Sistemas de ecuaciones no lineales
Valentina arma un "escape room" en una sala rectangular. Sabe que el perímetro es de $20$ m y que la superficie es de $24$ m². Hay dos incógnitas (largo y ancho), pero el área tiene un producto de incógnitas: la ecuación ya no es lineal. Estos sistemas se resuelven con la misma idea de siempre, despejar en la ecuación más sencilla y sustituir, solo que ahora aparece una ecuación cuadrática. Al final del apartado vas a poder responderle a Valentina cuánto miden los lados.
Reconocer un sistema no lineal
El perímetro de una zona rectangular destinada a un "escape room" es de $20$ metros y su superficie total es de $24$ metros cuadrados. Calcula las dimensiones (largo y…
El perímetro de una zona rectangular destinada a un "escape room" es de $20$ metros y su superficie total es de $24$ metros cuadrados.
Calcula las dimensiones (largo y ancho) de la habitación planteando y resolviendo un sistema de ecuaciones.
Una recta y una curva: despejar y sustituir
Halla las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x - y = 1 \end{cases}$ ¿A qué figura geométrica corresponde la primera…
Halla las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x - y = 1 \end{cases}$
¿A qué figura geométrica corresponde la primera ecuación? ¿Y la segunda?
Un dron de vigilancia sigue una trayectoria de seguridad en línea recta descrita por la ecuación $x - y = 1$. Al mismo tiempo, un intruso se desplaza por el perímetro de…
Un dron de vigilancia sigue una trayectoria de seguridad en línea recta descrita por la ecuación $x - y = 1$. Al mismo tiempo, un intruso se desplaza por el perímetro de una zona restringida cuya trayectoria responde a la función parabólica $y = x^2 - 5x + 6$. Determina los puntos exactos del plano donde ambas trayectorias se cruzan para que el dron pueda interceptar al intruso.
La figura muestra las dos trayectorias para que te orientes; las coordenadas de los puntos de cruce las tienes que calcular tú.
Un proyectil es lanzado siguiendo una trayectoria parabólica dada por la ecuación $y = -x^2 + 8x - 7$. Al mismo tiempo, un rayo láser de seguimiento se activa desde el…
Un proyectil es lanzado siguiendo una trayectoria parabólica dada por la ecuación $y = -x^2 + 8x - 7$. Al mismo tiempo, un rayo láser de seguimiento se activa desde el origen de coordenadas siguiendo la trayectoria lineal $y = 2x$. Determina los puntos del espacio (coordenadas $x, y$) en los que el rayo láser intercepta al proyectil.
Una recta y una circunferencia
La ecuación $x^2+y^2=r^2$ es una circunferencia de centro el origen y radio $r$. Si el centro es $(a; b)$, la ecuación es $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. Si te dan la ecuación desarrollada, como en $x^2+y^2-6x-4y+4=0$, no hace falta completar cuadrados: despejás en la recta, sustituís y resolvés la cuadrática igual que siempre.
Un joven diseñador gráfico está creando un logo que consiste en una circunferencia centrada en el origen y una línea que la atraviesa. El software de diseño le indica…
Un joven diseñador gráfico está creando un logo que consiste en una circunferencia centrada en el origen y una línea que la atraviesa. El software de diseño le indica las siguientes ecuaciones para los trazos:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ y = 3x \end{cases}$
Calcula los puntos de intersección donde se cruzan la línea y la circunferencia.
En el diseño de un nuevo logotipo para una marca de ropa, se utiliza un círculo y una línea recta. El círculo está centrado en el origen y su ecuación es…
En el diseño de un nuevo logotipo para una marca de ropa, se utiliza un círculo y una línea recta. El círculo está centrado en el origen y su ecuación es $x^2 + y^2 = 25$. La línea de corte atraviesa el diseño siguiendo la ecuación $2x + y = 1$. Halla los puntos de intersección entre el círculo y la recta que definen los límites del logotipo.
Un estudio de diseño gráfico está creando un nuevo logotipo circular atravesado por una línea recta. La circunferencia del logotipo viene definida por la ecuación…
Un estudio de diseño gráfico está creando un nuevo logotipo circular atravesado por una línea recta. La circunferencia del logotipo viene definida por la ecuación $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0$, mientras que la línea de corte sigue la recta de ecuación $y - x = 2$. Determina mediante un sistema de ecuaciones no lineal los puntos de intersección donde la línea corta al círculo para colocar unos nodos de anclaje.
