Exercices: Angles entre droites et plans dans l'espace

Un architecte conçoit la toiture inclinée d'un gymnase. Dans son projet, la structure de soutien principale suit la direction de la droite $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{2}$, tandis que le sol du gymnase se trouve dans le plan horizontal $\pi: z = 0$. Calculer l'angle que forme la poutre de soutien avec le sol.

La trajectoire d'un drone de surveillance est définie par la droite $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$. Le drone doit traverser une vitre blindée située dans le plan $\pi: 2x + y - z + 4 = 0$. Déterminer l'angle d'incidence (l'angle que forme la trajectoire avec le plan) sous lequel le drone frappera la vitre.

Calculer l'angle que forme la droite $r$ passant par les points $A(1 ; 0 ; 1)$ et $B(2 ; 1 ; 2)$ avec le plan d'équation cartésienne $\pi: x + y + 1 = 0$.

Soit la droite $s: \frac{x}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z+2}{2}$ et le plan $\pi: 3x - 2y + z - 5 = 0$. Vérifier si la droite et le plan sont parallèles ou si, au contraire, ils se coupent en formant un angle déterminé. Dans le cas où ils se coupent, calculer cet angle.

Un rayon laser part de l'origine des coordonnées $O(0 ; 0 ; 0)$ dans la direction du vecteur $\vec{v} = (1 ; 1 ; 1)$. On considère un mur plan d'équation $\pi: x - 2y + z = 0$. Quel angle le faisceau lumineux forme-t-il avec la surface du mur ?

Déterminer l'angle que forme la droite $r: \begin{cases} x + y = 2 \\ z = 1 \end{cases}$ avec le plan de coordonnées $OXY$ ($z = 0$). Expliquer brièvement la signification géométrique du résultat obtenu.

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la droite $r: \frac{x-1}{k} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ soit perpendiculaire au plan $\pi: 2x + 4y - 2z + 7 = 0$. Quel est l'angle qu'ils forment dans ce cas ?

Calculer le sinus de l'angle que forme la droite $r$, définie comme l'intersection des plans $\pi_1: x - y = 0$ et $\pi_2: y - z = 0$, avec le plan $\pi_3: x + y + 2z - 4 = 0$. (Indication : Obtenir d'abord le vecteur directeur de la droite $r$ à l'aide du produit vectoriel des vecteurs normaux de $\pi_1$ et $\pi_2$).

Marc est confronté au problème d'examen suivant : « Calculer l'angle $\alpha$ que forme la droite $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{0} = \frac{z}{0}$ avec le plan $\pi: x + \sqrt{3}y - 7 = 0$ ». Dans sa résolution, il écrit :

« J'extrais le vecteur directeur de la droite $\vec v = (1, 0, 0)$ et le vecteur normal du plan $\vec n = (1, \sqrt{3}, 0)$. J'applique la formule du produit scalaire :

Donc $\alpha = \arccos(1/2) = 60^\circ$ ».

1. a) Relever l'erreur conceptuelle commise par Marc et expliquer géométriquement pourquoi le rapport trigonométrique adéquat entre une droite et un plan est le sinus et non le cosinus.
2. b) Corriger la démarche et déterminer la valeur réelle de l'angle $\alpha$.
3. c) Si le produit scalaire de $\vec v$ et $\vec n$ avait été égal à $0$, quelle serait la position relative de la droite et du plan ? Quel angle formeraient-ils ?

Considérer la droite $r$ passant par l'origine du repère $O(0 ; 0 ; 0)$ et par le point $A(1 ; 1 ; 8)$, ainsi que le plan horizontal du sol $\pi: z = 0$.

