Exercices: Forme trigonométrique et exponentielle d'un nombre complexe

Exprimer le nombre complexe $z = 3 + 3\sqrt{3}i$ sous forme exponentielle et sous forme trigonométrique.

Étant donné le nombre complexe sous forme exponentielle $z = 4_{120^\circ}$, déterminer son écriture sous forme algébrique.

Calculer le produit des nombres complexes $z_1 = 2_{30^\circ}$ et $z_2 = 5_{45^\circ}$. Exprimer le résultat sous forme exponentielle.

Effectuer la division des nombres complexes $z_1 = 12_{150^\circ}$ et $z_2 = 3_{60^\circ}$. Exprimer le résultat final sous forme trigonométrique.

Appliquer la formule de Moivre pour calculer la puissance quatrième du nombre complexe $z = 2_{20^\circ}$. Exprimer le résultat sous forme exponentielle.

Déterminer le conjugué et l'opposé du nombre complexe $z = 6_{45^\circ}$. Exprimer les deux résultats sous forme exponentielle avec des arguments positifs compris entre $0^\circ$ et $360^\circ$.

Calculer les racines carrées du nombre complexe $z = 9_{80^\circ}$ et exprimer les résultats sous forme exponentielle.

Observer la représentation dans le plan complexe du vecteur qui définit $z$. Déterminer son module et son argument, et écrire son expression sous forme exponentielle et sous forme trigonométrique.

Marc doit écrire le nombre complexe $z = -2 + 2\sqrt{3}i$ sous forme polaire. Dans son devoir, il écrit :

« $r = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.

$\alpha = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{-2}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) = -60^\circ = 300^\circ$.

Donc $z = 4_{300^\circ}$ ».

Identifier l'erreur conceptuelle commise par Marc dans la détermination de l'argument, expliquer, en analysant les signes de la partie réelle et de la partie imaginaire, dans quel quadrant doit se situer le point image de $z$, et écrire la forme polaire correcte avec son argument principal dans l'intervalle $[0^\circ ; 360^\circ[$.

On cherche un nombre complexe $z$ dont le point image se situe dans le quatrième quadrant et dont la distance à l'origine du repère est égale à $6$. On sait que son conjugué, $\bar{z}$, a une partie réelle exactement égale à la moitié de son module ($a = r/2$). Déterminer, en justifiant, l'argument de $\bar{z}$, en déduire la forme exponentielle de $z$ avec son argument dans l'intervalle $[0^\circ, 360^\circ)$ et déterminer la forme algébrique exacte de son opposé, $-z$.

Dans un circuit en courant alternatif, la tension est représentée par le nombre complexe $V = 220_{30^\circ}$ et l'impédance par $Z = 10_{-15^\circ}$. La loi d'Ohm en courant alternatif établit que l'intensité est $I = \frac{V}{Z}$. Calculer l'intensité $I$ sous forme exponentielle puis l'exprimer sous forme algébrique.

Dans le développement d'un jeu vidéo 2D, la position d'un personnage est donnée par le point image du nombre complexe $z = 4 - 4i$. Le moteur graphique applique une rotation de $60^\circ$ dans le sens direct en multipliant sa position par le complexe $w = 1_{60^\circ}$. Déterminer la nouvelle position du personnage sous forme algébrique.

Déterminer les trois racines cubiques du nombre complexe $z = 8i$. Exprimer les résultats sous forme exponentielle et justifier géométriquement la figure que forment leurs points images dans le plan complexe.

Calculer la valeur de l'expression $\frac{(1 - \sqrt{3}i)^5}{(-2+2i)^3}$. Pour cela, convertir au préalable le numérateur et le dénominateur sous forme exponentielle.

Dans une expérience d'optique, le déphasage entre deux ondes lumineuses se modélise en multipliant leurs représentations complexes. Si la première onde est $z_1 = 3_{45^\circ}$ et la seconde est $z_2 = 2_{135^\circ}$, déterminer sous forme trigonométrique le résultat de $z_1 \cdot z_2^2$.

Déterminer l'inverse du nombre complexe $z = 4_{210^\circ}$ et l'exprimer sous forme algébrique. Vérifier que le produit de $z$ par son inverse est égal à 1.

Résoudre l'équation $z^4 + 81 = 0$ en utilisant la forme exponentielle des nombres complexes. Exprimer les quatre solutions obtenues sous forme algébrique.

Déterminer la valeur de $a \in \mathbb{R}$ pour que l'argument du nombre complexe $z = \frac{a + 2i}{1 + i}$ soit égal à $45^\circ$.

On considère le nombre complexe $z = -3\sqrt{2} - \sqrt{6}i$.

1. a) Avant de calculer : sachant que $\sqrt{2} \approx 1,41$ et $\sqrt{6} \approx 2,45$, estimer en justifiant le quadrant dans lequel se trouve son point image. Comparer la valeur absolue de la partie réelle ($|a| \approx 4,24$) à celle de la partie imaginaire ($|b| \approx 2,45$) : l'argument principal sera-t-il plus proche de $180^\circ$ ou de $270^\circ$ ? Donner une estimation de son argument (avec une marge de $\pm 10^\circ$) et une valeur approchée de son module.
2. b) Calculer algébriquement la valeur exacte du module $r$ et de l'argument principal $\alpha$ de $z$. Écrire $z$ sous forme exponentielle et sous forme trigonométrique, et confronter le résultat exact aux estimations de la question précédente, en justifiant si le calcul est cohérent avec la position géométrique du point image.

