Exercices: Équations y' = ay + b et y' = ay + f

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = 3y$, puis déterminer la solution $f$ telle que $f(0) = 5$.

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = -2y + 6$.

Déterminer toutes les primitives sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f : x \mapsto 4x^2 - 3 + e^{2x}$, puis la solution $y$ de l'équation $y' = f(x)$ vérifiant $y(0) = 1$.

Un bain à Lyon est rempli d'eau à $60\ °\text{C}$ dans une pièce à $20\ °\text{C}$. La température $T(t)$ de l'eau, en degrés Celsius, à l'instant $t$ en minutes, vérifie $T' = -0{,}05\,(T - 20)$.

1. a) Résoudre cette équation différentielle avec la condition $T(0) = 60$.

1. b) Calculer la température au bout de $30$ minutes (arrondir au dixième).

1. c) Au bout de combien de minutes la température passe-t-elle sous $25\ °\text{C}$ ?

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y' = 2y + 4x - 1$.

1. a) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $g(x) = ax + b$ soit solution de $(E)$.

1. b) Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $y - g$ est solution de $y' = 2y$.

1. c) En déduire les solutions de $(E)$, puis celle vérifiant $y(0) = 3$.

Un médicament est perfusé à débit constant dans le sang d'un patient à l'hôpital de Bordeaux. La quantité $q(t)$, en mg, présente à l'instant $t$ en heures vérifie $q' = -0{,}4\,q + 12$ avec $q(0) = 0$.

1. a) Résoudre cette équation différentielle.

1. b) Déterminer la limite de $q(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$.

1. c) Au bout de combien d'heures la quantité atteint-elle $90\,\%$ de cette limite ?

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y' = y + (2x+1)e^{x}$.

1. a) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $g(x) = (ax^2 + bx)e^{x}$ soit solution de $(E)$.

1. b) Résoudre $(E)$ sur $\mathbb{R}$.

1. c) Déterminer la solution $y$ telle que $y(0) = 2$ et étudier ses variations sur $\mathbb{R}$.

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que, pour tout réel $x$, $f'(x) + f(x) = e^{-x} + 1$ et $f(0) = 0$.

1. a) Résoudre l'équation $y' + y = 1$.

1. b) Montrer que $h(x) = x e^{-x}$ est solution de $y' + y = e^{-x}$.

1. c) En déduire l'expression de $f(x)$, puis la limite de $f$ en $+\infty$.

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. On pose $g(x) = f(x)\,f(-x)$.

1. a) Montrer que $g$ est dérivable et calculer $g'(x)$.

1. b) En déduire que $f$ ne s'annule pas et que $f(-x) = \dfrac{1}{f(x)}$ pour tout réel $x$.

1. c) Soit $a$ un réel fixé et $h(x) = \dfrac{f(x+a)}{f(a)}$. Montrer que $h' = h$ et $h(0) = 1$, puis conclure que $f(x+a) = f(x)f(a)$.