1. a) Estimer : avant tout calcul trigonométrique, analyser les composantes du vecteur directeur $\vec{OA} = (1 ; 1 ; 8)$. Si un point monte de $8$ unités à la verticale alors qu'il n'avance que de $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} \approx 1,41$ unités dans le plan horizontal, peut-on raisonnablement s'attendre à ce que l'angle $\alpha$ de la droite avec le sol soit plus proche de $15^\circ$, de $45^\circ$ ou de $80^\circ$ ? Justifier qualitativement la prévision.
2. b) Calculer : déterminer analytiquement la valeur exacte de $\sin\alpha$ à l'aide des vecteurs correspondants, puis calculer la valeur de $\alpha$ arrondie à la minute d'angle la plus proche.
3. c) Vérifier : comparer le résultat avec l'estimation initiale. Expliquer ce qui arriverait à l'angle $\alpha$ si la cote $z$ du point $A$ augmentait indéfiniment, son abscisse et son ordonnée restant constantes.

Calculer l'angle aigu que forme la droite $r$, passant par les points $A(1, 0, -2)$ et $B(3, -1, 1)$, avec le plan $\pi$ d'équation cartésienne $2x + y - 3z + 4 = 0$. Exprimer le résultat en degrés, minutes et secondes.

Soit la droite $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = -1 - \lambda \end{cases}$ et le plan $\pi \equiv x + ky + 2z - 1 = 0$. Déterminer la valeur du paramètre réel $k$ sachant que l'angle formé par la droite et le plan est de $30^\circ$.

Un cabinet d'architecture conçoit une verrière dans un toit incliné représenté par le plan $\pi \equiv 3x + 4y + z - 12 = 0$. Un rayon de lumière arrive selon la direction de la droite $s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z+2}{2}$.

Calculer l'angle $\alpha$ que forme le rayon de lumière avec le plan du toit et l'angle d'incidence $\beta$ qu'il forme avec la normale au plan.

Déterminer une équation cartésienne du plan $\pi$ contenant la droite $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z}{1}$ et perpendiculaire au plan $\sigma \equiv x - y + z + 3 = 0$. Une fois ce plan trouvé, vérifier quel angle forme la droite $r$ avec ce plan $\pi$. Le résultat était-il prévisible ? Justifier la réponse.

On considère le cube d'arête 1 unité ayant un sommet à l'origine $(0\,;0\,;0)$ et des arêtes portées par les axes de coordonnées positifs. Soit $d$ la droite qui contient la grande diagonale du cube (celle qui joint $(0\,;0\,;0)$ à $(1\,;1\,;1)$).

Déterminer l'angle que forme cette diagonale $d$ avec la face du cube située dans le plan $XY$.

Déterminer l'angle que forme la droite $r$, définie comme l'intersection des plans $\pi_1 \equiv x - y = 0$ et $\pi_2 \equiv 2y + z = 1$, avec le plan $\alpha \equiv 3x - z = 0$.

Un panneau solaire représenté par le plan $\pi \equiv x + y + az + d = 0$ a été installé. On sait que le panneau passe par le point $P(1 ; 2 ; 1)$ et que, pour maximiser son rendement, il doit former un angle de $60^\circ$ avec l'axe $OZ$ (la verticale).

Calculer les valeurs possibles du paramètre $a$ (on suppose $a > 0$).

Calculer l'angle que forme la droite $r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ avec chacun des plans de coordonnées. Ces trois angles ont-ils pour somme $180^\circ$ ? Justifier la réponse en utilisant les notions de vecteurs directeurs et de vecteurs normaux.

Dans une exploitation agroénergétique irriguée du Var, on installe un panneau solaire orienté pour maximiser la captation estivale. Dans le repère fixé (cotes en mètres, le sol étant situé dans le plan horizontal $z = 0$), le panneau photovoltaïque repose sur le plan $\pi: 2x - y + 2z - 6 = 0$.

Pour renforcer la structure face au vent, on ancre une barre rectiligne en acier $r$ qui joint le point du sol $A(1 ; 0 ; 0)$ au sommet de la structure $B(3 ; 2 ; 4)$.