Pour calculer la forme algébrique de l'opposé du conjugué du nombre complexe $z = 4_{150^\circ}$, c'est-à-dire $-\bar{z}$, deux élèves débattent de la stratégie la plus adaptée :

• Méthode 1 (voie algébrique) : convertir d'abord $z = 4_{150^\circ}$ sous forme algébrique en utilisant $a = r\cos\alpha$ et $b = r\sin\alpha$, calculer ensuite son conjugué $\bar{z} = a - bi$, et enfin changer le signe des deux composantes pour obtenir $-\bar{z}$.

• Méthode 2 (voie exponentielle) : calculer directement l'argument de $-\bar{z}$ en utilisant les propriétés de l'argument du conjugué ($\arg(\bar{z}) = -\alpha$) et de l'opposé ($\arg(-w) = \arg(w) + 180^\circ$), simplifier l'angle obtenu dans $[0^\circ, 360^\circ)$ sachant que le module ne change pas, et ne passer à la forme algébrique que pour le résultat final.

Appliquer les deux méthodes pas à pas pour déterminer $-\bar{z}$ sous forme algébrique et argumenter laquelle des deux voies minimise le risque d'erreurs de calcul sur les signes et les rapports trigonométriques.

Les sommets d'un hexagone régulier centré à l'origine du plan complexe correspondent aux racines sixièmes d'un nombre complexe $W$. Si l'un des sommets de l'hexagone est le point image du nombre $z_1 = 2_{30^\circ}$, déterminer la valeur du nombre complexe $W$ sous forme algébrique et calculer l'aire exacte de l'hexagone.

Un bras robotisé articulé est constitué de deux segments. Le premier segment est représenté dans le plan complexe par le vecteur $z_1 = 5_{60^\circ}$. Le second segment, $z_2$, a une longueur de $3$ unités et est tourné de $45^\circ$ dans le sens direct par rapport à la direction de $z_1$. Calculer la position finale de l'extrémité du bras robotisé (c'est-à-dire $z_1 + z_2$) sous forme algébrique, en arrondissant à deux décimales.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Utiliser la formule de Moivre pour développer l'expression $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. À partir de l'égalité des parties réelles et des parties imaginaires, en déduire les identités trigonométriques pour $\cos(3\alpha)$ et $\sin(3\alpha)$ en fonction de $\cos \alpha$ et $\sin \alpha$.

Déterminer tous les nombres complexes $z$ qui vérifient l'équation $z^6 - 7z^3 - 8 = 0$. Exprimer les solutions sous forme exponentielle. (Indice : effectuer un changement de variable.)

Trouver deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$ sachant que leur quotient est $\frac{z_1}{z_2} = 2_{120^\circ}$ et que leur produit est $z_1 \cdot z_2 = 18_{60^\circ}$. Exprimer les deux nombres sous forme exponentielle.

Cinq forces coplanaires de même intensité $F = 10\text{ N}$ sont appliquées à un point matériel situé à l'origine. Les directions de ces forces correspondent aux images des racines cinquièmes du nombre complexe $z = 100000_{0^\circ}$. Démontrer mathématiquement, à l'aide des propriétés des nombres complexes sous forme exponentielle, que la force résultante est nulle.

Calculer le périmètre du polygone formé par les points images des solutions de l'équation $z^4 + 2z^2 + 4 = 0$ dans le plan complexe.

Soit le nombre complexe $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Montrer que $z^3 = 1$ puis calculer la valeur de l'expression $S = z^{2023} + z^{2024} + z^{2025}$.

Une bouée océanographique du réseau français d'observation côtière, mouillée au large de la côte bretonne, enregistre l'action combinée du vent et du courant marin pour les modèles de prévision de Météo-France. La force exercée sur le capteur est modélisée dans le plan complexe, où le demi-axe réel positif pointe vers l'Est et le demi-axe imaginaire positif pointe vers le Nord (les forces sont exprimées en kilonewtons, $\text{kN}$).

Le capteur détecte une force due au courant de $F_1 = 3\sqrt{3} - 3i\text{ kN}$. Simultanément, une rafale de vent introduit une seconde force $F_2$ dont le module est $6\text{ kN}$ et dont l'image forme un angle de $150^\circ$ dans le sens direct par rapport au vecteur du courant $F_1$.

1. a) Déterminer le module et l'argument principal de $F_1$ pour exprimer cette force sous forme exponentielle et indiquer dans quel quadrant géographique agit le courant marin.
2. b) Déduire la forme exponentielle de la force du vent $F_2$ dans le repère général du plan complexe et déterminer son expression exacte sous forme algébrique.
3. c) Calculer la force nette $F_{\text{total}} = F_1 + F_2$ sous forme algébrique, l'exprimer sous forme exponentielle et interpréter physiquement le résultat : avec quelle intensité totale et dans quelle direction géographique nette l'eau pousse-t-elle la bouée ?

On considère deux nombres complexes non nuls, $z_1 = r_\alpha$ et $z_2 = s_\beta$, dont les arguments principaux appartiennent à l'intervalle $[0^\circ ; 360^\circ[$. On dispose des informations suivantes :

1. Le produit de leurs modules est $r \cdot s = 12$ et le quotient de leurs modules $r / s$ est égal à $3$.

2. Le quotient $z_1 / z_2$ est un imaginaire pur de partie imaginaire strictement négative.

3. Le point image de l'opposé de $z_2$, c'est-à-dire $-z_2$, se situe sur la bissectrice du quatrième quadrant.

1. a) À partir des propriétés du module et de la position géométrique de l'opposé, déterminer la valeur exacte du module $s$ et de l'argument $\beta$ de $z_2$.
2. b) À l'aide de la condition sur le quotient $z_1 / z_2$, déterminer le module $r$ et tous les arguments principaux possibles $\alpha \in [0^\circ ; 360^\circ[$ de $z_1$.
3. c) Écrire les solutions trouvées pour $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique exacte et vérifier par le calcul que le quotient $z_1 / z_2$ satisfait toutes les conditions imposées.