Exercices: Primitives : décomposition élémentaire et primitives usuelles

Un skateur professionnel analyse la trajectoire de son dernier saut sur une rampe. La fonction qui décrit la variation de sa hauteur par rapport au temps (vitesse verticale) est donnée par l'expression $v(t) = 3t^2 - 4t + 5$, dont la courbe figure ci-dessous. Déterminer la famille de fonctions $H(t)$ qui représentent la hauteur du skateur, en calculant la primitive :

Dans l'étude de la propagation d'une information sur un réseau social, on a établi que le rythme de croissance des « partages » suit une loi de puissance. Pour trouver le total cumulé, un programmeur doit calculer la primitive d'une fonction irrationnelle. La calculer en écrivant d'abord la racine sous forme d'exposant fractionnaire :

Déterminer si la fonction $F(x) = x \cdot e^x$ est une primitive de la fonction $f(x) = (x+1)e^x$. Pour justifier la réponse, penser à utiliser la relation fondamentale entre une fonction et sa primitive au moyen de la dérivation.

Une étude d'audition pour adolescents analyse l'intensité d'un signal sonore. La fonction qui décrit la pression acoustique instantanée est $p(x) = \frac{3}{x} + e^{2x}$. Déterminer les primitives de cette fonction :

Déterminer les primitives de la combinaison suivante de fonctions trigonométriques et de constantes, en appliquant les propriétés de linéarité (sortir les constantes et séparer les sommes) :

Déterminer toutes les primitives de la fonction $f(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 5}{x^2}$.

Dans la conception d'une lentille pour un appareil photo de smartphone, il faut connaître la fonction de courbure. La dérivée de cette fonction est $g'(x) = \frac{7}{1 + x^2} - 2^x$. Obtenir l'expression de la fonction $g(x)$ en calculant ses primitives :

Déterminer la primitive de la fonction $f(x) = 2x - 6$ dont la courbe passe par le point $P(3 ; 4)$.

Remarque : calculer d'abord les primitives pour obtenir la famille de fonctions avec la constante $C$, puis utiliser le point $P$ pour déterminer la valeur de cette constante.

Marc doit calculer lors d'un contrôle la primitive $\int (3x - 2)(2x + 1)\, dx$. Sur sa copie, il écrit :

1. a) Expliquer en détail l'erreur conceptuelle que commet Marc en appliquant la propriété de linéarité de l'intégrale.
2. b) Montrer que le résultat de Marc est incorrect en dérivant la fonction obtenue et en vérifiant qu'elle ne coïncide pas avec la fonction à intégrer $(3x - 2)(2x + 1)$.
3. c) Calculer correctement la primitive en effectuant d'abord le produit algébrique, puis en appliquant les règles des primitives usuelles.

Considérer la fonction continue $f(x) = 6 - 2x$ et la primitive particulière $F(x)$ qui vérifie la condition initiale $F(0) = 2$.

1. a) Estimer : sans calculer l'expression de $F(x)$, étudier avec justification le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $[0 ; 3]$ et sur l'intervalle $[3 ; 4]$. À partir des variations de $F(x)$, et sachant que $f(x)$ est symétrique par rapport à sa racine $x = 3$, estimer si la valeur de $F(4)$ sera supérieure, inférieure ou égale à $F(0)$.
2. b) Calculer : obtenir la famille des primitives de $f(x)$ par décomposition élémentaire et identifier la primitive particulière $F(x)$ qui passe par $(0 ; 2)$.
3. c) Vérifier : calculer la valeur exacte de $F(4)$ en remplaçant dans la fonction obtenue et confirmer si l'estimation qualitative était correcte.

Déterminer l'ensemble des primitives de la fonction suivante, en simplifiant le résultat par l'élimination des exposants négatifs et l'emploi de radicaux :

$f(x) = \dfrac{3}{x^4} - \dfrac{2}{\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{1}{5x}$

Déterminer les primitives de la fonction $g(x)$, en effectuant les ajustements de constantes nécessaires pour obtenir une structure de type logarithme :

$I = \displaystyle\int \dfrac{3x - 1}{x^2 - \frac{2}{3}x + 5} \, dx$

Un drone de surveillance se déplace de sorte que sa vitesse sur l'axe horizontal (en m/s) est donnée par la fonction $v(t) = 4e^{2t-1} + \sin(3t)$. Sachant qu'à l'instant initial $t=0$ le drone se trouve à la position $s=0$, déterminer l'expression de la fonction position $s(t)$.