Interpretación geométrica
Una ecuación de primer grado en $x$ e $y$ es una recta; $x^2+y^2=r^2$, una circunferencia; $y=ax^2+bx+c$, una parábola. Resolver el sistema es encontrar los puntos donde las curvas se cruzan.
El discriminante de la cuadrática que resulta te dice cuántos cortes hay: positivo, dos; cero, uno (la recta es tangente); negativo, ninguno.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales utilizando el método de sustitución: $\begin{cases} y = x^2 - 4 \\ y = x + 2 \end{cases}$ La figura muestra la…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales utilizando el método de sustitución:
$\begin{cases} y = x^2 - 4 \\ y = x + 2 \end{cases}$
La figura muestra la parábola y la recta correspondientes a las dos ecuaciones.
- a) Resuelve el sistema por sustitución y calcula las coordenadas de todas las soluciones $(x, y)$.
- b) Explica brevemente qué representan geométricamente las soluciones obtenidas (puntos de corte entre una parábola y una recta) y comprueba que lo que has obtenido concuerda con la figura.
Reducción y sistemas con dos cuadráticas
Si las dos ecuaciones tienen $x^2$ e $y^2$ y no hay términos mixtos, conviene reducir por sumas y restas tratando $x^2$ e $y^2$ como incógnitas.
Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción, aprovechando que ambas incógnitas están elevadas al cuadrado:…
Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción, aprovechando que ambas incógnitas están elevadas al cuadrado:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases}$
Indica todas las parejas de soluciones $(x, y)$ posibles.
Problemas: perímetro, área y números
Para traducir un enunciado, nombrá las incógnitas y escribí cada condición como una ecuación. Mirá cómo se responde la pregunta de Valentina.
Volvé al principio: la sala de Valentina mide $6$ m por $4$ m.
Determina dos números naturales sabiendo que su suma es $10$ y que la suma de sus cuadrados es $58$. Para ello, traduce el enunciado a un sistema de ecuaciones y…
Determina dos números naturales sabiendo que su suma es $10$ y que la suma de sus cuadrados es $58$. Para ello, traduce el enunciado a un sistema de ecuaciones y resuélvelo por sustitución.
La diferencia entre dos números es $2$ y su producto es $15$. Calcula dichos números planteando un sistema de ecuaciones.
La diferencia entre dos números es $2$ y su producto es $15$. Calcula dichos números planteando un sistema de ecuaciones.
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $5$ cm. Si sabemos que un cateto es $1$ cm más largo que el otro, ¿cuánto miden los dos catetos?
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $5$ cm. Si sabemos que un cateto es $1$ cm más largo que el otro, ¿cuánto miden los dos catetos?
Calcula dos números naturales sabiendo que su diferencia es igual a $4$ y que la suma de sus cuadrados es $106$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales y…
Calcula dos números naturales sabiendo que su diferencia es igual a $4$ y que la suma de sus cuadrados es $106$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales y resuélvelo utilizando el método de sustitución.
El área de un jardín rectangular es de $180 \text{ m}^2$. Si se aumenta su base en $2 \text{ metros}$ y se disminuye su altura en $3 \text{ metros}$, el área resultante…
El área de un jardín rectangular es de $180 \text{ m}^2$. Si se aumenta su base en $2 \text{ metros}$ y se disminuye su altura en $3 \text{ metros}$, el área resultante sigue siendo de $180 \text{ m}^2$. Calcula las dimensiones originales (base y altura) del jardín.
Calcula las dimensiones de un jardín rectangular sabiendo que su diagonal mide exactamente $\sqrt{113}$ metros y que, si aumentásemos su base en 2 metros y…
Calcula las dimensiones de un jardín rectangular sabiendo que su diagonal mide exactamente $\sqrt{113}$ metros y que, si aumentásemos su base en 2 metros y disminuyésemos su altura en 1 metro, el área total no variaría. Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones correspondiente.
Se desea construir un marco de madera para un espejo rectangular de modo que el área total (espejo más marco) sea de $4000 \text{ cm}^2$. El espejo tiene una superficie…
Se desea construir un marco de madera para un espejo rectangular de modo que el área total (espejo más marco) sea de $4000 \text{ cm}^2$. El espejo tiene una superficie de $2800 \text{ cm}^2$. Si el marco tiene un ancho constante de $5 \text{ cm}$ en todos sus lados, calcula las dimensiones exteriores del marco (largo y ancho totales).
Otros sistemas: producto, fracciones y cambio de variable
Fracciones algebraicas
Sumá las fracciones y pasá a una ecuación polinómica. En $\frac1x+\frac1y=\frac56$ con $x+y=5$: $\frac{x+y}{xy}=\frac56$, así que $\frac5{xy}=\frac56$ y $xy=6$. Con $x+y=5$ y $xy=6$ salen $x=2, y=3$ o $x=3, y=2$. Descartá los valores que anulan un denominador.
