Exercices: Fonctions : limites, continuité, convexité, logarithme et exponentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=(x+1)\mathrm e^{-x}$. On note $\mathcal C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.

2. a) Montrer que, pour tout réel $x$, $f(x)=x\mathrm e^{-x}+\mathrm e^{-x}$.

b) En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement.

1. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=-x\,\mathrm e^{-x}$.

2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb R$.

3. Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal C_f$ au point d'abscisse $1$.

1. On considère la fonction $g$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $g(x)=x-1-\ln x$.

a) Calculer $g'(x)$ et étudier son signe.

b) Dresser le tableau de variations de $g$ (on admettra que $g(x)\to+\infty$ en $0$ et en $+\infty$).

c) En déduire que, pour tout réel $x>0$, $\ln x\le x-1$.

1. Résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $\mathrm e^{2x}-5\mathrm e^{x}+6=0$. On pourra poser $X=\mathrm e^x$.

2. Résoudre dans $]0\,;+\infty[$ l'inéquation $\ln(x)\ge 2$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^3+x-1$.

1. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb R$.

2. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb R$ et que $\alpha\in]0\,;1[$.

3. À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}01$.

4. En déduire le signe de $f(x)$ sur $\mathbb R$.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x\,\mathrm e^{-x}$ et on note $\mathcal C_f$ sa courbe représentative.

1. Montrer que $f'(x)=(1-x)\mathrm e^{-x}$ et que $f''(x)=(x-2)\mathrm e^{-x}$ pour tout réel $x$.

2. Étudier la convexité de $f$ sur $\mathbb R$. La courbe $\mathcal C_f$ admet-elle un point d'inflexion ? Si oui, préciser ses coordonnées.

3. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal C_f$ au point d'abscisse $2$.

Partie B

1. Justifier que la fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb R$.

2. En déduire que, pour tout réel $x$, $\mathrm e^x\ge x+1$.

3. Montrer alors que, pour tout réel $x>0$, $\ln x\le x-1$.

4. Déduire de la question 2 que, pour tout réel $x$, $x\,\mathrm e^{-x}\le 1-\mathrm e^{-x}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}$. On note $\mathcal C_f$ sa courbe représentative.

1. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. Interpréter graphiquement.

2. Montrer que, pour tout réel $x>0$, $f'(x)=-\dfrac{\ln x}{x^2}$.

3. Dresser le tableau de variations de $f$.

4. Résoudre l'équation $f(x)=0$ et en déduire le signe de $f$ sur $]0\,;+\infty[$.

5. Montrer que, pour tout réel $x>0$, $f''(x)=\dfrac{2\ln x-1}{x^3}$. En déduire la convexité de $f$ et l'abscisse du point d'inflexion de $\mathcal C_f$.

6. Soit $k$ un réel. Discuter, selon les valeurs de $k$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$ sur $]0\,;+\infty[$.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;\pi]$ par $f(x)=\sin x\,(1+\cos x)$.

1. Montrer que, pour tout $x\in[0\,;\pi]$, $f'(x)=(2\cos x-1)(\cos x+1)$.

2. Résoudre sur $[0\,;\pi]$ l'inéquation $2\cos x-1\ge0$.

3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\pi]$ et préciser la valeur exacte de son maximum.

Partie B

Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath)$, on considère le demi-cercle de centre $O$ et de rayon $1$ situé dans le demi-plan $y\ge0$, et les points $A(-1\,;0)$ et $B(1\,;0)$. Pour $x\in]0\,;\frac\pi2[$, on note $C(\cos x\,;\sin x)$ et $D(-\cos x\,;\sin x)$. Le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze isocèle de bases $[AB]$ et $[CD]$.

1. Exprimer les longueurs $AB$ et $CD$ en fonction de $x$, puis montrer que l'aire du trapèze $ABCD$ est égale à $f(x)$.

2. Pour quelle valeur de $x$ l'aire du trapèze est-elle maximale ? Donner cette aire maximale.

On considère la fonction $h$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $h(x)=\dfrac{\mathrm e^x}{x}$.

Partie A

1. Déterminer les limites de $h$ en $0$ et en $+\infty$.

2. Montrer que, pour tout réel $x>0$, $h'(x)=\dfrac{(x-1)\mathrm e^x}{x^2}$.

3. Dresser le tableau de variations de $h$. Préciser son minimum.

4. Soit $k$ un réel strictement positif. Déterminer, selon les valeurs de $k$, le nombre de solutions de l'équation $\mathrm e^x=kx$ dans $]0\,;+\infty[$.

Partie B

1. Montrer que l'équation $h(x)=3$ admet exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha<1<\beta$.

2. À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}01$ et un encadrement de $\beta$ d'amplitude $0{,}1$.

3. La fonction exponentielle étant convexe, justifier que sa courbe est au-dessus de sa tangente au point d'abscisse $1$. En déduire que, pour tout réel $x$, $\mathrm e^x\ge\mathrm e\,x$. Retrouver ce résultat à l'aide de la partie A.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\ln(1+\mathrm e^x)$.

1. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{\mathrm e^x}{1+\mathrm e^x}$ et que $f''(x)=\dfrac{\mathrm e^x}{(1+\mathrm e^x)^2}$.

2. En déduire les variations et la convexité de $f$ sur $\mathbb R$.

3. a) Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.

b) Montrer que, pour tout réel $x$, $f(x)=x+\ln(1+\mathrm e^{-x})$, puis que $f(x)-x$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.

1. Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$. En déduire que, pour tout réel $x$, $\ln(1+\mathrm e^x)\ge\ln2+\dfrac x2$.

2. a) Justifier que, pour tous réels $a$ et $b$, $f\!\left(\dfrac{a+b}2\right)\le\dfrac{f(a)+f(b)}2$. On pourra utiliser la définition de la convexité par les sécantes.

b) En déduire que, pour tous réels strictement positifs $x$ et $y$, $1+\sqrt{xy}\le\sqrt{(1+x)(1+y)}$.

1. Résoudre l'équation $f(x)=1$.

Partie A

On considère la fonction $g$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $g(x)=\ln(1+x)-x$.

1. Montrer que $g'(x)=-\dfrac{x}{1+x}$ et dresser le tableau de variations de $g$.

2. En déduire que, pour tout réel $x>0$, $\ln(1+x)

3. On considère la fonction $h$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $h(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^2}2$. Montrer que $h'(x)=\dfrac{x^2}{1+x}$ et en déduire que, pour tout réel $x\ge0$, $\ln(1+x)\ge x-\dfrac{x^2}2$.

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\ln(1+u_n)$.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$.

2. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.

3. En déduire que la suite $(u_n)$ converge. Déterminer sa limite en justifiant l'équation vérifiée par cette limite.

4. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0