\left(\dfrac{\mathrm e^{x/n}}{x/n}\right)^n\times\dfrac1{n^n}$ : avec $X=\dfrac xn\to+\infty$, $\dfrac{\mathrm e^X}{X}\to+\infty$, d'où le résultat.

En $0^+$, on pose $X=\dfrac1x$ pour $x\ln x$ : $x\ln x=-\dfrac{\ln X}{X}\to0$ car $\dfrac{\ln X}{X}\to0$ (on pose $X=\mathrm e^t$, $\dfrac{\ln X}{X}=t\,\mathrm e^{-t}\to0$).

Quand la limite en $\pm\infty$ est un réel $\ell$, la courbe admet l'asymptote horizontale $y=\ell$. Quand la limite en un réel $a$ est infinie, elle admet l'asymptote verticale $x=a$.

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=(x+1)\mathrm e^{-x}$. On note $\mathcal C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1.…

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=(x+1)\mathrm e^{-x}$. On note $\mathcal C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
a) Montrer que, pour tout réel $x$, $f(x)=x\mathrm e^{-x}+\mathrm e^{-x}$.

b) En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement.

Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=-x\,\mathrm e^{-x}$.
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb R$.
Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal C_f$ au point d'abscisse $1$.

Résoudre

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On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}$. On note $\mathcal C_f$ sa courbe représentative. 1. Déterminer les limites de $f$…

On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}$. On note $\mathcal C_f$ sa courbe représentative.

Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. Interpréter graphiquement.
Montrer que, pour tout réel $x>0$, $f'(x)=-\dfrac{\ln x}{x^2}$.
Dresser le tableau de variations de $f$.
Résoudre l'équation $f(x)=0$ et en déduire le signe de $f$ sur $]0\,;+\infty[$.
Montrer que, pour tout réel $x>0$, $f''(x)=\dfrac{2\ln x-1}{x^3}$. En déduire la convexité de $f$ et l'abscisse du point d'inflexion de $\mathcal C_f$.
Soit $k$ un réel. Discuter, selon les valeurs de $k$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$ sur $]0\,;+\infty[$.

Résoudre

Dérivation et variations

Le signe de $f'$ donne les variations : $f'\geqslant0$ sur un intervalle $\Rightarrow$ $f$ croissante, $f'\leqslant0$ $\Rightarrow$ $f$ décroissante.

Dérivée d'une fonction composée

Si $u$ est dérivable et (selon le cas) strictement positive :

$f$	$f'$
$\mathrm e^{u}$	$u'\,\mathrm e^{u}$
$\ln u$	$\dfrac{u'}{u}$
$\sqrt u$	$\dfrac{u'}{2\sqrt u}$
$\sin u$ ; $\cos u$	$u'\cos u$ ; $-u'\sin u$
$u^n$	$n\,u'\,u^{n-1}$

Plus généralement, $(v\circ u)'=(v'\circ u)\times u'$. Les formules du produit $(uv)'=u'v+uv'$ et du quotient $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ restent valables.

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1. On considère la fonction $g$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $g(x)=x-1-\ln x$. a) Calculer $g'(x)$ et étudier son signe. b) Dresser le tableau de variations de $g$…

On considère la fonction $g$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $g(x)=x-1-\ln x$.

a) Calculer $g'(x)$ et étudier son signe.

b) Dresser le tableau de variations de $g$ (on admettra que $g(x)\to+\infty$ en $0$ et en $+\infty$).

c) En déduire que, pour tout réel $x>0$, $\ln x\le x-1$.

Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $\mathrm e^{2x}-5\mathrm e^{x}+6=0$. On pourra poser $X=\mathrm e^x$.
Résoudre dans $]0\,;+\infty[$ l'inéquation $\ln(x)\ge 2$.

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Partie A On considère la fonction $g$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $g(x)=\ln(1+x)-x$. 1. Montrer que $g'(x)=-\dfrac{x}{1+x}$ et dresser le tableau de variations de…

Partie A

On considère la fonction $g$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $g(x)=\ln(1+x)-x$.

Montrer que $g'(x)=-\dfrac{x}{1+x}$ et dresser le tableau de variations de $g$.
En déduire que, pour tout réel $x>0$, $\ln(1+x)
On considère la fonction $h$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $h(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^2}2$. Montrer que $h'(x)=\dfrac{x^2}{1+x}$ et en déduire que, pour tout réel $x\ge0$, $\ln(1+x)\ge x-\dfrac{x^2}2$.