A veces las fracciones son una la inversa de la otra. Entonces conviene llamar $t$ a una de ellas: si $t=\frac ab$, la otra es $\frac1t$.
Exponenciales
Un cambio de variable las vuelve algebraicas. En $2^x+2^y=10$, $2^{x-y}=4$: la segunda dice $x-y=2$, entonces $2^x=4\cdot2^y$. Con $u=2^y$: $4u+u=10$, $u=2$, o sea $y=1$ y $x=3$. Siempre es $2^y>0$: descartá lo que dé negativo.
Logarítmicas
Aplicá propiedades: $\log x+\log y=\log 6$ equivale a $xy=6$ (con $x,y>0$). Junto con $x-2y=1$: $x=1+2y$, $2y^2+y-6=0$, $y=\frac32$ o $y=-2$. Solo sirve $y=\frac32$, $x=4$.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método que consideres más apropiado (sustitución, igualación o reducción):…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método que consideres más apropiado (sustitución, igualación o reducción):
$\begin{cases} x \cdot y = 12 \\ (x + 2)(y - 1) = 12 \end{cases}$
Un estudio biológico analiza la interacción de dos poblaciones de microorganismos en un laboratorio. El número de individuos de cada población, $x$ e $y$, debe…
Un estudio biológico analiza la interacción de dos poblaciones de microorganismos en un laboratorio. El número de individuos de cada población, $x$ e $y$, debe satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:
$\begin{cases} 2^x + 2^y = 10 \\ 2^{x-y} = 4 \end{cases}$
Determina los valores de $x$ e $y$ aplicando un cambio de variable si es necesario.
Dos inversores depositaron sus ahorros en diferentes criptomonedas. La relación entre sus ganancias mensuales ($x$ e $y$, expresadas en miles de pesos) está dada por un…
Dos inversores depositaron sus ahorros en diferentes criptomonedas. La relación entre sus ganancias mensuales ($x$ e $y$, expresadas en miles de pesos) está dada por un sistema logarítmico:
$\begin{cases} \log(x) + \log(y) = \log(6) \\ x - 2y = 1 \end{cases}$
Calculá cuánto ganó cada inversor este mes sabiendo que las ganancias deben ser valores positivos.
Resuelve el sistema de ecuaciones con fracciones algebraicas, realizando las transformaciones necesarias para obtener una ecuación polinómica:…
Resuelve el sistema de ecuaciones con fracciones algebraicas, realizando las transformaciones necesarias para obtener una ecuación polinómica:
$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{6} \\ x + y = 5 \end{cases}$
Una tienda online de remeras personalizadas determinó que el beneficio neto diario $B$ (en cientos de pesos) y la cantidad de remeras vendidas $x$ están relacionados por…
Una tienda online de remeras personalizadas determinó que el beneficio neto diario $B$ (en cientos de pesos) y la cantidad de remeras vendidas $x$ están relacionados por dos modelos de optimización diferentes. El primer modelo sugiere que $B + x^2 = 10x + 11$, mientras que el segundo modelo, basado en costos variables, establece que $B - 2x = -5$. Calculá los valores de ventas $x$ para los cuales ambos modelos coinciden en el mismo beneficio neto.
En un laboratorio de biotecnología, el crecimiento de dos poblaciones de bacterias sigue patrones distintos. La población $A$ se rige por la expresión $2^x - 3^y = 7$,…
En un laboratorio de biotecnología, el crecimiento de dos poblaciones de bacterias sigue patrones distintos. La población $A$ se rige por la expresión $2^x - 3^y = 7$, mientras que la relación de sus densidades en un momento crítico del experimento cumple que $2^{x+1} + 3^{y+1} = 59$. Halla los valores de $x$ e $y$ resolviendo el sistema mediante un cambio de variable adecuado.
Halla dos números enteros tales que la diferencia de sus cuadrados sea 56 y que la suma de sus inversos sea igual a $\frac{1}{45}$ multiplicado por la suma de los…
Halla dos números enteros tales que la diferencia de sus cuadrados sea 56 y que la suma de sus inversos sea igual a $\frac{1}{45}$ multiplicado por la suma de los números originales.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales que involucra términos racionales y cuadráticos:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales que involucra términos racionales y cuadráticos:
$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{10}{3} \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}$
Nota: Realiza un cambio de variable para la primera ecuación para simplificar el proceso.