Plus grand commun diviseur (PGCD)

Observer les diviseurs des nombres $24$ et $36$ :

• $Div(24) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$

• $Div(36) = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$

À partir de ces listes :

1. a) Écrire les diviseurs communs aux deux nombres.
2. b) Identifier le plus grand de ces diviseurs communs. Comment appelle-t-on ce nombre ?

Deux nombres sont dits premiers entre eux si leur seul diviseur commun est $1$. Vérifier si les couples de nombres suivants sont premiers entre eux en calculant leur plus grand commun diviseur :

1. a) $8$ et $15$
2. b) $14$ et $21$
3. c) $9$ et $20$

Vous allez calculer le plus grand commun diviseur de $48$ et $80$, mais avant d'appliquer un algorithme, vous devez anticiper la forme de la solution :

1. a) Estimer : sans décomposer les nombres en facteurs premiers, répondre en justifiant :

• Le résultat peut-il être supérieur à $48$ ? Pourquoi ?

• Sachant que $48$ et $80$ sont tous deux pairs, le résultat pourrait-il être un nombre impair ?

• Vérifier mentalement si $10$ pourrait être un diviseur commun des deux. Pourquoi l'écarte-t-on immédiatement ?

1. b) Vérifier : décomposer $48$ et $80$ en produit de facteurs premiers, calculer le $\text{PGCD}(48\ ;\ 80)$ et vérifier si la valeur obtenue respecte toutes les déductions faites lors de l'estimation.

Calculer le plus grand commun diviseur (PGCD) des nombres suivants en utilisant la méthode de la décomposition en produit de facteurs premiers (rappel : on prend les facteurs communs élevés au plus petit exposant) :

1. a) $12$ et $18$
2. b) $20$ et $30$
3. c) $15$ et $25$

Marc doit calculer le plus grand commun diviseur de $72$ et $120$. Après avoir décomposé les deux nombres en produit de facteurs premiers, il écrit dans son cahier :

Et il conclut : « Comme le PGCD est le plus grand, je prends tous les facteurs qui apparaissent avec leur plus grand exposant : $\text{PGCD}(72 ; 120) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360$ ».

1. a) Sans faire de calculs compliqués, expliquer pourquoi le résultat de Marc est impossible, en raisonnant sur le sens du mot « diviseur ».
2. b) Quel concept Marc a-t-il réellement calculé à la place du PGCD ?
3. c) Expliquer la règle correcte pour calculer le PGCD à partir des décompositions en facteurs premiers et déterminer le bon résultat.

Calculer le plus grand commun diviseur des groupes de nombres suivants en utilisant la méthode de la décomposition en produit de facteurs premiers :

1. a) $\text{PGCD}(120 ; 150)$
2. b) $\text{PGCD}(72 ; 108 ; 144)$
3. c) $\text{PGCD}(45 ; 60 ; 105)$

Pensez à écrire d'abord chaque nombre comme produit de facteurs premiers, puis à retenir les facteurs communs élevés au plus petit exposant.

Pour calculer le plus grand commun diviseur de deux nombres, vous disposez de plusieurs stratégies :

• Méthode A (critère de divisibilité directe) : si le plus grand nombre est divisible par le plus petit, le plus petit est directement le PGCD.

• Méthode B (liste exhaustive des diviseurs) : écrire tous les diviseurs des deux nombres et chercher le plus grand qui soit commun.

• Méthode C (décomposition en facteurs premiers) : décomposer en produit de facteurs premiers et retenir les facteurs communs avec le plus petit exposant.

Analyser les deux couples de nombres suivants :

1) $28$ et $112$

2) $90$ et $126$

Pour chacun des deux couples :

1. a) Choisir en justifiant laquelle des trois méthodes est la plus rapide et la plus efficace, en expliquant pourquoi on écarte les deux autres dans ce cas précis.
2. b) Appliquer la méthode choisie pour calculer le PGCD de chaque couple.

Dans un camp d'aventure dans les Pyrénées, les moniteurs ont deux cordes d'escalade : l'une mesure $20$ mètres et l'autre $28$ mètres. Ils veulent les couper en morceaux égaux, de la plus grande longueur possible, sans qu'il reste de corde. Quelle doit être la longueur de chaque morceau ?

Dans une classe de 5e, il y a $24$ garçons et $16$ filles. Le professeur d'EPS veut former des équipes de même effectif, les plus grandes possible, de sorte que chaque équipe soit composée uniquement de garçons ou uniquement de filles.

1. a) Combien d'élèves y aura-t-il dans chaque équipe ?
2. b) Combien d'équipes de garçons et combien d'équipes de filles seront formées ?

On veut décorer un mur de la salle de musique qui mesure $120$ cm de haut sur $180$ cm de large avec des cartons carrés. On veut que les cartons soient les plus grands possible et qu'ils recouvrent exactement le mur sans avoir à les couper :

1. a) Quelle doit être la longueur du côté de chaque carton ?
2. b) Combien de cartons faudra-t-il au total ?

Une boutique d'artisanat possède deux rubans de soie, un ruban cramoisi qui mesure $160$ cm et un ruban turquoise qui mesure $120$ cm. On veut couper les deux rubans en morceaux de même longueur, les plus longs possible, sans qu'il reste de tissu.

1. a) Quelle doit être la longueur de chaque morceau ?

1. b) Combien de morceaux cramoisis obtiendra-t-on ? Et de morceaux turquoise ?

