El principi d'Arquimedes, l'empenta

Enuncia amb les teves paraules el principi d'Arquimedes: què és l'empenta, en quina direcció i sentit actua i a què és igual el seu valor.

Un cub submergit del tot en aigua desallotja un volum de $0,002\ \text{m}^3$ (uns $2\ \text{L}$), com es mostra a la figura.

Calcula l'empenta que rep utilitzant $E = d\cdot V\cdot g$. Dades: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

Dues ampolles idèntiques plenes de sorra es submergeixen completament en aigua, l'una a $1\ \text{m}$ de profunditat i l'altra a $5\ \text{m}$, com es mostra a la figura.

Rep l'una més empenta que l'altra? Justifica-ho fixant-te en les magnituds de les quals depèn l'empenta.

Sobre la taula tens un tap de suro ($d = 240\ \text{kg/m}^3$) i una femella de ferro ($d = 7\,870\ \text{kg/m}^3$). Sense fer càlculs, prediu quin flotarà i quin s'enfonsarà en aigua ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$) i explica el criteri que has utilitzat.

Els glaçons de gel floten al got d'aigua. Sabent que la densitat del gel és d'uns $900\ \text{kg/m}^3$, explica per què floten i escriu la condició que ha de complir la densitat d'un cos perquè floti en un líquid.

Una peça metàl·lica de $2\ \text{kg}$ té un volum de $0,0005\ \text{m}^3$ ($0,5\ \text{L}$). Dades: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el seu pes.
2. b) Calcula l'empenta que rep si es submergeix completament en aigua.
3. c) Flota o s'enfonsa? Calcula a més la seva densitat i compara-la amb la de l'aigua per confirmar la teva resposta.

Una pedra de $5\ \text{kg}$ i $0,001\ \text{m}^3$ de volum penja d'un dinamòmetre i es submergeix completament en aigua, com es mostra a la figura. Dades: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el seu pes real.
2. b) Calcula l'empenta de l'aigua.
3. c) Quin valor marca el dinamòmetre amb la pedra submergida? Explica per què aquest «pes aparent» és menor.

Un objecte pesa $12\ \text{N}$ a l'aire i, en submergir-lo completament en aigua, el dinamòmetre marca $8\ \text{N}$. Dades: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Quant val l'empenta que rep?
2. b) Calcula el volum de l'objecte.
3. c) Amb el seu pes real i el seu volum, calcula la seva densitat en $\text{kg/m}^3$.

Una corona de $1\ \text{kg}$ hauria de ser d'or pur ($d_{oro} = 19\,300\ \text{kg/m}^3$). La peses submergida en aigua i el dinamòmetre marca $9,2\ \text{N}$. Dades: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Quin volum ocuparia la corona si fos d'or pur? Expressa'l en $\text{cm}^3$.
2. b) A partir de la lectura del dinamòmetre, calcula l'empenta real i el volum real de la corona.
3. c) Calcula la densitat real de la corona i decideix si és d'or pur o està aliada amb un metall menys dens, com sospitava Arquimedes.

Un bloc de fusta de $6\ \text{kg}$ flota en equilibri sobre l'aigua d'una piscina ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$), com es mostra a la figura. Pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Si flota en equilibri, quant val l'empenta que rep? Justifica-ho.
2. b) Calcula el volum d'aigua que desallotja, és a dir, el seu volum submergit. Expressa-lo en $\text{m}^3$ i en litres.

Un glaçó de gel ($d_{hielo} = 900\ \text{kg/m}^3$) flota en un got d'aigua ($d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$), com es mostra a la figura.

1. a) En equilibri, el pes del gel iguala l'empenta: $d_{hielo}\cdot V\cdot g = d_{agua}\cdot V_{sum}\cdot g$. Simplifica l'expressió i aïlla la fracció submergida $\frac{V_{sum}}{V}$.
2. b) Calcula quin percentatge del glaçó queda sota l'aigua i quin percentatge sobresurt.
3. c) Relaciona el resultat amb l'expressió «això és només la punta de l'iceberg».

Un iceberg de $10\,000\ \text{m}^3$ flota al mar. Dades: $d_{hielo} = 900\ \text{kg/m}^3$, $d_{mar} = 1\,025\ \text{kg/m}^3$.

1. a) Calcula quina fracció del seu volum queda submergida (recorda: en equilibri, $\frac{V_{sum}}{V} = \frac{d_{hielo}}{d_{mar}}$).
2. b) Quin volum de l'iceberg sobresurt de l'aigua?
3. c) Amb aquests resultats, explica per què els icebergs són tan perillosos per a la navegació encara que la part visible sembli petita.

Un submarí de $800\ \text{t}$ ($800\,000\ \text{kg}$) navega totalment submergit, en equilibri, al mar ($d = 1\,025\ \text{kg/m}^3$), com es mostra a la figura. Pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Quant val l'empenta que rep? Justifica-ho a partir de la condició d'equilibri.
2. b) Calcula el volum d'aigua que desplaça, és a dir, el volum del submarí.
3. c) Per emergir, el submarí expulsa l'aigua de mar dels seus tancs de llast i la substitueix per aire: explica quina magnitud canvia, si el pes o l'empenta, i per què això el fa pujar.

Un globus aerostàtic té un volum de $2\,000\ \text{m}^3$, com es mostra a la figura. L'aire exterior té una densitat de $1,2\ \text{kg/m}^3$ i l'aire calent de l'interior, de $1,0\ \text{kg/m}^3$. Pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula l'empenta que exerceix l'aire exterior sobre el globus.
2. b) Calcula el pes de l'aire calent que omple el globus.
3. c) La diferència entre tots dos és la força disponible per aixecar l'embolcall, la cistella i els passatgers: quina massa màxima poden tenir en conjunt perquè el globus ascendeixi?

Un iot de $4\,000\ \text{kg}$ flota al mar ($d = 1\,025\ \text{kg/m}^3$). Pren $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el seu pes i raona quant val l'empenta que rep en flotar en equilibri.
2. b) Calcula el volum submergit del casc.
3. c) El iot entra en un riu d'aigua dolça ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$): calcula el nou volum submergit i explica si el vaixell navega més alt o més baix a l'aigua.