Exercices: Géométrie dans l'espace

On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$. L'espace est muni du repère orthonormé $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$.

1. Donner les coordonnées des points $B$, $D$, $E$ et $G$.

2. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{AG}$.

3. Montrer que la droite $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$.

4. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(BDE)$ est $x+y+z-1=0$.

5. Soit $K$ le point d'intersection de la droite $(AG)$ et du plan $(BDE)$. Déterminer les coordonnées de $K$ et calculer la distance $AK$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les points $A(1\,;0\,;2)$, $B(3\,;-1\,;2)$, $C(2\,;0\,;3)$ et $D(2\,;3\,;1)$.

1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

2. Montrer que le vecteur $\vec n(1\,;2\,;-1)$ est normal au plan $(ABC)$.

3. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x+2y-z+1=0$.

4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et orthogonale au plan $(ABC)$.

5. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $D$ sur le plan $(ABC)$, puis calculer la distance de $D$ au plan $(ABC)$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les droites suivantes, de représentations paramétriques où $t$, $s$ et $k$ sont des réels :

$$d_1\ :\ \begin{cases}x=1+t\\y=2-t\\z=3t\end{cases}\qquad d_2\ :\ \begin{cases}x=2+2s\\y=1+s\\z=3-s\end{cases}\qquad d_3\ :\ \begin{cases}x=4+2k\\y=1-2k\\z=6k\end{cases}\qquad d_4\ :\ \begin{cases}x=1+s\\y=1\\z=2s\end{cases}$$

1. Donner un vecteur directeur de chacune des droites $d_1$, $d_2$, $d_3$ et $d_4$.

2. Montrer que $d_1$ et $d_2$ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

3. Montrer que $d_1$ et $d_3$ sont parallèles et non confondues.

4. Montrer que $d_1$ et $d_4$ ne sont pas coplanaires.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les points $A(2\,;0\,;0)$, $B(0\,;3\,;0)$ et $C(0\,;0\,;6)$.

Partie A

1. Montrer que le vecteur $\vec n(3\,;2\,;1)$ est normal au plan $(ABC)$.

2. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

3. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$, puis une valeur approchée au dixième de degré de la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.

Partie B

1. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $O$ sur le plan $(ABC)$.

2. Calculer la distance $OH$. On donnera la valeur exacte.

3. Calculer le volume du tétraèdre $OABC$, sachant que $OAB$ est un triangle rectangle en $O$ et que $(OC)$ est orthogonale au plan $(OAB)$.

4. En déduire l'aire du triangle $ABC$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère la droite $\mathcal D$ de représentation paramétrique

$$\begin{cases}x=1+2t\\y=-t\\z=2+t\end{cases},\qquad t\in\mathbb R,$$

et le point $M(4\,;1\,;3)$.

Partie A

1. Donner un point de $\mathcal D$ et un vecteur directeur $\vec u$ de $\mathcal D$.

2. Le point $M$ appartient-il à $\mathcal D$ ?

3. Soit $H$ le point de $\mathcal D$ de paramètre $t$. Exprimer $\overrightarrow{MH}$ en fonction de $t$, puis déterminer $t$ pour que $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$.

4. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal D$, puis la distance de $M$ à $\mathcal D$.

Partie B

1. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal P$ passant par $M$ et orthogonal à $\mathcal D$.

2. Vérifier que le projeté orthogonal $H$ de la partie A est le point d'intersection de $\mathcal D$ et $\mathcal P$.

3. Soit $N$ un point de $\mathcal D$. Montrer que $MN^2=MH^2+HN^2$. En déduire les points $N$ de $\mathcal D$ tels que $MN=3$, en donnant leurs paramètres.

On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$ muni du repère orthonormé $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$. On note $I$ le milieu de $[CD]$ et $J$ le milieu de $[BF]$.

