Convexité : concavité et convexité. Point d'inflexion

Observer la courbe suivante d'une fonction $f(x)$ et identifier, visuellement, sur quels intervalles la fonction est convexe (courbe tournée vers le haut, $\cup$) et sur lesquels elle est concave (courbe tournée vers le bas, $\cap$). Indiquer approximativement l'abscisse $x$ où vous pensez que se situe le point d'inflexion.

Associer chacune des conditions suivantes sur la dérivée seconde à l'allure de la courbe de la fonction $f(x)$ sur un intervalle donné :

1. $f''(x) > 0$ pour tout $x \in ]a ; b[$

2. $f''(x) < 0$ pour tout $x \in ]a ; b[$

3. $f''(c) = 0$ et $f''(x)$ change de signe en $x = c$.

Utiliser les termes : Concave (courbe tournée vers le bas, $\cap$), Convexe (courbe tournée vers le haut, $\cup$) et Point d'inflexion.

Soit la fonction polynôme $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. Réaliser les étapes suivantes pour étudier sa convexité (on dit qu'elle est concave ($\cap$) dans la zone où $f''(x)<0$ et convexe ($\cup$) dans la zone où $f''(x)>0$) :

1. a) Calculer la dérivée seconde $f''(x)$.

1. b) Déterminer les intervalles de concavité ($\cap$) et de convexité ($\cup$).

1. c) Déterminer les coordonnées du point d'inflexion.

Déterminer les intervalles de convexité de la fonction exponentielle $f(x) = e^{2x} - 4x$. Cette fonction possède-t-elle un point d'inflexion ? Justifier la réponse en s'appuyant sur la valeur de la dérivée seconde.

Un concepteur de skateparks modélise le profil d'une rampe au moyen de la fonction $f(x) = \frac{1}{6}x^3 - x^2 + 5$, où $x$ représente la distance horizontale en mètres. Le concepteur a besoin de savoir où la rampe passe de « type montagne » (concave) à « type vallée » (convexe) afin d'assurer la transition. Déterminer le point d'inflexion de cette trajectoire.

Marc doit étudier la convexité de la fonction polynôme $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 + 2$. Dans sa copie, il écrit le raisonnement suivant :

« Dérivée première : $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x$.

Dérivée seconde : $f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x - 1)^2$.

Je résous $12(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1$.

Donc la courbe de la fonction change de convexité en $x = 1$ et présente un point d'inflexion en $(1 ; 5)$. »

1. a) Identifier et expliquer en détail l'erreur conceptuelle commise par Marc. La condition $f''(x_0) = 0$ est-elle suffisante à elle seule pour garantir l'existence d'un point d'inflexion ?
2. b) Corriger l'exercice en déterminant les véritables intervalles de concavité ($\cap$) et de convexité ($\cup$) de $f(x)$, et conclure en justifiant si la courbe possède ou non des points d'inflexion.

Soit la fonction rationnelle $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+3}$. Réaliser une étude détaillée de sa convexité (on considère la fonction concave $\cup$ là où $f''(x)>0$ et convexe $\cap$ là où $f''(x)<0$). Pour cela :

1. a) Déterminer les intervalles de concavité et de convexité.

1. b) Déterminer les coordonnées exactes de ses points d'inflexion, s'il en existe.

Une équipe d'ingénieurs conçoit une rampe de saut pour un parc de sports extrêmes. Le profil de la section centrale de la rampe suit la fonction $f(x) = (x-2)e^x$ pour $x \in [-1 ; 3]$.

Calculer la valeur de l'abscisse $x$ où la rampe passe de concave à convexe (point d'inflexion). Justifier pourquoi, en ce point, la rampe atteint sa pente de descente maximale sur ce tronçon.

Le nombre d'utilisateurs actifs d'un nouveau réseau social pendant les 6 premiers mois suit approximativement la fonction $N(t) = \frac{30t^2}{t^2 + 4}$, où $t$ est le temps en mois et $N(t)$ est le nombre d'utilisateurs en milliers.

1. Déterminer l'instant exact (valeur de $t$) à partir duquel la croissance du nombre d'utilisateurs commence à ralentir (point d'inflexion).

2. Expliquer la signification de la convexité de la fonction avant et après cet instant en termes de « rythme de croissance ».

