Théorème fondamental de l'analyse et calcul d'intégrales par les primitives
Un drone de course s'élève : on connaît sa vitesse verticale à chaque instant, mais pas son altitude. Pour la retrouver, il faudrait « additionner » toutes les petites variations d'altitude, c'est-à-dire calculer l'aire sous la courbe de la vitesse. Faire cela avec des rectangles est interminable. Le théorème fondamental de l'analyse relie l'aire à la dérivation et donne une méthode rapide : le calcul par une primitive.
Fonction définie par une intégrale
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On fixe la borne inférieure $a$ et on fait varier la borne supérieure $x$ : pour chaque $x$, le nombre $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est l'aire (algébrique) accumulée entre $a$ et $x$. On obtient une nouvelle fonction de la variable $x$.
Soit une fonction $f(x)$ continue sur l'intervalle $[1\,;\,8]$. On connaît les valeurs des intégrales suivantes : $\int_1^5 f(x) \, dx = 7$ $\int_5^8 f(x) \, dx = -3$…
Soit une fonction $f(x)$ continue sur l'intervalle $[1\,;\,8]$. On connaît les valeurs des intégrales suivantes :
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$\int_1^5 f(x) \, dx = 7$
-
$\int_5^8 f(x) \, dx = -3$
Utiliser les propriétés de l'intégrale pour calculer la valeur de $\int_1^8 2 \cdot f(x) \, dx$.
Le théorème fondamental
Voici le résultat central du chapitre : la dérivée de la fonction « aire accumulée » est la fonction de départ.
Quand la borne supérieure est une fonction $u(x)$, on utilise en plus la dérivée d'une fonction composée.
Un programmeur de jeux vidéo conçoit la trajectoire d'un projectile. La vitesse de l'objet en fonction du temps $t$ est donnée par l'expression…
Un programmeur de jeux vidéo conçoit la trajectoire d'un projectile. La vitesse de l'objet en fonction du temps $t$ est donnée par l'expression $v(t) = \int_1^t (3x^2 - 4x) \, dx$.
Appliquer le théorème fondamental de l'analyse pour déterminer l'expression de l'accélération instantanée $a(t)$, sachant que l'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps ($a(t) = v'(t)$).
Déterminer la valeur de la dérivée de la fonction définie par l'intégrale suivante au point $x = 2$ : $$F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^3 + 1} \, dt$$ Expliquer quel…
Déterminer la valeur de la dérivée de la fonction définie par l'intégrale suivante au point $x = 2$ :
$$F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^3 + 1} \, dt$$Expliquer quel théorème vous utilisez pour résoudre le problème sans calculer de primitive.
Calculer la fonction dérivée $F'(x)$ de la fonction définie par l'intégrale suivante à l'aide du théorème fondamental de l'analyse et de la dérivée d'une fonction…
Calculer la fonction dérivée $F'(x)$ de la fonction définie par l'intégrale suivante à l'aide du théorème fondamental de l'analyse et de la dérivée d'une fonction composée :
$$F(x) = \int_{1}^{x^2} \frac{\ln(t)}{t + 1} \, dt$$Indiquer l'ensemble de définition de la fonction $F(x)$ pour que l'intégrale soit bien définie.
Calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive
Le théorème fondamental donne le résultat qu'on attendait : pour calculer une aire, il suffit d'une primitive.
On peut donc choisir n'importe quelle primitive : la constante $C$ disparaît dans la soustraction.
Un panneau solaire thermique a une conception dont la section transversale supérieure est délimitée par la fonction $f(x) = 3x^2 + 2$, où $x$ est mesuré en mètres.…
Un panneau solaire thermique a une conception dont la section transversale supérieure est délimitée par la fonction $f(x) = 3x^2 + 2$, où $x$ est mesuré en mètres. Calculer la valeur de l'intégrale sur l'intervalle $[0\,;\,2]$ en utilisant une primitive.
La consommation électrique d'un logement durant la première heure de la matinée est modélisée par la fonction $f(x) = e^x + x$, où $x$ est le temps en heures. Calculer…
La consommation électrique d'un logement durant la première heure de la matinée est modélisée par la fonction $f(x) = e^x + x$, où $x$ est le temps en heures. Calculer la consommation totale accumulée, représentée par l'intégrale :
$$\int_{0}^{1} (e^x + x) \, dx$$La vitesse d'un prototype de véhicule électrique pendant les 4 premières secondes d'un essai est donnée par la fonction $v(t) = t^2 - 3t + 4$ (en m/s). a) Calculer la…
La vitesse d'un prototype de véhicule électrique pendant les 4 premières secondes d'un essai est donnée par la fonction $v(t) = t^2 - 3t + 4$ (en m/s).
- a) Calculer la distance totale parcourue par le véhicule entre les instants $t = 1$ s et $t = 3$ s en appliquant la formule fondamentale du calcul intégral (avec une primitive).
- b) Justifier si le véhicule s'arrête à un moment donné durant cet intervalle.
Changement de variable
Quand l'intégrande est de la forme $f(u(x))\,u'(x)$, on reconnaît la dérivée de $F\circ u$ où $F$ est une primitive de $f$ : $\int_a^b f(u(x))\,u'(x)\,\mathrm{d}x=F(u(b))-F(u(a))=\int_{u(a)}^{u(b)} f(t)\,\mathrm{d}t$. On pose $t=u(x)$, donc $\mathrm{d}t=u'(x)\,\mathrm{d}x$, et on change les bornes. Si $u(x)=kx$, on a $\mathrm{d}t=k\,\mathrm{d}x$.