Un agent municipal veut carreler une zone rectangulaire d'un parc qui mesure $24$ mètres de long sur $18$ mètres de large. Pour cela, il va utiliser des dalles carrées les plus grandes possible et ne veut en couper aucune.

1. a) Déterminer la longueur du côté de chaque dalle.
2. b) Calculer le nombre total de dalles nécessaires pour couvrir toute la surface.

Une banque alimentaire a reçu $210$ boîtes de thon, $126$ paquets de riz et $84$ boîtes de légumineuses. Elle veut préparer le plus grand nombre possible de colis d'aide identiques contenant les trois types d'aliments, de sorte qu'il ne reste rien.

1. a) Combien de colis d'aide pourra-t-elle préparer ?
2. b) Combien de produits de chaque type y aura-t-il dans chaque colis ?

Un architecte conçoit le sol d'une salle de trophées d'un club d'e-sport. La salle est un rectangle de $12,6$ mètres de long sur $7,2$ mètres de large. On souhaite recouvrir le sol avec des carreaux carrés de la plus grande taille possible, sans avoir à en couper aucun, et avec un motif parfaitement symétrique.

Cependant, l'architecte veut laisser un petit canal de ventilation de $60$ cm de large tout le long du périmètre de la salle ; la surface réelle à carreler sera donc un rectangle intérieur plus petit.

Calculer la longueur du côté du plus grand carreau utilisable pour recouvrir ce rectangle intérieur, ainsi que le nombre total de carreaux nécessaires.

Un centre de sauvegarde de la faune marine a reçu en don trois tuyaux très résistants pour nettoyer les bassins. Les longueurs des tuyaux sont de $156$ mètres, $144$ mètres et $108$ mètres.

On veut les couper en morceaux de même longueur, sans aucune chute, pour les répartir entre différentes équipes de bénévoles. Le responsable du centre impose que les morceaux soient les plus longs possible, mais, pour des raisons de sécurité, aucun morceau ne doit mesurer plus de $15$ mètres.

Quelle longueur doit avoir chaque morceau pour respecter toutes les conditions ? Combien de bénévoles recevront un tuyau ?

Pour le tournoi de la convivialité du collège, $48$ élèves de 6e et $60$ élèves de 5e se sont inscrits. On veut former des équipes ayant le même nombre de personnes, sans mélanger les élèves de niveaux différents, et de façon que les équipes soient les plus nombreuses possible.

1. a) Combien d'élèves y aura-t-il dans chaque équipe ?
2. b) Combien d'équipes de 6e y aura-t-il au total ? Et de 5e ?

Une coopérative d'huile d'olive dans le Gard veut préparer des lots promotionnels identiques pour un salon gastronomique. Elle dispose de trois variétés en bouteilles : $168$ bouteilles d'huile picholine, $252$ bouteilles d'huile arbequina et $336$ bouteilles d'huile de variété aglandau.

Elle souhaite emballer toute l'huile dans des caisses identiques, de sorte que chaque caisse contienne exactement le même nombre de bouteilles de chaque variété, sans répartition déséquilibrée et sans qu'il reste aucune bouteille isolée. De plus, pour rentabiliser les emballages, elle veut préparer le plus grand nombre possible de caisses.

1. a) Traduire la situation en langage mathématique : quel concept faut-il calculer pour savoir combien de caisses on peut préparer au maximum ? Justifier la réponse.
2. b) Calculer combien de caisses promotionnelles on pourra préparer au total.
3. c) Déterminer combien de bouteilles de chaque variété d'huile contiendra chaque caisse.

L'algorithme d'Euclide est une méthode ancienne et efficace pour déterminer le PGCD de deux nombres à l'aide de divisions successives. Il consiste à diviser le plus grand par le plus petit ; si le reste n'est pas nul, on divise le diviseur par le reste, et ainsi de suite jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier diviseur utilisé est le PGCD.

Utiliser cette méthode pour déterminer $\mathrm{PGCD}(525\,;\,225)$. Vérifier le résultat en effectuant ensuite la décomposition en produit de facteurs premiers habituelle.

On sait que le produit de deux nombres entiers naturels est $2160$ et que leur plus petit commun multiple (PPCM) est $180$. En utilisant la relation qui existe entre le produit de deux nombres, leur PGCD et leur PPCM, déterminer le plus grand commun diviseur de ces nombres.

Utiliser l'algorithme d'Euclide pour déterminer le $\mathrm{PGCD}(2\,310\,;\,1\,485)$. Une fois calculé, indiquer si les nombres sont premiers entre eux et justifier la réponse à partir des diviseurs obtenus au cours de l'algorithme.

On cherche deux nombres entiers naturels à trois chiffres, $a$ et $b$ (avec $a < b$), dont on ne connaît pas la valeur initiale, mais dont on sait qu'ils vérifient simultanément deux conditions :

1. a) Appliquer la propriété qui relie le produit de deux nombres à leur PGCD et à leur PPCM pour calculer la valeur exacte du produit $a \cdot b$.
2. b) Si l'on écrit $a = 18 \cdot x$ et $b = 18 \cdot y$, en déduire la valeur du produit $x \cdot y$ et expliquer pourquoi $x$ et $y$ doivent obligatoirement être premiers entre eux (c'est-à-dire qu'ils ne peuvent avoir aucun facteur commun).
3. c) Décomposer le produit $x \cdot y$ en produit de facteurs premiers, analyser tous les couples de facteurs $(x ; y)$ possibles qui soient premiers entre eux et en déduire les seules valeurs de $a$ et $b$ pour lesquelles les deux nombres ont exactement trois chiffres.