Distances dans l'espace

Dans un environnement de développement d'un jeu vidéo en 3D, deux objets sont situés aux points $A(2 ; -3 ; 1)$ et $B(6 ; 1 ; 1)$, les unités étant des mètres. Calculer la distance qui sépare les deux objets afin de programmer une collision si cette distance est inférieure à 5 mètres.

Calculer les coordonnées des points de l'axe des abscisses (axe $OX$) dont la distance au point $P(3 ; 2 ; 2)$ est exactement égale à $\sqrt{8}$ unités. Expliquer pourquoi on obtient une unique solution d'un point de vue géométrique.

Un capteur de profondeur laser se trouve au point $S(5 ; -7 ; 4)$. Le laser est dirigé droit vers le mur latéral, représenté par le plan de coordonnées $XZ$. À quelle distance du mur se trouve le capteur ?

Une antenne émettrice de téléphonie se trouve au point $P(1 ; 2 ; -3)$. On sait que le signal est intercepté de façon optimale par un panneau réflecteur plan d'équation $\pi: 3x - 4z + 2 = 0$. Déterminer la distance minimale que doit parcourir l'onde de l'antenne jusqu'au panneau.

Déterminer les coordonnées des points de la droite $r \equiv x = y = z$ situés à une distance de $2\sqrt{3}$ unités du plan $\pi \equiv x + 2y - 2z + 1 = 0$.

On considère le point $P(4\,;\,3\,;\,7)$ et la droite verticale $r \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = -1 \end{cases}$, parallèle à l'axe $Z$.

1. Estimer et justifier : avant d'appliquer une formule, analyser la position de $P$ et de la droite $r$. Expliquer pourquoi la cote (coordonnée $z$) de $P$ ne doit pas influer sur la distance minimale à la droite verticale $r$, et déduire la valeur exacte que devrait avoir cette distance en se basant uniquement sur les coordonnées $x$ et $y$ projetées dans le plan $z = 0$.

2. Vérifier : écrire la droite $r$ sous forme paramétrique, choisir un point $A \in r$ et son vecteur directeur $\vec{v}$, puis calculer formellement la distance en appliquant la formule tridimensionnelle du produit vectoriel : $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$. Vérifier si le résultat coïncide avec la déduction précédente et expliquer quelle grandeur géométrique représente le vecteur $\vec{AP} \times \vec{v}$ dans ce contexte.

Le crochet d'une grue de chantier est suspendu à la position $Q(4 ; -3 ; 12)$. Les techniciens ont besoin de connaître la distance du crochet à l'axe des cotes (axe $(Oz)$). Calculer cette distance afin de vérifier l'espace libre de rotation de la grue par rapport à l'axe vertical de référence.

Une fusée-sonde suit une trajectoire rectiligne définie par la droite $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$. La fusée doit envoyer un signal à la station de suivi située au point $P(5 ; -1 ; 4)$. Calculer la distance minimale à laquelle la fusée passera de la station de suivi pendant son vol.

Une entreprise de logistique utilise des drones pour transporter des colis. Un drone se déplace du point $A(1 ; 0 ; 2)$ en ligne droite vers le point $B(5 ; 4 ; 10)$. Au centre de la zone d'opérations se trouve une antenne émettrice située au point $P(3 ; 5 ; 1)$.

Déterminer :

1. Le point exact de la trajectoire du drone qui se trouve à la distance minimale de l'antenne.

2. Si le signal de l'antenne a une portée de $5$ unités, déterminer pendant quel intervalle de son trajet (valeurs du paramètre $\lambda$) le drone est couvert.

Déterminer l'ensemble des points de l'espace équidistants des points $A(1 ; -2 ; 3)$ et $B(3 ; 0 ; 1)$. Quelle figure géométrique cet ensemble représente-t-il ? Calculer la distance de l'origine du repère à cet ensemble.

