Exercices: Introduction

Un restaurant propose un menu du jour avec $4$ entrées, $3$ plats et $5$ desserts. De combien de façons différentes peut-on commander un menu complet composé d'une entrée, d'un plat et d'un dessert ?

Dessiner l'arbre de l'expérience qui consiste à lancer une pièce équilibrée puis à lancer un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de $1$ à $4$). Combien cette expérience composée a-t-elle d'issues possibles ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une bibliothèque de classe, il y a $12$ romans de science-fiction, $8$ romans historiques et $5$ biographies. Si vous n'avez le temps de lire qu'un seul livre ce week-end, combien de choix différents avez-vous ?

Calculer la valeur des expressions numériques suivantes en utilisant les propriétés des factorielles :

• $\frac{8!}{6!}$

• $4! + 3!$

Une marque de vélos fabrique un modèle disponible en $3$ tailles de cadre différentes, $5$ coloris et avec $2$ types de freins différents. Combien de versions différentes de ce modèle de vélo existe-t-il sur le marché ?

Pour aller de la ville A à la ville B, il y a $3$ routes différentes, et pour aller de la ville B à la ville C, il y a $2$ routes différentes.

• De combien de façons peut-on aller de A à C en passant obligatoirement par B ?

• Dessiner l'arbre correspondant à ce trajet.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans le tiroir d'une commode, il y a des chaussettes dépareillées de $3$ couleurs différentes (noires, blanches et bleues). En cas de panne de courant, vous sortez des chaussettes dans le noir. Quel est le nombre minimal de chaussettes à sortir pour être sûr d'avoir au moins une paire de la même couleur ?

Exprimer les produits suivants à l'aide de la notation factorielle :

• $15 \cdot 14 \cdot 13$

• $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Mathis résout un problème de simplification avec des factorielles et présente au tableau le développement suivant :

1. a) Indiquer précisément l'erreur algébrique commise par Mathis et expliquer pourquoi il n'est pas valide de simplifier la fraction de cette façon.
2. b) Résoudre correctement l'expression en appliquant les propriétés de la factorielle (en décomposant $7!$ en fonction de $5!$ ou en factorisant) et déterminer sa valeur numérique finale.

Pour protéger un vélo au lycée, on utilise un cadenas à code à $3$ molettes, chacune portant les chiffres de $0$ à $9$. Le propriétaire décide que le code ne peut pas commencer par $0$ et que les trois chiffres doivent être deux à deux distincts.

1. a) Avant tout calcul exact, estimer intuitivement si le nombre total de codes possibles sera inférieur à $300$, compris entre $300$ et $700$, ou supérieur à $700$. Justifier brièvement sur quoi vous fondez votre intuition initiale.
2. b) Modéliser la situation à l'aide du principe multiplicatif et calculer le nombre exact de codes distincts qui respectent ces conditions.
3. c) Vérifier si votre estimation initiale était juste et réfléchir à la façon dont le résultat change si l'on autorisait la répétition des chiffres (en gardant le premier chiffre différent de $0$).

Un mot de passe pour un système informatique doit être formé de $2$ lettres de l'alphabet (parmi $26$ lettres possibles) suivies de $3$ chiffres (de $0$ à $9$), ou bien de $3$ lettres suivies de $2$ chiffres. Si les lettres comme les chiffres peuvent être répétés, combien de mots de passe distincts peut-on créer au total ?

Deux équipes de basket, Alpha et Bêta, disputent une série au meilleur de $3$ matchs (la première à gagner $2$ matchs est qualifiée). Les matchs nuls sont impossibles. Dessiner l'arbre de tous les déroulements possibles de la série. De combien de façons différentes la série de matchs peut-elle se dérouler ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Simplifier l'expression littérale $\frac{(x+2)!}{x!}$ puis résoudre l'équation $\frac{(x+2)!}{x!} = 72$.

En utilisant uniquement les chiffres de l'ensemble $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ :

• Combien de nombres à $4$ chiffres distincts peut-on former ?