1. a) Déterminer des équations de la droite $r$ modélisant la barre et les composantes d'un vecteur normal $\vec n$ au plan $\pi$ du panneau.
2. b) Calculer l'angle $\alpha \in [0^\circ ; 90^\circ]$ que forme la barre avec la surface plane du panneau solaire.
3. c) Le dossier technique du projet précise que, pour éviter des contraintes d'arrachement dans les ancrages du panneau, la barre de renfort doit rencontrer la surface sous un angle strictement supérieur à $20^\circ$. Déterminer, en justifiant, si l'installation réalisée respecte cette prescription technique.

On prévoit de concevoir une rampe de chargement rectiligne $r$ partant du point d'ancrage $P(1 ; 0 ; 2)$. En raison de contraintes architecturales du bâtiment industriel, la trajectoire de la rampe doit être entièrement contenue dans le plan vertical $\pi_1: x = 1$ et, de plus, les protocoles d'ergonomie exigent qu'elle monte en formant un angle exact de $30^\circ$ avec le sol horizontal $\pi_2: z = 0$.

1. a) À partir de la condition d'appartenance au plan $\pi_1: x = 1$, déduire quelle composante du vecteur directeur $\vec v = (v_1 ; v_2 ; v_3)$ est nécessairement nulle.
2. b) Poser l'équation de l'angle entre droite et plan avec $\pi_2: z = 0$ pour trouver les composantes des vecteurs directeurs possibles $\vec v$ (en supposant, pour fixer l'échelle, que la composante verticale vaut $v_3 = 1$).
3. c) Écrire des équations des deux droites distinctes qui résolvent le problème et expliquer géométriquement pourquoi il y a exactement deux solutions symétriques par rapport à la droite verticale passant par $P$.

Un faisceau laser est émis depuis un satellite en suivant la trajectoire de la droite $r$, qui passe par le point $A(1 ; 0 ; 2)$ et a pour vecteur directeur $\vec{v}(k ; 1 ; 1)$. L'objectif est que le rayon atteigne une station réceptrice située dans un plan $\pi$ d'équation $2x - y + z = 5$. Déterminer les valeurs du paramètre réel $k$ pour que l'angle formé par la trajectoire du laser et le plan récepteur soit exactement de $30^\circ$.

Dans la conception d'un auditorium d'avant-garde, on prévoit une poutre de soutien qui suit la direction de la droite $s$, définie par l'intersection des plans :

$s \equiv \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$

On souhaite que cette poutre forme un angle $\alpha$ avec le plan de la façade principale $\pi \equiv x + ay + z = 3$. Sachant que $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{6}$, calculer la valeur du coefficient $a$ de la façade.

Un bras robotisé industriel dans une usine d'assemblage doit se déplacer sur un guide rectiligne $r$ passant par l'origine des coordonnées $O(0,0,0)$ et par le point $P(1, -1, 0)$. Le bras doit travailler sur une plaque métallique inclinée qui coïncide avec le plan $\pi$ contenant les points $A(2, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ et $C(0, 0, 2)$. Calculer l'angle formé par la trajectoire du robot et la plaque de travail.

Une particule chargée se déplace dans un accélérateur le long de la droite $r$ qui passe par le point $M(2, 3, -1)$ et est parallèle à la droite $s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{2}$. En entrant dans une zone où règne un champ magnétique, la particule traverse un plan $\pi$ perpendiculaire à la droite $t \equiv (x,y,z) = (1, 0, 0) + \lambda(1, -2, 2)$. Déterminer l'angle d'entrée de la particule dans ce champ magnétique (angle entre $r$ et $\pi$).

On considère une pyramide dont la base est le plan $XY$ ($z=0$) et dont l'arête latérale principale est portée par la droite $r$ joignant le sommet $V(2, 2, 5)$ au point $P(0, 0, 0)$ de la base.

1. a) Déterminer l'angle que forme cette arête avec le plan de la base.
2. b) Si l'on voulait incliner le plan de la base pour que l'angle avec l'arête soit de $90^\circ$, quelle devrait être l'équation du nouveau plan de base s'il doit toujours passer par l'origine ?

Déterminer une équation de la droite $r$ qui passe par le point $Q(1, 1, 1)$, est parallèle au plan $\alpha \equiv x - y + z = 2$ et forme un angle de $45^\circ$ avec le plan $\beta \equiv x + y = 0$. Cette droite est-elle unique ? Justifier la réponse en utilisant la notion de vecteurs directeurs.

