Exercices: Plus grand commun diviseur

Calculer le plus grand commun diviseur (PGCD) des nombres suivants en utilisant la méthode de la décomposition en produit de facteurs premiers (rappel : on prend les facteurs communs élevés au plus petit exposant) :

1. a) $12$ et $18$
2. b) $20$ et $30$
3. c) $15$ et $25$

Observer les diviseurs des nombres $24$ et $36$ :

• $Div(24) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$

• $Div(36) = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$

À partir de ces listes :

1. a) Écrire les diviseurs communs aux deux nombres.
2. b) Identifier le plus grand de ces diviseurs communs. Comment appelle-t-on ce nombre ?

Dans un camp d'aventure dans les Pyrénées, les moniteurs ont deux cordes d'escalade : l'une mesure $20$ mètres et l'autre $28$ mètres. Ils veulent les couper en morceaux égaux, de la plus grande longueur possible, sans qu'il reste de corde. Quelle doit être la longueur de chaque morceau ?

Dans une classe de 5e, il y a $24$ garçons et $16$ filles. Le professeur d'EPS veut former des équipes de même effectif, les plus grandes possible, de sorte que chaque équipe soit composée uniquement de garçons ou uniquement de filles.

1. a) Combien d'élèves y aura-t-il dans chaque équipe ?
2. b) Combien d'équipes de garçons et combien d'équipes de filles seront formées ?

Un agriculteur du Gard a produit $45$ litres d'huile d'olive vierge et $60$ litres d'huile de tournesol. Il veut les mettre dans des bidons identiques de capacité maximale, sans mélanger les deux types d'huile. Quelle doit être la capacité de chaque bidon ?

On veut décorer un mur de la salle de musique qui mesure $120$ cm de haut sur $180$ cm de large avec des cartons carrés. On veut que les cartons soient les plus grands possible et qu'ils recouvrent exactement le mur sans avoir à les couper :

1. a) Quelle doit être la longueur du côté de chaque carton ?
2. b) Combien de cartons faudra-t-il au total ?

Deux nombres sont dits premiers entre eux si leur seul diviseur commun est $1$. Vérifier si les couples de nombres suivants sont premiers entre eux en calculant leur plus grand commun diviseur :

1. a) $8$ et $15$
2. b) $14$ et $21$
3. c) $9$ et $20$

Chloé a un ruban bleu de $18$ cm et un ruban rouge de $24$ cm. Elle doit les couper en bandes de même longueur pour réaliser des nœuds décoratifs. Si elle veut que les bandes soient les plus longues possible et ne veut gaspiller aucun bout de ruban :

1. a) Quelle sera la longueur de chaque bande ?
2. b) Combien de bandes obtiendra-t-elle de chaque couleur ?

Marc doit calculer le plus grand commun diviseur de $72$ et $120$. Après avoir décomposé les deux nombres en produit de facteurs premiers, il écrit dans son cahier :

Et il conclut : « Comme le PGCD est le plus grand, je prends tous les facteurs qui apparaissent avec leur plus grand exposant : $\text{PGCD}(72 ; 120) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360$ ».

1. a) Sans faire de calculs compliqués, expliquer pourquoi le résultat de Marc est impossible, en raisonnant sur le sens du mot « diviseur ».
2. b) Quel concept Marc a-t-il réellement calculé à la place du PGCD ?
3. c) Expliquer la règle correcte pour calculer le PGCD à partir des décompositions en facteurs premiers et déterminer le bon résultat.

Vous allez calculer le plus grand commun diviseur de $48$ et $80$, mais avant d'appliquer un algorithme, vous devez anticiper la forme de la solution :

1. a) Estimer : sans décomposer les nombres en facteurs premiers, répondre en justifiant :

• Le résultat peut-il être supérieur à $48$ ? Pourquoi ?

• Sachant que $48$ et $80$ sont tous deux pairs, le résultat pourrait-il être un nombre impair ?

• Vérifier mentalement si $10$ pourrait être un diviseur commun des deux. Pourquoi l'écarte-t-on immédiatement ?

1. b) Vérifier : décomposer $48$ et $80$ en produit de facteurs premiers, calculer le $\text{PGCD}(48\ ;\ 80)$ et vérifier si la valeur obtenue respecte toutes les déductions faites lors de l'estimation.