Déterminer la primitive de la fonction $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 1}{x-2}$ dont la courbe passe par le point $P(3 ; 5)$.

Remarque : effectuer d'abord la division des polynômes.

Déterminer les primitives de la fonction composée suivante, en identifiant la dérivée de la fonction intérieure :

$I = \displaystyle\int \dfrac{\ln^2(x) + 1}{x} \, dx$

Déterminer la primitive $F(x)$ de la fonction $f(x) = \dfrac{1}{\cos^2(3x)} + 5^{2x}$ sachant que $F(0) = 1$.

Déterminer les primitives de la fonction suivante en utilisant la décomposition par linéarité et l'ajustement de la dérivée de l'exposant :

$I = \displaystyle\int \left( 2x \cdot e^{x^2+3} - \dfrac{5}{1+4x^2} \right) \, dx$

Soit la fonction $f(x) = \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1 + \cos(x)}}$. Déterminer l'ensemble de ses primitives. Vérifier le résultat en dérivant la fonction obtenue.

Déterminer les coefficients réels $a$ et $b$ de la fonction $f(x) = a\cdot x + \dfrac{b}{x^2}$ (définie pour $x > 0$) sachant que sa famille de primitives vérifie les deux conditions suivantes :

1. La tangente à la courbe de n'importe laquelle de ses primitives au point d'abscisse $x = 1$ est horizontale (coefficient directeur nul).

2. La primitive particulière $F_0(x)$ qui passe par le point $(1 ; 7)$ vérifie en outre que $F_0(2) = 11$.

1. a) Poser le système d'équations permettant de déterminer les valeurs de $a$ et $b$, en interprétant géométriquement la relation entre la dérivée d'une primitive et la fonction à intégrer.
2. b) Déterminer la fonction $f(x)$ et l'expression complète de la primitive particulière $F_0(x)$.

Dans un parc éolien situé en Galice, les techniciens d'exploitation modélisent la puissance nette produite, c'est-à-dire le taux de variation instantané de l'énergie cumulée, $P'(t)$ (en $\text{MW}$), sur un intervalle de suivi de 9 heures ($t \in [1 ; 9]$) par la fonction :

où $t$ est le temps écoulé en heures.

1. a) Décomposer algébriquement le quotient en une somme de puissances élémentaires de la forme $k\cdot t^n$ et indiquer quelle règle de primitivation usuelle s'applique à chaque terme.
2. b) Déterminer l'ensemble des primitives $P(t)$ qui décrivent l'énergie cumulée en fonction du temps.
3. c) Si, à la première heure de mesure ($t = 1$), les compteurs enregistraient une énergie cumulée de $15\text{ MWh}$, déterminer la constante d'intégration $C$ et calculer l'énergie cumulée au bout de $4$ heures ($t = 4$).

Un ingénieur du son analyse le signal d'un nouveau synthétiseur. Le taux de variation de l'intensité de l'onde par rapport au temps, $t$, est donné par la fonction $f'(t) = \dfrac{e^{2t} + 3e^t}{e^t + 1}$.

Sachant qu'à l'instant $t = 0$ l'intensité de l'onde est de $10$ unités, déterminer l'expression de l'intensité $f(t)$ en effectuant les manipulations algébriques nécessaires pour calculer la primitive.

Déterminer l'ensemble des primitives de la fonction trigonométrique suivante en utilisant les identités fondamentales pour transformer l'expression à intégrer en une somme de primitives usuelles :

Déterminer la fonction $f(x)$ dont la dérivée seconde est $f''(x) = \dfrac{12x^2 - 4}{(x^2 + 1)^3}$.

On sait que la courbe de $f(x)$ admet un point d'inflexion d'abscisse positive en lequel la tangente est horizontale, et que la courbe de $f(x)$ passe par le point $(0 ; 5)$.

Remarque : cet exercice demande une bonne maîtrise de la dérivation d'une fonction composée utilisée « à l'envers » pour les fonctions rationnelles.