1. Donner les coordonnées des points $E$, $G$, $I$ et $J$.

2. Calculer $\overrightarrow{EI}\cdot\overrightarrow{EJ}$, $EI$ et $EJ$. En déduire une valeur approchée au dixième de degré de l'angle $\widehat{IEJ}$.

3. a) Montrer que le vecteur $\vec n(2\,;3\,;4)$ est normal au plan $(EIJ)$.

b) En déduire une équation cartésienne du plan $(EIJ)$.

1. a) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $P$ du point $G$ sur le plan $(EIJ)$.

b) Calculer la distance du point $G$ au plan $(EIJ)$.

1. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite $(AG)$ et du plan $(EIJ)$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les points $A(1\,;2\,;3)$, $B(3\,;0\,;1)$, $C(-1\,;1\,;2)$ et $S(2\,;5\,;1)$.

Partie A

1. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ et calculer son aire.

2. Montrer que le vecteur $\vec n(0\,;1\,;-1)$ est normal au plan $(ABC)$, puis déterminer une équation cartésienne de ce plan.

3. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $S$ sur le plan $(ABC)$ et calculer la distance $SH$.

4. Calculer le volume du tétraèdre $SABC$.

Partie B

1. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme. Montrer que $ABDC$ est un rectangle et calculer son aire.

2. Calculer le volume de la pyramide $SABDC$ de base $ABDC$ et de sommet $S$.

3. Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur du segment $[AS]$.

On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$ muni du repère orthonormé $\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$. Pour tout réel $t\in[0\,;1]$, on note $M$ le point de $[AB]$ tel que $AM=t$ et $N$ le point de $[CG]$ tel que $CN=t$.

1. Donner les coordonnées de $M$ et de $N$ en fonction de $t$.

2. a) Montrer que $MN^2=2t^2-2t+2$.

b) En déduire la valeur de $t$ pour laquelle la longueur $MN$ est minimale, ainsi que cette longueur minimale.

1. a) Existe-t-il une valeur de $t$ pour laquelle les droites $(MN)$ et $(AG)$ sont orthogonales ?

b) Déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles les droites $(MN)$ et $(BD)$ sont orthogonales. Interpréter géométriquement.

1. On suppose dans cette question que $t=\dfrac12$.

a) Montrer que le vecteur $\vec n(4\,;-3\,;2)$ est normal au plan $(EMN)$.

b) En déduire une équation cartésienne du plan $(EMN)$.

c) Calculer la distance du point $A$ au plan $(EMN)$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère les droites $d_1$ et $d_2$ de représentations paramétriques respectives

$$d_1\ :\ \begin{cases}x=1+t\\y=t\\z=0\end{cases},\ t\in\mathbb R\qquad\text{et}\qquad d_2\ :\ \begin{cases}x=0\\y=1+s\\z=1+s\end{cases},\ s\in\mathbb R.$$

1. Donner un vecteur directeur $\vec u$ de $d_1$ et un vecteur directeur $\vec v$ de $d_2$. Montrer que $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.

2. Montrer que $d_1$ et $d_2$ n'ont aucun point commun. Que peut-on en déduire sur leur position relative ?

3. Pour $t$ et $s$ réels, on note $P(t)$ le point de $d_1$ de paramètre $t$ et $Q(s)$ le point de $d_2$ de paramètre $s$.

a) Exprimer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{P(t)Q(s)}$.

b) Déterminer les valeurs de $t$ et $s$ pour lesquelles $\overrightarrow{PQ}$ est orthogonal à la fois à $\vec u$ et à $\vec v$. On note $P_0$ et $Q_0$ les points correspondants.

c) Calculer la distance $P_0Q_0$.

1. Soient $P$ un point quelconque de $d_1$ et $Q$ un point quelconque de $d_2$. Montrer que $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{P_0Q_0}+\vec w$ où $\vec w$ est une combinaison linéaire de $\vec u$ et $\vec v$. En déduire que $PQ\ge P_0Q_0$.