Aire, signe et fonctions par morceaux
L'intégrale $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ est une aire algébrique : elle est comptée positivement là où $f\ge 0$ et négativement là où $f\le 0$. Par exemple $\int_{-1}^{1}x\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{1}=0$.
Si l'expression de $f$ change (valeur absolue, fonction définie par morceaux), on découpe aussi aux points de changement. Il faut alors $f$ continue sur $[a\ ;b]$.
Calculer l'aire du domaine plan limité par la courbe représentative de la fonction $f(x) = \sin(x)$, l'axe des abscisses $OX$ et les droites verticales $x = 0$ et…
Calculer l'aire du domaine plan limité par la courbe représentative de la fonction $f(x) = \sin(x)$, l'axe des abscisses $OX$ et les droites verticales $x = 0$ et $x = \pi$. Esquisser le domaine avant d'appliquer la formule fondamentale du calcul intégral.
Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.
Déterminer l'aire de la région délimitée par la courbe $f(x) = x^2 - 4$ et l'axe $OX$ sur l'intervalle $[0 ; 2]$. Rappel : si la fonction est négative sur l'intervalle,…
Déterminer l'aire de la région délimitée par la courbe $f(x) = x^2 - 4$ et l'axe $OX$ sur l'intervalle $[0 ; 2]$. Rappel : si la fonction est négative sur l'intervalle, l'aire correspond à la valeur absolue de l'intégrale.
Soit la fonction $f(x) = |x^2 - 2x|$. Calculer la valeur de l'intégrale sur l'intervalle $[0, 3]$ à l'aide des primitives : $$\int_0^3 |x^2 - 2x| \, dx$$ Expliquer…
Soit la fonction $f(x) = |x^2 - 2x|$. Calculer la valeur de l'intégrale sur l'intervalle $[0, 3]$ à l'aide des primitives :
$$\int_0^3 |x^2 - 2x| \, dx$$Expliquer brièvement pourquoi il est nécessaire de découper l'intervalle d'intégration pour résoudre cet exercice.
Étudier une fonction définie par une intégrale
Grâce au théorème fondamental, on étudie $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ sans calculer de primitive : $F'(x)=f(x)$, donc les variations de $F$ se lisent dans le signe de $f$, et la convexité dans celui de $f'$.
Pour une borne composée, on dérive avec $f(u(x))\,u'(x)$ puis on étudie le signe, comme pour $G(x)=\int_x^{x^2}\frac{\ln t}{t^2}\,\mathrm{d}t$ : $G'(x)=\dfrac{\ln(x^2)}{x^4}\,2x-\dfrac{\ln x}{x^2}$.
Soit la fonction $G(x)$ définie par : $$G(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - 4)e^{t} \, dt$$ Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $G(x)$ au point d'abscisse…
Soit la fonction $G(x)$ définie par :
$$G(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - 4)e^{t} \, dt$$Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $G(x)$ au point d'abscisse $x = 0$.
Remarque : n'oubliez pas que, pour trouver l'ordonnée du point de tangence, il faut calculer $G(0)$ et que, pour le coefficient directeur, il faut appliquer le théorème fondamental de l'analyse.
Soit la fonction définie par une intégrale $H(x) = \int_{0}^{x} \frac{t-1}{t^2+4} \, dt$ : a) Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance de $H(x)$. b)…
Soit la fonction définie par une intégrale $H(x) = \int_{0}^{x} \frac{t-1}{t^2+4} \, dt$ :
- a) Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance de $H(x)$.
- b) Déterminer les coordonnées des extremums locaux (maximums ou minimums) de $H(x)$ et les classer.
Soit la fonction $f(t) = \frac{\ln(t)}{t^2}$ définie pour $t > 0$. On définit une nouvelle fonction $G(x)$ par : $$G(x) = \int_{x}^{x^2} f(t) \, dt$$ a) En appliquant le…
Soit la fonction $f(t) = \frac{\ln(t)}{t^2}$ définie pour $t > 0$. On définit une nouvelle fonction $G(x)$ par :
$$G(x) = \int_{x}^{x^2} f(t) \, dt$$- a) En appliquant le théorème fondamental de l'analyse et la dérivée d'une fonction composée, déterminer l'expression de la dérivée $G'(x)$.
- b) Déterminer les intervalles sur lesquels $G(x)$ est croissante et ceux sur lesquels elle est décroissante sur son ensemble de définition.
- c) Déterminer la valeur de $x > 1$ pour laquelle la fonction $G(x)$ admet un maximum local.
Soit la fonction définie par l'intégrale $F(x) = \int_{0}^{x} \frac{t - 1}{e^t + 1} \, dt$. a) Déterminer les points critiques de $F(x)$ et les classer à l'aide du signe…
Soit la fonction définie par l'intégrale $F(x) = \int_{0}^{x} \frac{t - 1}{e^t + 1} \, dt$.
- a) Déterminer les points critiques de $F(x)$ et les classer à l'aide du signe de la dérivée première.
- b) Étudier la convexité de $F(x)$ et déterminer si elle admet des points d'inflexion.
- c) Existe-t-il une valeur de $x$ pour laquelle $F(x)$ soit négatif ? Justifier en se basant sur le signe de la fonction à intégrer et sur les bornes d'intégration.