• Parmi les nombres ainsi formés, combien sont pairs ?

Dans un lycée, $400$ élèves sont inscrits.

• Justifier mathématiquement pourquoi on peut affirmer qu'au moins deux élèves ont leur anniversaire le même jour de l'année.

• Combien d'élèves faudrait-il au minimum dans l'établissement pour garantir qu'au moins trois d'entre eux fêtent leur anniversaire le même jour ? (On considère des années non bissextiles de $365$ jours.)

Un QCM comporte $10$ questions. Chaque question propose $4$ réponses possibles, dont une seule est correcte.

• De combien de façons différentes peut-on répondre au QCM s'il est obligatoire de cocher une réponse à chaque question ?

• De combien de façons pourrait-on y répondre si l'on peut laisser des questions sans réponse ?

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. On tire deux boules successivement et sans remise dans l'urne. Dessiner l'arbre de l'expérience et calculer combien de résultats différents on peut obtenir si l'on tient compte de l'ordre de tirage et de la couleur des boules.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Observer le quadrillage de la figure. Un robot se déplace du point A au point B en se déplaçant uniquement vers la droite ou vers le haut le long des lignes du quadrillage. Combien de chemins différents le robot peut-il emprunter pour atteindre sa destination ?

Dans un club de lecture pour jeunes, on veut attribuer à chaque membre une carte avec un code personnalisé. Le code est toujours composé d'une voyelle majuscule (choisie dans l'ensemble $\{A, E, I, O, U\}$) suivie d'une séquence de $k$ chiffres impairs distincts (choisis dans l'ensemble $\{1, 3, 5, 7, 9\}$).

La personne chargée de la base de données constate qu'avec ces conditions, on peut générer exactement $300$ codes différents.

1. a) Établir une expression générale en fonction de $k$ pour le nombre total de codes possibles en appliquant le principe multiplicatif.
2. b) Résoudre le problème inverse : déterminer, en justifiant, combien de chiffres impairs ($k$) chaque code doit contenir pour obtenir exactement ces $300$ codes.

Dans un lycée de Toulouse, $750$ élèves sont inscrits au total. Pour gérer le prêt d'ordinateurs portables, on génère pour chaque élève une étiquette d'identification formée d'une lettre de l'alphabet espagnol ($27$ lettres officielles, y compris le Ñ) suivie d'un chiffre pair appartenant à l'ensemble $\{0, 2, 4, 6, 8\}$.

1. a) Modéliser la situation à l'aide du principe multiplicatif pour calculer combien d'étiquettes d'identification distinctes peuvent être émises avec ce format.
2. b) Utiliser le principe des tiroirs pour justifier rigoureusement pourquoi il est certain que des élèves auront des étiquettes identiques.
3. c) Déterminer le nombre minimal d'élèves qui, avec une certitude mathématique totale, partageront exactement la même étiquette dans cet établissement.

On veut concevoir un drapeau à $3$ bandes verticales en utilisant une palette de $5$ couleurs disponibles.

• De combien de façons peut-on le colorier si deux bandes adjacentes ne peuvent pas avoir la même couleur ?

• De combien de façons peut-on le colorier si, en plus de la condition précédente, la première et la dernière bande doivent aussi obligatoirement être de couleurs différentes ?

Résoudre l'équation suivante avec des factorielles, sachant que $n$ est un entier naturel :

On choisit au hasard $5$ points à l'intérieur d'un carré de côté $2\text{ cm}$. Démontrer, à l'aide du principe des tiroirs, qu'il y aura toujours au moins deux points dont la distance est inférieure ou égale à $\sqrt{2}\text{ cm}$. (Indice : découper le carré en régions bien choisies.)

Dans le système de numération décimal, on considère tous les nombres entiers compris entre $1000$ et $9999$ (inclus). Combien de ces nombres contiennent le chiffre $7$ au moins une fois dans leur écriture ?