Un panneau solaire est posé sur une structure métallique. Le panneau est contenu dans le plan $\pi \equiv x + y + z = 1$. Les rayons du soleil à midi suivent la direction de la droite $r$ qui passe par le point $S(10, 10, 10)$ et est perpendiculaire au plan d'inclinaison du terrain $\sigma \equiv 2x - y = 0$.

1. a) Calculer l'angle d'incidence des rayons solaires sur le panneau.
2. b) Si, pour obtenir un rendement maximal, l'angle doit être de $90^\circ$, déterminer un vecteur normal pour un nouveau panneau satisfaisant cette condition.

Calculer l'angle formé par la droite $r$ et le plan $\pi$, sachant que $r$ est la droite qui contient la médiane issue du sommet $A$ dans le triangle de sommets $A(1, 2, 1)$, $B(3, 0, 1)$ et $C(1, 4, 3)$, et que le plan $\pi$ est le plan contenant les points $B$, $C$ et l'origine des coordonnées $O(0, 0, 0)$.

Soit la droite $r: \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-4}{2}$ et le plan horizontal $XY$ d'équation cartésienne $\pi: z = 0$.

Pour déterminer l'angle $\alpha$ que forme la droite $r$ avec ce plan, deux élèves de terminale proposent des méthodes différentes :

• Stratégie A (angle droite-plan) : Utiliser le vecteur normal du plan $\vec n = (0, 0, 1)$ et le vecteur directeur $\vec v = (2, -1, 2)$ avec la formule directe $\sin\alpha = \frac{|\vec v \cdot \vec n|}{|\vec v|\cdot|\vec n|}$.

• Stratégie B (angle complémentaire avec l'axe $OZ$) : Considérer l'axe vertical $OZ$ comme une droite de vecteur directeur $\vec u = (0, 0, 1)$, calculer l'angle entre droites $\beta$ avec $\cos\beta = \frac{|\vec v \cdot \vec u|}{|\vec v|\cdot|\vec u|}$ puis obtenir enfin $\alpha = 90^\circ - \beta$.

1. a) Développer entièrement les deux méthodes numériquement et vérifier qu'elles donnent exactement la même mesure pour $\alpha$.
2. b) Démontrer analytiquement que la formule de la stratégie A se déduit de la stratégie B en appliquant l'identité trigonométrique $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, en expliquant le rôle de l'angle complémentaire dans la définition métrique.
3. c) Évaluer de façon critique les deux procédés : si le plan du problème n'était pas horizontal mais un plan oblique quelconque (par exemple $\pi': 2x - 3y + z = 5$), quel inconvénient insurmontable ou surcoût de calcul présenterait la stratégie B par rapport à la stratégie A ? Justifier quelle est la méthode générale à préférer.

On considère la droite $s$ définie par l'intersection de plans :

et la droite $r$ donnée sous forme continue :

On définit le faisceau de plans contenant la droite $s$, dont l'équation est donnée par $\pi_\lambda: (x - z) + \lambda(y - 3) = 0$ avec $\lambda \in \mathbb{R}$, auquel on ajoute le plan complémentaire $\pi_\infty: y - 3 = 0$.

1. a) Déterminer les valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'angle $\alpha$ formé par la droite $r$ et le plan $\pi_\lambda$ est exactement de $45^\circ$. Écrire l'équation cartésienne de chacun des plans obtenus.
2. b) Vérifier analytiquement si le plan complémentaire $\pi_\infty: y - 3 = 0$ forme aussi $45^\circ$ avec $r$.
3. c) Raisonner géométriquement pour savoir s'il existe un plan de ce faisceau strictement perpendiculaire à la droite $r$. Pour cela, analyser la condition nécessaire que devraient vérifier les vecteurs directeurs des deux droites $\vec v_s$ et $\vec v_r$, sans avoir à résoudre de systèmes d'équations complexes.