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\ln(1+u_n)$.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$.
Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
En déduire que la suite $(u_n)$ converge. Déterminer sa limite en justifiant l'équation vérifiée par cette limite.
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0

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Convexité et point d'inflexion

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Partie A On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x\,\mathrm e^{-x}$ et on note $\mathcal C_f$ sa courbe représentative. 1. Montrer que…

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x\,\mathrm e^{-x}$ et on note $\mathcal C_f$ sa courbe représentative.

Montrer que $f'(x)=(1-x)\mathrm e^{-x}$ et que $f''(x)=(x-2)\mathrm e^{-x}$ pour tout réel $x$.
Étudier la convexité de $f$ sur $\mathbb R$. La courbe $\mathcal C_f$ admet-elle un point d'inflexion ? Si oui, préciser ses coordonnées.
Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal C_f$ au point d'abscisse $2$.

Partie B

Justifier que la fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb R$.
En déduire que, pour tout réel $x$, $\mathrm e^x\ge x+1$.
Montrer alors que, pour tout réel $x>0$, $\ln x\le x-1$.
Déduire de la question 2 que, pour tout réel $x$, $x\,\mathrm e^{-x}\le 1-\mathrm e^{-x}$.

Résoudre

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\ln(1+\mathrm e^x)$. 1. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{\mathrm e^x}{1+\mathrm e^x}$ et que…

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\ln(1+\mathrm e^x)$.

Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{\mathrm e^x}{1+\mathrm e^x}$ et que $f''(x)=\dfrac{\mathrm e^x}{(1+\mathrm e^x)^2}$.
En déduire les variations et la convexité de $f$ sur $\mathbb R$.
a) Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.

b) Montrer que, pour tout réel $x$, $f(x)=x+\ln(1+\mathrm e^{-x})$, puis que $f(x)-x$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.

Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$. En déduire que, pour tout réel $x$, $\ln(1+\mathrm e^x)\ge\ln2+\dfrac x2$.
a) Justifier que, pour tous réels $a$ et $b$, $f\!\left(\dfrac{a+b}2\right)\le\dfrac{f(a)+f(b)}2$. On pourra utiliser la définition de la convexité par les sécantes.

b) En déduire que, pour tous réels strictement positifs $x$ et $y$, $1+\sqrt{xy}\le\sqrt{(1+x)(1+y)}$.

Résoudre l'équation $f(x)=1$.

Résoudre

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle : au bac, on n'a pas à justifier la continuité des fonctions usuelles construites par dérivabilité.

L'unicité vient de la stricte monotonie ; l'existence vient de la continuité (la courbe ne peut pas « sauter » la valeur $k$).

Encadrer la solution de $x^3+2x-1=0$

Soit $f(x)=x^3+2x-1$. On a $f'(x)=3x^2+2>0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$.

$f(0)=-1<0$ et $f(1)=2>0$. $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[0\,;1]$ : d'après le TVI, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha\in]0\,;1[$.

Encadrement à la calculatrice. $f(0{,}4)=-0{,}136<0$ et $f(0{,}5)=0{,}125>0$, donc $0{,}4<\alpha<0{,}5$. Puis $f(0{,}45)\approx-0{,}0089<0$ et $f(0{,}46)\approx0{,}0173>0$ : $0{,}45<\alpha<0{,}46$.

Signe de $f$. $f$ est strictement croissante et s'annule en $\alpha$ : $f(x)<0$ pour $x<\alpha$ et $f(x)>0$ pour $x>\alpha$.

Même démarche pour $g(x)=x^3+x-1$ : montre qu'il existe une unique solution $\alpha\in]0\,;1[$ à $g(x)=0$, puis donne un encadrement d'amplitude $0{,}01$.

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^3+x-1$. 1. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb R$. 2. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une…

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^3+x-1$.

Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb R$.
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb R$ et que $\alpha\in]0\,;1[$.
À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}01$.
En déduire le signe de $f(x)$ sur $\mathbb R$.

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On considère la fonction $h$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $h(x)=\dfrac{\mathrm e^x}{x}$. Partie A 1. Déterminer les limites de $h$ en $0$ et en $+\infty$. 2. Montrer…

On considère la fonction $h$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $h(x)=\dfrac{\mathrm e^x}{x}$.

Partie A

Déterminer les limites de $h$ en $0$ et en $+\infty$.
Montrer que, pour tout réel $x>0$, $h'(x)=\dfrac{(x-1)\mathrm e^x}{x^2}$.
Dresser le tableau de variations de $h$. Préciser son minimum.
Soit $k$ un réel strictement positif. Déterminer, selon les valeurs de $k$, le nombre de solutions de l'équation $\mathrm e^x=kx$ dans $]0\,;+\infty[$.

