Funciones exponencial y logarítmica

Asocia cada fenómeno con el tipo de modelo exponencial que mejor lo describe, creciente (base mayor que $1$) o decreciente (base entre $0$ y $1$), y justifica la elección:

• El enfriamiento de una taza de café hasta alcanzar la temperatura ambiente.

• El capital de una cuenta de ahorro con interés compuesto.

• La radiactividad restante de una fuente médica con el paso de los años.

• El número de personas alcanzadas por una cadena solidaria en la que cada persona avisa a tres amigos.

El valor de un auto sigue el modelo $V(t) = 24\,000\,000 \cdot 0,85^{t}$, con $t$ en años, representado en la figura.

1. a) ¿Cuál era el precio del auto nuevo?

1. b) Calculá el valor a los $5$ años (el marcado con «?» en la figura), redondeando a los pesos.

1. c) ¿Pierde el auto el mismo valor cada año? Calculá lo que pierde durante el primer año y lo que pierde entre el cuarto y el quinto año, y explicá la diferencia.

La gráfica muestra el porcentaje de carbono-14 que queda en una muestra a lo largo del tiempo.

1. a) ¿Qué porcentaje queda tras $5.730$ años? ¿Cómo se llama ese periodo?

1. b) Lee en la gráfica el porcentaje que queda a los $17.190$ años (marcado con «?») y compruébalo calculando cuántos periodos de semidesintegración han transcurrido.

1. c) Acota entre qué dos marcas del eje de tiempos estará el instante en que quede menos del $1 \%$ y justifícalo.

La gráfica de una función exponencial $f(x) = a^{x}$ pasa por el punto $(2, 9)$.

1. a) ¿Cuál es el valor de la base $a$?

1. b) Con la base hallada, calcula $f(3)$ y $f(-1)$.

1. c) ¿Por qué punto pasa la gráfica sea cual sea el valor de $a$?

Sean $f(x) = 3^{x}$ y $g(x) = \log_{2} x$. Calcula, sin calculadora:

1. a) $f(-2)$, $f(0)$ y $f(3)$

1. b) $g(8)$, $g(1)$ y $g\left(\frac{1}{2}\right)$

Considera la función exponencial $f(x) = 2^{x}$.

1. a) Copia y completa la tabla de valores de la función para $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.

1. b) ¿Cuáles son el dominio y el recorrido de la función? ¿Es creciente o decreciente?

1. c) ¿Qué recta es su asíntota? ¿La toca la gráfica en algún punto? Razona la respuesta.

Sin representarlas, indica cuáles de estas funciones exponenciales son crecientes y cuáles decrecientes, justificando la respuesta a partir de la base:

1. a) $f(x) = 3^{x}$

1. b) $g(x) = 0,5^{x}$

1. c) $h(x) = e^{x}$

1. d) $i(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^{x}$

1. e) $j(x) = 1,03^{x}$

En la figura aparecen las gráficas de $f(x) = 3^{x}$ y $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$.

1. a) ¿En qué punto se cortan ambas? Justifica que toda exponencial de la forma $h(x) = a^{x}$ pasa por ese mismo punto.

1. b) ¿Respecto de qué eje son simétricas las dos gráficas? Compruébalo calculando $f(2)$ y $g(-2)$.

1. c) Sin representarla, describe la gráfica de $k(x) = 0,7^{x}$: crecimiento, asíntota y posición respecto a las dos anteriores.

Al representar juntas las funciones $f(x) = 2^{x}$ y $g(x) = 2^{-x}$, una alumna afirma: «son simétricas respecto del eje $X$, porque una es la exponencial y la otra su opuesta». Valora razonadamente la afirmación: indica si es verdadera o falsa, haz un esquema de ambas gráficas, explica respecto de qué eje son realmente simétricas y confírmalo comparando $f(2)$ con $g(-2)$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Toda función exponencial $f(x) = a^{x}$ (con $a > 0$ y $a \neq 1$) pasa por un mismo punto, y toda función logarítmica $g(x) = \log_{a} x$ pasa por otro. ¿Cuáles son esos puntos? Demuéstralos calculando $f(0)$ y $g(1)$ para una base cualquiera.

