Angle entre une droite et un plan dans l'espace

Un architecte conçoit la toiture inclinée d'un gymnase. Dans son projet, la structure de soutien principale suit la direction de la droite $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{2}$, tandis que le sol du gymnase se trouve dans le plan horizontal $\pi: z = 0$. Calculer l'angle que forme la poutre de soutien avec le sol.

Calculer l'angle que forme la droite $r$ passant par les points $A(1 ; 0 ; 1)$ et $B(2 ; 1 ; 2)$ avec le plan d'équation cartésienne $\pi: x + y + 1 = 0$.

Calculer l'angle aigu que forme la droite $r$, passant par les points $A(1, 0, -2)$ et $B(3, -1, 1)$, avec le plan $\pi$ d'équation cartésienne $2x + y - 3z + 4 = 0$. Exprimer le résultat en degrés, minutes et secondes.

Soit la droite $s: \frac{x}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z+2}{2}$ et le plan $\pi: 3x - 2y + z - 5 = 0$. Vérifier si la droite et le plan sont parallèles ou si, au contraire, ils se coupent en formant un angle déterminé. Dans le cas où ils se coupent, calculer cet angle.

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la droite $r: \frac{x-1}{k} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ soit perpendiculaire au plan $\pi: 2x + 4y - 2z + 7 = 0$. Quel est l'angle qu'ils forment dans ce cas ?

Soit la droite $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = -1 - \lambda \end{cases}$ et le plan $\pi \equiv x + ky + 2z - 1 = 0$. Déterminer la valeur du paramètre réel $k$ sachant que l'angle formé par la droite et le plan est de $30^\circ$.

Déterminer une équation cartésienne du plan $\pi$ contenant la droite $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z}{1}$ et perpendiculaire au plan $\sigma \equiv x - y + z + 3 = 0$. Une fois ce plan trouvé, vérifier quel angle forme la droite $r$ avec ce plan $\pi$. Le résultat était-il prévisible ? Justifier la réponse.

Calculer le sinus de l'angle que forme la droite $r$, définie comme l'intersection des plans $\pi_1: x - y = 0$ et $\pi_2: y - z = 0$, avec le plan $\pi_3: x + y + 2z - 4 = 0$. (Indication : Obtenir d'abord le vecteur directeur de la droite $r$ à l'aide du produit vectoriel des vecteurs normaux de $\pi_1$ et $\pi_2$).

Déterminer l'angle que forme la droite $r$, définie comme l'intersection des plans $\pi_1 \equiv x - y = 0$ et $\pi_2 \equiv 2y + z = 1$, avec le plan $\alpha \equiv 3x - z = 0$.

On considère la droite $s$ définie par l'intersection de plans :

et la droite $r$ donnée sous forme continue :

On définit le faisceau de plans contenant la droite $s$, dont l'équation est donnée par $\pi_\lambda: (x - z) + \lambda(y - 3) = 0$ avec $\lambda \in \mathbb{R}$, auquel on ajoute le plan complémentaire $\pi_\infty: y - 3 = 0$.

1. a) Déterminer les valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'angle $\alpha$ formé par la droite $r$ et le plan $\pi_\lambda$ est exactement de $45^\circ$. Écrire l'équation cartésienne de chacun des plans obtenus.
2. b) Vérifier analytiquement si le plan complémentaire $\pi_\infty: y - 3 = 0$ forme aussi $45^\circ$ avec $r$.
3. c) Raisonner géométriquement pour savoir s'il existe un plan de ce faisceau strictement perpendiculaire à la droite $r$. Pour cela, analyser la condition nécessaire que devraient vérifier les vecteurs directeurs des deux droites $\vec v_s$ et $\vec v_r$, sans avoir à résoudre de systèmes d'équations complexes.

Un rayon laser part de l'origine des coordonnées $O(0 ; 0 ; 0)$ dans la direction du vecteur $\vec{v} = (1 ; 1 ; 1)$. On considère un mur plan d'équation $\pi: x - 2y + z = 0$. Quel angle le faisceau lumineux forme-t-il avec la surface du mur ?

On considère le cube d'arête 1 unité ayant un sommet à l'origine $(0\,;0\,;0)$ et des arêtes portées par les axes de coordonnées positifs. Soit $d$ la droite qui contient la grande diagonale du cube (celle qui joint $(0\,;0\,;0)$ à $(1\,;1\,;1)$).

Déterminer l'angle que forme cette diagonale $d$ avec la face du cube située dans le plan $XY$.

Calculer l'angle que forme la droite $r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ avec chacun des plans de coordonnées. Ces trois angles ont-ils pour somme $180^\circ$ ? Justifier la réponse en utilisant les notions de vecteurs directeurs et de vecteurs normaux.