Partie B

Montrer que l'équation $h(x)=3$ admet exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha<1<\beta$.
À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}01$ et un encadrement de $\beta$ d'amplitude $0{,}1$.
La fonction exponentielle étant convexe, justifier que sa courbe est au-dessus de sa tangente au point d'abscisse $1$. En déduire que, pour tout réel $x$, $\mathrm e^x\ge\mathrm e\,x$. Retrouver ce résultat à l'aide de la partie A.

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Exponentielle et logarithme : équations et inéquations

Avant de résoudre une équation avec $\ln$, on cherche toujours l'ensemble de définition.

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Partie A On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;\pi]$ par $f(x)=\sin x\,(1+\cos x)$. 1. Montrer que, pour tout $x\in[0\,;\pi]$, $f'(x)=(2\cos x-1)(\cos x+1)$. 2.…

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;\pi]$ par $f(x)=\sin x\,(1+\cos x)$.

Montrer que, pour tout $x\in[0\,;\pi]$, $f'(x)=(2\cos x-1)(\cos x+1)$.
Résoudre sur $[0\,;\pi]$ l'inéquation $2\cos x-1\ge0$.
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\pi]$ et préciser la valeur exacte de son maximum.

Partie B

Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath)$, on considère le demi-cercle de centre $O$ et de rayon $1$ situé dans le demi-plan $y\ge0$, et les points $A(-1\,;0)$ et $B(1\,;0)$. Pour $x\in]0\,;\frac\pi2[$, on note $C(\cos x\,;\sin x)$ et $D(-\cos x\,;\sin x)$. Le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze isocèle de bases $[AB]$ et $[CD]$.

Exprimer les longueurs $AB$ et $CD$ en fonction de $x$, puis montrer que l'aire du trapèze $ABCD$ est égale à $f(x)$.
Pour quelle valeur de $x$ l'aire du trapèze est-elle maximale ? Donner cette aire maximale.

Résoudre

Rédiger l'exercice de fonctions au bac

Les points se gagnent sur la justification. Voici les réflexes à avoir.

Question	Ce qu'il faut écrire
« Déterminer la limite »	la limite usuelle ou le théorème utilisé (opérations, croissances comparées, composée)
« Montrer que $f'(x)=\dots$ »	la formule appliquée ($uv$, $\frac uv$, composée), puis le calcul jusqu'à l'expression demandée
« Dresser le tableau de variations »	le signe de $f'$ justifié, les limites et les valeurs aux bornes
« Montrer qu'il existe une unique solution »	continuité, stricte monotonie, valeurs aux bornes, TVI
« Étudier la convexité »	le calcul de $f''$ et son signe
« Interpréter graphiquement »	asymptote (avec son équation), tangente, point d'inflexion

Quand l'énoncé demande de « montrer que » une expression donnée, tu connais le résultat : concentre-toi sur le chemin. Si tu bloques sur une question, admets son résultat et passe à la suivante : les questions suivantes s'appuient sur l'énoncé, pas sur ta réponse.

Vérifie enfin tes calculs avec la calculatrice ou un point de la courbe : une dérivée dont le signe contredit les valeurs de $f$ est fausse.

Pour l'étude d'une fonction du type $f(x)=(x+1)\mathrm e^{-x}$, on enchaîne maintenant sans hésiter : limites par croissances comparées, dérivée par produit et composée, tableau de variations, tangente, puis $f''$ pour la convexité et le TVI pour les équations $f(x)=k$.

L'essentiel

Limites : croissances comparées ($x^n\mathrm e^{-x}\to0$, $\frac{\ln x}{x^n}\to0$, $x\ln x\to0$ en $0^+$) ; en cas d'indétermination, on factorise ou on développe. Une limite finie en $\pm\infty$ donne une asymptote horizontale, une limite infinie en $a$ une asymptote verticale.
Dérivation : $(\mathrm e^u)'=u'\mathrm e^u$, $(\ln u)'=\frac{u'}u$ ; le signe de $f'$ donne les variations.
Convexité : $f''\geqslant0$ $\iff$ convexe (courbe au-dessus des tangentes) ; inflexion si $f''$ s'annule en changeant de signe.
TVI : continue + strictement monotone + $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ $\Rightarrow$ une unique solution de $f(x)=k$ ; on discute le nombre de solutions intervalle par intervalle.
Exp et ln : $\mathrm e^x=a\iff x=\ln a$ ; domaine d'abord, changement de variable $X=\mathrm e^x$ pour les équations du second degré.

À s'entraîner ! 3 exercices de niveau moyen dans cette section

★★☆ Partie A On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par…★★☆ On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}$.…★★☆ Partie A On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;\pi]$ par…