La llei de la gravitació universal

Dues boles d'acer de $1\ \text{kg}$ cadascuna estan col·locades de manera que els seus centres disten $1\ \text{m}$, com es mostra a la figura.

Aplica la llei de la gravitació universal, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, amb $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, i calcula la força amb què s'atreuen. Et sembla una força gran o petita? Comenta-ho.

En la llei de la gravitació universal, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$:

1. a) Indica què representa cada lletra ($F$, $G$, $M$, $m$ i $r$) i en quina unitat es mesura en el Sistema Internacional.
2. b) El valor de $G$ és $6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, un nombre molt petit. Explica quina conseqüència té això per a la força entre objectes de massa normal.

Dos companys de classe, de $60\ \text{kg}$ i $70\ \text{kg}$ de massa, estan asseguts de manera que els seus cossos disten $1\ \text{m}$ de mitjana. Calcula la força d'atracció gravitatòria entre ells ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$) i expressa-la en notació científica.

El Sol manté la Terra en òrbita atraient-la. Calcula aquesta força amb les dades següents: massa del Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, massa de la Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, distància mitjana entre els seus centres $r = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$ i $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Després, compara el resultat amb la força Terra–Lluna, d'uns $2\cdot10^{20}\ \text{N}$: quantes vegades més gran és?

Calcula la força d'atracció gravitatòria entre la Terra i la Lluna, com es mostra a la figura.

Dades: massa de la Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, massa de la Lluna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, distància mitjana entre els seus centres $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ i $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Expressa el resultat en notació científica, arrodonint a dues xifres decimals.

Dos petroliers bessons, de $10^{6}\ \text{kg}$ de massa cadascun, fondegen amb els seus centres de massa separats $100\ \text{m}$.

1. a) Calcula la força gravitatòria amb què s'atreuen ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Compara aquesta força amb la que fa falta per arrossegar un full de paper per la taula, de l'ordre de $0,01\ \text{N}$. Notaran els vaixells aquesta atracció? Justifica-ho.

A quina distància del centre de la Terra la força gravitatòria sobre un cos es redueix a la meitat de la que sent a la superfície?

1. a) Planteja la igualtat utilitzant que la força disminueix amb $\frac{1}{r^2}$.
2. b) Aïlla $r$ en funció del radi terrestre $R_T$ (t'apareixerà un $\sqrt{2}$).
3. c) Amb $R_T = 6370\ \text{km}$, calcula a quina alçada sobre la superfície cal pujar, en quilòmetres. Creus que un avió comercial, que vola a uns $10\ \text{km}$ d'alçada, nota aquesta disminució? Raona la resposta.

Deduirem el valor de $g$ a la superfície de la Terra a partir de la llei de la gravitació universal.

1. a) Escriu la força que la Terra exerceix sobre un cos de massa $m$ de dues maneres: com a $F = m\cdot g$ i com a $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$.
2. b) Iguala les dues expressions, simplifica la massa $m$ i aïlla $g$.
3. c) Calcula el seu valor amb $M = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ i $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Quin valor tan conegut obtens?

Dues masses fixes, de $100\ \text{kg}$ i $400\ \text{kg}$, estan separades $3\ \text{m}$. Volem col·locar una tercera massa a la línia que les uneix, entre totes dues, de manera que la força gravitatòria neta sobre ella sigui zero, com es mostra a la figura.

1. a) Si $x$ és la distància de la tercera massa a la de $100\ \text{kg}$, escriu la igualtat entre les dues forces que actuen sobre ella.
2. b) Resol l'equació i calcula $x$ (pista: simplifica primer $G$ i la tercera massa, i després pren arrels quadrades).
3. c) Depèn el resultat del valor de la tercera massa? I de $G$? Comenta-ho.

Newton va comprovar la seva llei comparant la caiguda dels objectes a la superfície amb el moviment de la Lluna.

1. a) Calcula la força que la Terra exerceix sobre un cos de $1\ \text{kg}$ a la seva superfície ($r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcula la força que exerciria sobre aquest mateix cos si estigués a la distància de la Lluna ($r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$).
3. c) Comprova que la segona força és unes $3600$ vegades menor i relaciona aquest nombre amb el quocient entre les dues distàncies, que és d'uns $60$. Quina llei queda confirmada?