Un rayon laser part du point $A(5\,;\,2\,;\,6)$ et se réfléchit sur un miroir plan représenté par le plan de coordonnées $XY$ ($z=0$). Le rayon réfléchi doit passer par le point $B(1\,;\,4\,;\,2)$.

On demande :

1. Déterminer les coordonnées du point d'impact $C$ du laser sur le miroir.

2. Calculer la distance totale parcourue par le rayon depuis le point $A$ jusqu'au point $B$. (Remarque : la distance minimale s'obtient à l'aide du point symétrique.)

Soit le point $P(1 ; 2 ; -1)$ et la droite $r: \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - z = 4 \end{cases}$.

1. Déterminer le symétrique de $P$ par rapport à la droite $r$. On le note $P'$.

2. Déterminer la distance de $P'$ au plan $\pi: 2x - 3y + z + 10 = 0$.

3. Quel est le volume du tétraèdre formé par le point $P$, sa projection sur la droite $r$, et les points d'intersection du plan $\pi$ avec les axes $OX$ et $OY$ ?

Dans la conception d'une salle d'exposition, le sol et le plafond ont été modélisés par deux plans parallèles d'équations $\pi_1: x - 2y + 2z - 4 = 0$ et $\pi_2: x - 2y + 2z + 11 = 0$. Déterminer la hauteur de la salle.

On a installé un rail métallique pour un robot industriel, qui suit la trajectoire de la droite :

Si le sol de l'usine est le plan $\pi: x - 2z + 5 = 0$, vérifier d'abord que le rail est parallèle au sol, puis calculer la distance de sécurité à laquelle se trouve le rail par rapport au sol.

Dans un devoir de terminale, on demande de calculer la distance entre les deux plans parallèles $\pi_1: 2x - 2y + z - 6 = 0$ et $\pi_2: 4x - 4y + 2z + 8 = 0$. Lucas rédige la résolution suivante :

« Comme les plans sont parallèles, je soustrais directement les termes constants et je divise par la norme du vecteur normal de $\pi_1$ :

1. Repérer l'erreur conceptuelle commise par Lucas lorsqu'il applique la formule directement avec les coefficients donnés.

2. Expliquer géométriquement pourquoi la formule simplifiée de la différence des termes constants n'est valable que lorsque les équations ont exactement le même vecteur normal (ou comment procéder de façon sûre en choisissant un point de l'un des plans).

3. Corriger le calcul et déterminer la distance réelle et exacte entre $\pi_1$ et $\pi_2$.

Calculer la valeur du paramètre $k$ pour que la distance entre les plans parallèles $\pi_1 \equiv 2x + 2y - z + 3 = 0$ et $\pi_2 \equiv 4x + 4y - 2z + k = 0$ soit égale à 3 unités. Expliquer pourquoi il existe deux valeurs possibles pour $k$.

On considère un plan $\pi$ qui passe par le point $M(1, 0, 3)$ et est perpendiculaire à la droite $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{1}$.

1. Déterminer l'équation de la sphère tangente au plan $\pi$ et de centre le point $C(4, 5, 2)$.

2. Calculer la distance de l'origine du repère au point de tangence entre la sphère et le plan.

On conçoit les structures porteuses d'un pavillon. Deux des poutres principales sont modélisées par les droites $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$ et $s \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{3}$. Déterminer la distance minimale qui sépare les deux poutres afin de vérifier s'il est nécessaire d'installer un connecteur de sécurité entre elles.

Deux satellites de communication suivent des trajectoires rectilignes dans l'espace (mesurées en centaines de kilomètres) représentées par les droites $r$ et $s$ :

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$ et $s: \frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-k}{1}$

On demande :

1. Déterminer les valeurs du paramètre $k$ pour que la distance minimale entre les deux trajectoires soit exactement de $\sqrt{6}$ unités (600 km).

2. Pour chaque valeur de $k$ obtenue à la question précédente, déterminer les points de chaque trajectoire où cette distance minimale est atteinte (points de la perpendiculaire commune).