Exercices: Suites et récurrence

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac12u_n+3$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0\le u_n\le 6$.

3. a) Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=3-\dfrac12u_n$.

b) En déduire que la suite $(u_n)$ est croissante.

1. Justifier que la suite $(u_n)$ converge, puis déterminer sa limite.

Le 1er janvier 2025, Camille place 2 000 € sur un compte rémunéré à intérêts composés au taux annuel de $3\ \%$. Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le capital, en euro, disponible $n$ années après le placement. On a donc $v_0=2\,000$.

1. Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$, puis $v_n$ en fonction de $n$.

2. Préciser le sens de variation de la suite $(v_n)$ et sa limite.

3. Résoudre dans $\mathbb N$ l'inéquation $v_n>3\,000$.

4. Interpréter le résultat de la question 3 dans le contexte de l'exercice.

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes.

1. $u_n=\dfrac{3n^2-n+1}{n^2+2}$ pour tout $n\in\mathbb N$.

2. $v_n=\dfrac{n+\sin n}{n}$ pour tout $n\ge1$. On pourra utiliser le théorème des gendarmes.

3. $w_n=n^2-5n+2$ pour tout $n\in\mathbb N$.

4. $t_n=5\times\left(-0{,}5\right)^n+2$ pour tout $n\in\mathbb N$.

Un lac de Bretagne contient 5 000 poissons au 1er janvier 2025. Chaque année, la pêche prélève $20\ \%$ des poissons présents, puis une association en réintroduit 800 dans le lac.

On note $u_n$ le nombre de poissons dans le lac au 1er janvier de l'année $2025+n$. On a donc $u_0=5\,000$.

Partie A

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0{,}8\,u_n+800$.

2. Calculer $u_1$ et $u_2$.

Partie B

On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-4\,000$.

1. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=4\,000+1\,000\times0{,}8^n$.

3. Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$ et sa limite. Interpréter ce résultat.

4. Déterminer la première année à partir de laquelle le nombre de poissons au 1er janvier sera strictement inférieur à 4 050.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;3]$ par $f(x)=\sqrt{2x+3}$.

1. Montrer que $f$ est strictement croissante sur $[0\,;3]$.

2. Montrer que, pour tout $x\in[0\,;3]$, $f(x)\in[0\,;3]$.

3. Résoudre dans $[0\,;3]$ l'équation $f(x)=x$.

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0\le u_n\le 3$.

2. a) Montrer que, pour tout $x\in[0\,;3]$, $f(x)-x=\dfrac{(3-x)(x+1)}{\sqrt{2x+3}+x}$.

b) En déduire que la suite $(u_n)$ est croissante.

1. Montrer que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite $\ell$. On justifiera que $\ell$ vérifie $f(\ell)=\ell$.

2. Écrire en langage Python une fonction seuil() qui renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_n>2{,}99$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n-n$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=n+1+2^{n+1}$.

3. a) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

b) Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

1. On pose $w_n=\dfrac{u_n}{2^n}$ pour tout entier naturel $n$.

a) Exprimer $w_n$ en fonction de $n$ et montrer que $w_n=2+\dfrac{2(n+1)}{2^{n+1}}$.

b) Calculer $w_0$, $w_1$ et $w_2$.

1. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>10\,000$.

Pour tout entier naturel $n\ge1$, on pose $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}=1+\frac1{4}+\dots+\frac1{n^2}$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

2. Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

3. a) Montrer que, pour tout entier $k\ge2$, $\dfrac1{k^2}\le\dfrac1{k-1}-\dfrac1k$.

b) En déduire, par récurrence, que pour tout entier $n\ge1$, $u_n\le2-\dfrac1n$.

1. Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$ vérifiant $\dfrac54\le\ell\le2$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+\dfrac1{u_n}$.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$.

2. En déduire que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

3. a) Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}^2\ge u_n^2+2$.

b) En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n^2\ge 2n+1$.

1. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

2. Justifier que $u_n>10$ pour tout entier $n\ge50$.

3. Démontrer, par l'absurde, que la suite $(u_n)$ ne peut pas converger vers un réel $\ell$ en utilisant l'égalité $\ell=\ell+\dfrac1\ell$.

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=1$, $v_0=7$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$$u_{n+1}=\frac{2u_n+v_n}{3}\qquad\text{et}\qquad v_{n+1}=\frac{u_n+2v_n}{3}.$$

1. Calculer $u_1$ et $v_1$.

2. On pose $w_n=v_n-u_n$ pour tout entier naturel $n$.

a) Montrer que la suite $(w_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

b) En déduire l'expression de $w_n$ en fonction de $n$ et la limite de $(w_n)$.

1. On pose $s_n=u_n+v_n$ pour tout entier naturel $n$.

a) Montrer que la suite $(s_n)$ est constante et préciser sa valeur.

b) En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=4-\dfrac{3}{3^n}$ et $v_n=4+\dfrac{3}{3^n}$.

1. Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite, que l'on précisera.

2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n<4