Le graphique suivant correspond à la fonction dérivée première, $f'(x)$, d'une fonction continue $f(x)$ définie sur $\mathbb{R}$. À partir de l'information visuelle fournie et en se limitant à la portion représentée, $-2 < x < 2$ :

1. a) Déterminer les intervalles de concavité et de convexité de la fonction initiale $f(x)$.
2. b) Indiquer les abscisses des points d'inflexion de $f(x)$.
3. c) Sachant que $f(0) = 0$, esquisser la courbe de la fonction initiale $f(x)$ en se basant sur sa convexité.

Soit la fonction $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$. Bien qu'il s'agisse d'une fonction rationnelle, l'étude de sa convexité sur son ensemble de définition est simple. La figure montre sa courbe et ses asymptotes.

1. Déterminer $f''(x)$.

2. Étudier son signe sur les intervalles correspondants (en tenant compte du fait que $x=1$ n'appartient pas à l'ensemble de définition) et le relier à la convexité que l'on observe sur chaque branche de la courbe.

3. Y a-t-il des points d'inflexion ? Justifier si le changement de convexité au niveau de l'asymptote verticale est considéré comme un point d'inflexion.

Soit la fonction $f(x) = \ln(x^2 + 9)$. Déterminer :

1. Les intervalles où la fonction est concave ($\cap$) et où elle est convexe ($\cup$).

2. Les coordonnées des points d'inflexion.

3. L'équation de la tangente à la courbe de $f(x)$ en son point d'inflexion d'abscisse positive.

Soit la fonction $f(x) = x \cdot e^{-x^2}$. On demande :

1. a) Déterminer les intervalles de concavité et de convexité en étudiant le signe de $f''(x)$ (la fonction est convexe, $\cup$, là où $f''(x) > 0$ et concave, $\cap$, là où $f''(x) < 0$).

1. b) Déterminer les points d'inflexion de la courbe.

1. c) Que se passe-t-il pour la convexité de la fonction lorsque $x \to +\infty$ et lorsque $x \to -\infty$ ? Justifier la réponse en s'appuyant sur la limite de la dérivée seconde.

Soit la fonction $f(x) = \frac{e^x}{x^2}$.

1. a) Étudier l'ensemble de définition et les asymptotes de la fonction.
2. b) Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance, et les extremums locaux.
3. c) Analyser la convexité et démontrer qu'il n'existe aucun point d'inflexion.
4. d) Vers quelle valeur tend le coefficient directeur de la tangente à la courbe lorsque $x \to \infty$ ? Cela change-t-il la convexité en l'infini ?

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la fonction $f(x) = x^3 + kx^2 + 5x - 2$ admette un point d'inflexion en $x = 2$. Une fois $k$ trouvé, indiquer si la fonction est concave ou convexe au point $x = 0$.

Déterminer l'expression d'une fonction cubique $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ vérifiant simultanément les quatre conditions suivantes :

1. Sa courbe coupe l'axe des ordonnées au point $(0 ; -5)$.

2. Elle présente un point d'inflexion au point de coordonnées $(2 ; 3)$.

3. La tangente à la courbe en ce point d'inflexion a pour coefficient directeur $-4$.

4. La fonction est concave ($\cap$) sur $]-\infty ; 2[$ et convexe ($\cup$) sur $]2 ; +\infty[$.

Calculer en justifiant les coefficients $a, b, c$ et $d$, et vérifier explicitement, grâce au signe de $f''(x)$, que la condition de convexité 4 est bien vérifiée de façon stricte avec les valeurs trouvées.

On sait que la fonction polynôme $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ admet un point d'inflexion au point $P(1\,;\,2)$ et que le coefficient directeur de la tangente en ce point est $m = -3$. Calculer les valeurs des paramètres $a, b$ et $c$.

On considère la famille de fonctions de la forme $f(x) = (x^2 + ax + b) \cdot e^{-x}$, où $a$ et $b$ sont des paramètres réels. On sait que la courbe de la fonction passe par le point $(0\,;\,1)$ et qu'elle admet un point d'inflexion au point d'abscisse $x = 1$.

1. a) Déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
2. b) Pour les valeurs trouvées, étudier les intervalles de concavité et de convexité de la fonction et vérifier s'il existe d'autres points d'inflexion.