Une entreprise de logistique étudie l'usure des pneumatiques de sa flotte. La vitesse d'usure $V(x)$ (en mm pour 1000 km) dépend de la charge $x$ (en tonnes) selon la fonction :

$V(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{4 - (x - 3)^2}}$

Déterminer la fonction d'usure cumulée $D(x)$, sachant que pour une charge de $3$ tonnes ($x = 3$) l'usure est nulle.

Déterminer les primitives de la fonction rationnelle suivante en mettant le dénominateur sous forme canonique pour faire apparaître une structure de type arc tangente :

Soit la fonction $f(x) = |x - 2| \cdot e^x$. Déterminer la primitive $F(x)$ qui vérifie $F(0) = 1$.

Rappel : pour que $F(x)$ soit une primitive sur tout son ensemble de définition, elle doit être continue ; il faudra donc ajuster les constantes d'intégration sur les différents intervalles.

Déterminer les valeurs des paramètres $A, B$ et $C$ pour que la fonction $F(x) = (Ax^2 + B) \sin(2x) + Cx \cos(2x)$ soit une primitive de $f(x) = x^2 \cos(2x)$.

Poser le système d'équations en dérivant $F(x)$ et en identifiant les coefficients.

Déterminer les primitives de la fonction :

Cet exercice évalue la capacité à reconnaître la structure $g(u(x)) \cdot u'(x)$ lorsqu'il y a plusieurs fonctions composées.

Deux élèves de terminale, Alba et Hugo, débattent de la méthode la plus adaptée pour calculer la primitive $I = \int \frac{x^2 + 3}{x^2 + 1}\, dx$ :

• Alba soutient qu'il faut toujours effectuer la division euclidienne des polynômes pour écrire la fraction sous la forme $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$.

• Hugo affirme qu'il est plus rapide d'utiliser l'artifice algébrique consistant à ajouter et soustraire $1$ au numérateur : $x^2 + 3 = (x^2 + 1) + 2$, afin de séparer directement la fraction en deux primitives usuelles.

• Un troisième camarade, Daniel, propose de faire passer le dénominateur au numérateur sous la forme $(x^2 + 1)^{-1}$ et d'appliquer directement la règle des puissances : $\int u^n = \frac{u^{n+1}}{n+1}$.

1. a) Justifier rigoureusement pourquoi la proposition de Daniel est une grave erreur mathématique, en indiquant quel élément différentiel manque à l'expression à intégrer pour pouvoir appliquer une règle de type puissance ou logarithme.
2. b) Développer entièrement les méthodes d'Alba et de Hugo, en montrant qu'elles conduisent à la même décomposition. Justifier laquelle des deux méthodes est la plus efficace et présente le moins de risque d'erreur dans ce cas précis.
3. c) Déterminer la primitive particulière $F(x)$ qui vérifie la condition $F(1) = \frac{\pi}{2} + 3$.

On souhaite reconstituer analytiquement une fonction $f(x)$ et l'une de ses primitives, $F(x)$, à partir des propriétés géométriques suivantes observées sur la famille de courbes :

1. La tangente à toute primitive en un point d'abscisse $x$ a un coefficient directeur strictement positif si $x \in ]-\infty\ ;\ 0[ \cup ]2\ ;\ +\infty[$ et strictement négatif si $x \in ]0\ ;\ 2[$.

2. La dérivée seconde de toute primitive est une fonction affine $F''(x) = \alpha x + \beta$ dont la courbe coupe l'axe des abscisses en $x = 1$.

3. Il existe une primitive particulière $F_1(x)$ dont le minimum local est atteint à une hauteur de $-3$ unités et qui coupe en outre l'axe $X$ au point $(3\ ;\ 0)$.

1. a) Traduire en justifiant les conditions 1 et 2 pour montrer que la fonction à intégrer est un polynôme du second degré de la forme $f(x) = k(x^2 - 2x)$ avec $k > 0$.
2. b) Obtenir par décomposition élémentaire la famille de primitives $F(x)$ en fonction des paramètres $k$ et de la constante $C$.
3. c) Utiliser la condition 3 pour déduire de façon unique les valeurs de $k$ et de $C$, et écrire les expressions définitives de $f(x)$ et de la primitive particulière $F_1(x)$.