Calculer le plus grand commun diviseur des groupes de nombres suivants en utilisant la méthode de la décomposition en produit de facteurs premiers :

1. a) $\text{PGCD}(120 ; 150)$
2. b) $\text{PGCD}(72 ; 108 ; 144)$
3. c) $\text{PGCD}(45 ; 60 ; 105)$

Pensez à écrire d'abord chaque nombre comme produit de facteurs premiers, puis à retenir les facteurs communs élevés au plus petit exposant.

Une boutique d'artisanat possède deux rubans de soie, un ruban cramoisi qui mesure $160$ cm et un ruban turquoise qui mesure $120$ cm. On veut couper les deux rubans en morceaux de même longueur, les plus longs possible, sans qu'il reste de tissu.

1. a) Quelle doit être la longueur de chaque morceau ?

1. b) Combien de morceaux cramoisis obtiendra-t-on ? Et de morceaux turquoise ?

Pour le tournoi de la convivialité du collège, $48$ élèves de 6e et $60$ élèves de 5e se sont inscrits. On veut former des équipes ayant le même nombre de personnes, sans mélanger les élèves de niveaux différents, et de façon que les équipes soient les plus nombreuses possible.

1. a) Combien d'élèves y aura-t-il dans chaque équipe ?
2. b) Combien d'équipes de 6e y aura-t-il au total ? Et de 5e ?

Un agent municipal veut carreler une zone rectangulaire d'un parc qui mesure $24$ mètres de long sur $18$ mètres de large. Pour cela, il va utiliser des dalles carrées les plus grandes possible et ne veut en couper aucune.

1. a) Déterminer la longueur du côté de chaque dalle.
2. b) Calculer le nombre total de dalles nécessaires pour couvrir toute la surface.

Une banque alimentaire a reçu $210$ boîtes de thon, $126$ paquets de riz et $84$ boîtes de légumineuses. Elle veut préparer le plus grand nombre possible de colis d'aide identiques contenant les trois types d'aliments, de sorte qu'il ne reste rien.

1. a) Combien de colis d'aide pourra-t-elle préparer ?
2. b) Combien de produits de chaque type y aura-t-il dans chaque colis ?

L'algorithme d'Euclide est une méthode ancienne et efficace pour déterminer le PGCD de deux nombres à l'aide de divisions successives. Il consiste à diviser le plus grand par le plus petit ; si le reste n'est pas nul, on divise le diviseur par le reste, et ainsi de suite jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier diviseur utilisé est le PGCD.

Utiliser cette méthode pour déterminer $\mathrm{PGCD}(525\,;\,225)$. Vérifier le résultat en effectuant ensuite la décomposition en produit de facteurs premiers habituelle.

On sait que le produit de deux nombres entiers naturels est $2160$ et que leur plus petit commun multiple (PPCM) est $180$. En utilisant la relation qui existe entre le produit de deux nombres, leur PGCD et leur PPCM, déterminer le plus grand commun diviseur de ces nombres.

Un collectionneur de bandes dessinées possède trois étagères contenant les quantités suivantes : $135$ exemplaires de super-héros, $90$ de mangas et $60$ de bandes dessinées européennes. Il souhaite les ranger dans des classeurs identiques contenant le même nombre d'exemplaires chacun, sans les mélanger, et de façon que le nombre de classeurs soit le plus petit possible (c'est-à-dire que chaque classeur soit le plus rempli possible).

1. a) Combien de bandes dessinées doit-il mettre dans chaque classeur ?
2. b) Combien de classeurs lui faudra-t-il au total pour toute sa collection ?

Pour calculer le plus grand commun diviseur de deux nombres, vous disposez de plusieurs stratégies :

• Méthode A (critère de divisibilité directe) : si le plus grand nombre est divisible par le plus petit, le plus petit est directement le PGCD.

• Méthode B (liste exhaustive des diviseurs) : écrire tous les diviseurs des deux nombres et chercher le plus grand qui soit commun.

• Méthode C (décomposition en facteurs premiers) : décomposer en produit de facteurs premiers et retenir les facteurs communs avec le plus petit exposant.

Analyser les deux couples de nombres suivants :

1) $28$ et $112$

2) $90$ et $126$

Pour chacun des deux couples :

1. a) Choisir en justifiant laquelle des trois méthodes est la plus rapide et la plus efficace, en expliquant pourquoi on écarte les deux autres dans ce cas précis.
2. b) Appliquer la méthode choisie pour calculer le PGCD de chaque couple.