Deux amis, Ionut et Diana, jouent à un jeu de société composé de plusieurs manches. Le gagnant final sera le premier à remporter $2$ manches consécutives ou bien $3$ manches au total au cours de la partie. Sachant que les égalités sont impossibles à chaque manche, dessiner l'arbre correspondant et déterminer le nombre maximal de manches qui peuvent être jouées ainsi que le nombre de déroulements distincts du jeu.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une classe de $20$ élèves, on doit élire une équipe dirigeante composée d'un président, d'un vice-président et d'un secrétaire (postes distincts qui ne peuvent pas être occupés par la même personne). Une fois l'équipe élue, on doit choisir un délégué de sport parmi les $17$ élèves restants. De combien de façons différentes peut-on réaliser tout ce processus de sélection ?

Un nombre palindrome est un nombre qui se lit de la même façon de gauche à droite et de droite à gauche (par exemple, le nombre $35153$).

• Combien de nombres palindromes à $5$ chiffres existe-t-il au total ?

• Parmi ces nombres palindromes à $5$ chiffres, combien sont des nombres pairs ?

Démontrer algébriquement l'identité suivante, valable pour tout entier naturel $n \ge 1$ :

Une fois démontrée, appliquer ce résultat pour simplifier et calculer la valeur exacte de l'expression $\frac{10! + 9!}{11!}$.

Aux urgences d'un hôpital, il faut assurer les gardes du week-end en affectant un médecin le samedi et un autre, différent, le dimanche, choisis parmi une équipe de $6$ professionnels disponibles : Léa, Blaise, Clara, David, Hélène et Félix. Pour des raisons de repos après une intervention précédente, Léa et Blaise ne peuvent pas être de garde le même week-end (c'est-à-dire qu'il ne peut pas arriver que l'un soit de garde le samedi et l'autre le dimanche).

Pour calculer le nombre de plannings valides, deux internes proposent des stratégies différentes :

• Stratégie A (dénombrement direct par cas) : additionner les possibilités où aucun des deux médecins incompatibles n'intervient et celles où exactement l'un d'eux intervient.

• Stratégie B (dénombrement par le complémentaire) : calculer toutes les affectations possibles de médecins distincts pour le samedi et le dimanche sans restriction, puis retrancher les cas interdits où Léa et Blaise sont ensemble.

1. a) Développer en détail les calculs pas à pas en suivant la stratégie A puis la stratégie B, en vérifiant que les deux chemins conduisent au même résultat numérique.
2. b) Comparer les deux procédures et justifier laquelle est la plus avantageuse et la moins sujette aux erreurs si l'équipe était composée de $25$ médecins au lieu de $6$, en conservant la même restriction entre Léa et Blaise.

Météo-France classe les observations du vent dans une station des Pyrénées selon deux variables simultanées : la direction, qui prend l'une des $8$ directions principales (N, NE, E, SE, S, SO, O, NO), et la force, répartie en $3$ niveaux (faible, modéré, fort).

1. a) Chaque jour, trois mesures indépendantes sont enregistrées : à 08 h 00, à 14 h 00 et à 20 h 00. Un « relevé quotidien » est le triplet ordonné de ces trois mesures complètes (direction et force à chaque fois). Appliquer le principe multiplicatif pour calculer combien de relevés quotidiens distincts peuvent théoriquement être enregistrés.
2. b) Une chercheuse affirme : « Si l'on analyse uniquement la mesure de 14 h 00 sur une année bissextile ($366$ jours), il est mathématiquement certain qu'au moins une combinaison de direction et de force se sera répétée au moins $16$ fois. » Justifier formellement si cette affirmation est vraie ou fausse en utilisant le principe des tiroirs (en identifiant clairement quels sont les objets ou chaussettes et quels sont les groupes ou tiroirs).
3. c) Quel est le nombre minimal de jours pendant lesquels il faudrait enregistrer les mesures de 14 h 00 pour garantir avec une certitude mathématique totale qu'une combinaison s'est répétée au moins $20$ fois ? Justifier la réponse.