Une coopérative d'huile d'olive dans le Gard veut préparer des lots promotionnels identiques pour un salon gastronomique. Elle dispose de trois variétés en bouteilles : $168$ bouteilles d'huile picholine, $252$ bouteilles d'huile arbequina et $336$ bouteilles d'huile de variété aglandau.

Elle souhaite emballer toute l'huile dans des caisses identiques, de sorte que chaque caisse contienne exactement le même nombre de bouteilles de chaque variété, sans répartition déséquilibrée et sans qu'il reste aucune bouteille isolée. De plus, pour rentabiliser les emballages, elle veut préparer le plus grand nombre possible de caisses.

1. a) Traduire la situation en langage mathématique : quel concept faut-il calculer pour savoir combien de caisses on peut préparer au maximum ? Justifier la réponse.
2. b) Calculer combien de caisses promotionnelles on pourra préparer au total.
3. c) Déterminer combien de bouteilles de chaque variété d'huile contiendra chaque caisse.

Un architecte conçoit le sol d'une salle de trophées d'un club d'e-sport. La salle est un rectangle de $12,6$ mètres de long sur $7,2$ mètres de large. On souhaite recouvrir le sol avec des carreaux carrés de la plus grande taille possible, sans avoir à en couper aucun, et avec un motif parfaitement symétrique.

Cependant, l'architecte veut laisser un petit canal de ventilation de $60$ cm de large tout le long du périmètre de la salle ; la surface réelle à carreler sera donc un rectangle intérieur plus petit.

Calculer la longueur du côté du plus grand carreau utilisable pour recouvrir ce rectangle intérieur, ainsi que le nombre total de carreaux nécessaires.

Trouver deux nombres entiers naturels, que l'on appellera $x$ et $y$, sachant que leur produit est $x \cdot y = 11\,250$ et que leur plus petit commun multiple est $\mathrm{PPCM}(x ; y) = 750$.

Une entreprise de logistique veut transporter trois types de marchandises dans des conteneurs cubiques identiques, les plus grands possible, pour exploiter au maximum l'espace d'un grand entrepôt. Les quantités de marchandises sont mesurées en volume :

• Caisses de matériel technologique : $1\,512$ $m^3$

• Caisses d'alimentation : $1\,848$ $m^3$

• Caisses de textile : $1\,260$ $m^3$

Si chaque conteneur doit être rempli avec un seul type de marchandise et qu'il ne doit rester aucune place libre, quel doit être le volume de chaque conteneur cubique ? Combien de conteneurs de textile y aura-t-il dans l'entrepôt ?

Utiliser l'algorithme d'Euclide pour déterminer le $\mathrm{PGCD}(2\,310\,;\,1\,485)$. Une fois calculé, indiquer si les nombres sont premiers entre eux et justifier la réponse à partir des diviseurs obtenus au cours de l'algorithme.

Déterminer tous les couples de nombres entiers naturels dont la somme est $168$ et dont le plus grand commun diviseur est $\mathrm{PGCD}(a\,;\,b) = 24$.

Aide : si le PGCD est 24, on peut écrire les nombres sous la forme $a = 24 \cdot p$ et $b = 24 \cdot q$, où $p$ et $q$ doivent être premiers entre eux.

Un centre de sauvegarde de la faune marine a reçu en don trois tuyaux très résistants pour nettoyer les bassins. Les longueurs des tuyaux sont de $156$ mètres, $144$ mètres et $108$ mètres.

On veut les couper en morceaux de même longueur, sans aucune chute, pour les répartir entre différentes équipes de bénévoles. Le responsable du centre impose que les morceaux soient les plus longs possible, mais, pour des raisons de sécurité, aucun morceau ne doit mesurer plus de $15$ mètres.

Quelle longueur doit avoir chaque morceau pour respecter toutes les conditions ? Combien de bénévoles recevront un tuyau ?

On considère deux nombres entiers naturels $A$ et $B$ tels que $\text{PGCD}(A ; B) = 15$. Si l'on multiplie le nombre $A$ par $12$ et le nombre $B$ par $12$, quel sera le nouveau plus grand commun diviseur des nombres obtenus ? Justifier la réponse en utilisant les propriétés des diviseurs.

Imaginer un terrain en forme de triangle scalène dont les côtés mesurent $210$, $270$ et $330$ mètres. On veut placer des poteaux en bois sur tout le périmètre, à distances égales, de sorte qu'il y ait un poteau à chaque sommet et que la distance entre deux poteaux soit la plus grande possible.

Si chaque poteau coûte $14,50$ € et que la main-d'œuvre pour poser chacun est de $6$ €, quel sera le budget total pour clôturer le terrain ?

On cherche deux nombres entiers naturels à trois chiffres, $a$ et $b$ (avec $a < b$), dont on ne connaît pas la valeur initiale, mais dont on sait qu'ils vérifient simultanément deux conditions :

1. a) Appliquer la propriété qui relie le produit de deux nombres à leur PGCD et à leur PPCM pour calculer la valeur exacte du produit $a \cdot b$.
2. b) Si l'on écrit $a = 18 \cdot x$ et $b = 18 \cdot y$, en déduire la valeur du produit $x \cdot y$ et expliquer pourquoi $x$ et $y$ doivent obligatoirement être premiers entre eux (c'est-à-dire qu'ils ne peuvent avoir aucun facteur commun).
3. c) Décomposer le produit $x \cdot y$ en produit de facteurs premiers, analyser tous les couples de facteurs $(x ; y)$ possibles qui soient premiers entre eux et en déduire les seules valeurs de $a$ et $b$ pour lesquelles les deux nombres ont exactement trois chiffres.

Un entrepôt logistique de colis à Bordeaux prépare des envois pour trois secteurs. Il dispose de trois palettes contenant des quantités différentes de colis de fournitures scolaires : la première contient $540$ colis, la deuxième $720$ et la troisième $900$. On veut les reconditionner dans des conteneurs plus petits contenant exactement le même nombre de colis chacun, sans mélanger le matériel de palettes différentes et sans qu'il reste aucun colis.

Cependant, l'entreprise de transport impose deux contraintes pour des raisons de sécurité ergonomique :

• Chaque conteneur doit contenir au moins $20$ colis.

• Aucun conteneur ne peut contenir plus de $50$ colis.

1. a) Calculer le $\text{PGCD}(540 ; 720 ; 900)$ et expliquer pourquoi ce résultat ne suffit pas, à lui seul, à résoudre directement le problème.
2. b) Justifier pourquoi toute taille de conteneur valable, permettant de répartir les colis sans qu'il en reste, est nécessairement un diviseur du PGCD obtenu.
3. c) Trouver toutes les tailles de conteneur possibles (nombre de colis par conteneur) qui respectent les contraintes imposées par l'entreprise de transport.
4. d) Quelle taille convient-il de choisir si l'on souhaite utiliser le plus petit nombre total de conteneurs ? Calculer combien de conteneurs seront nécessaires au total avec ce choix.

Défi du thème. « Audit énergétique à la maison ». Devenir l'auditeur énergétique de son logement à partir de données réelles tirées de sa dernière facture d'électricité ou du site officiel de RTE. Rédiger un rapport bref en suivant ces étapes :

1. Données et écriture scientifique : Relever la consommation mensuelle en kWh ($1\text{ kWh} = 3,6 \cdot 10^6\text{ J}$) et la convertir en joules en utilisant l'écriture scientifique et les puissances. Noter le prix du kWh avec ses décimales (par exemple, $0,15\text{ \euro}$) et calculer le coût de base.

2. Divisibilité et mesures : Choisir deux habitudes périodiques de consommation (comme lancer le lave-linge tous les $3$ jours ou le lave-vaisselle tous les $4$) et utiliser la décomposition en facteurs premiers et le $\text{PPCM}$ pour prévoir quand elles coïncideront. De plus, si l'on veut isoler une zone carrée de son sol de $12,25\text{ m}^2$, déterminer la longueur du côté à l'aide de la racine carrée.

3. Équation et bilan : Poser et résoudre une équation du premier degré pour savoir combien d'heures on peut laisser le radiateur allumé sans dépasser un plafond de dépense de $45\text{ \euro}$. Concevoir dans un tableur un bilan mensuel avec des nombres entiers relatifs (économies positives et coûts négatifs).

Seront évalués :

• La rigueur dans l'utilisation des puissances, de l'écriture scientifique et des opérations avec des nombres décimaux.

• L'application correcte de la divisibilité ($\text{PPCM}$) et des racines carrées.

• La mise en équation et la résolution correcte de l'équation.

• La clarté de l'organisation des données dans le tableur et des conclusions argumentées.