Indica la ecuación de la asíntota de cada función y di de qué tipo es (horizontal o vertical):

1. a) $f(x) = 2^{x}$

1. b) $g(x) = 5^{-x}$

1. c) $h(x) = \log_{3} x$

1. d) $i(x) = \ln x$

La figura muestra la gráfica de la función logarítmica $f(x) = \log_{2} x$. Cada cuadrito de la cuadrícula mide 1 unidad en ambos ejes.

1. a) Indica su dominio y su recorrido.

1. b) ¿Cuál es su asíntota y de qué tipo es?

1. c) Calcula $f(16)$ y $f\left(\frac{1}{4}\right)$ a partir de la definición de logaritmo y comprueba que encajan con la gráfica.

1. d) ¿Tiene sentido calcular $f(-2)$? ¿Por qué?

Calcula el dominio de las siguientes funciones:

1. a) $f(x) = \log(x - 3)$

1. b) $g(x) = 2^{x - 1}$

1. c) $h(x) = \ln(10 - x)$

1. d) $i(x) = e^{x} + 1$

Indica el recorrido de las siguientes funciones, razonándolo a partir de las gráficas de $f(x) = 2^{x}$ y de $g(x) = \log x$:

1. a) $f(x) = 2^{x}$

1. b) $g(x) = 2^{x} - 1$

1. c) $h(x) = \log x$

1. d) $i(x) = \log x + 2$

A partir de la gráfica de $f(x) = 2^{x}$ (en azul) se ha dibujado la de $g(x) = 2^{x} + 3$ (en verde), como se aprecia en la figura.

1. a) ¿Qué transformación relaciona ambas gráficas?

1. b) ¿Cuál es la asíntota horizontal de $g$? ¿Y su recorrido?

1. c) Escribe la expresión de la función cuya gráfica es la de $f$ desplazada $2$ unidades a la izquierda, e indica su asíntota.

La figura muestra la gráfica de $f(x) = \log_{2}(x + 2)$.

1. a) ¿Cuál es el dominio de $f$? Relaciónalo con la zona sombreada y con la asíntota de la gráfica.

1. b) ¿Cuál es su recorrido?

1. c) Determina, sin representarlas, el dominio de estas funciones: $g(x) = \log_{2}(x - 5)$, $h(x) = \ln(4 - x)$, $i(x) = \log(2x + 8)$.

Determina el dominio de definición de las siguientes funciones:

1. a) $f(x) = 2^{x - 1}$

1. b) $g(x) = e^{\frac{1}{x}}$

1. c) $h(x) = \ln(x^{2} - 4)$

1. d) $i(x) = \log_{3} x + \sqrt{x + 1}$

1. e) $j(x) = \frac{1}{1 - 2^{x}}$

La población de una ciudad costera evoluciona según el modelo $P(t) = 180.000 \cdot 1,015^{t}$, donde $t$ son los años transcurridos desde 2025.

1. a) ¿Qué población se espera en 2035? Redondea a las centenas.

1. b) ¿En qué año superará la ciudad los $250.000$ habitantes? Plantea la inecuación y resuélvela con logaritmos.

1. c) Explica qué hipótesis sobre el crecimiento esconde este modelo y razona por qué podría dejar de ser realista a muy largo plazo.

El carbono-14 se desintegra de manera que la cantidad que queda en una muestra sigue el modelo $N(t) = N_0 \cdot 0,5^{t/5.730}$, donde $t$ es el tiempo en años y $N_0$ la cantidad inicial. Un equipo de arqueología analiza un fragmento de hueso hallado en una cueva.

1. a) ¿Qué porcentaje de carbono-14 quedará al cabo de $2.000$ años? Redondea a las décimas.

1. b) Si el fragmento conserva el $38 \%$ del carbono-14 original, plantea la ecuación que permite hallar su antigüedad y resuélvela usando logaritmos.

1. c) Un titular de prensa afirma: «pasados $11.460$ años ya no queda carbono-14, porque se han cumplido dos periodos de semidesintegración». Explica por qué es falso y calcula el porcentaje real que queda en ese instante.

La concentración de un medicamento en sangre, en mg/l, evoluciona según el modelo $C(t) = 120 \cdot 0,82^{t}$, donde $t$ son las horas transcurridas desde su administración.

1. a) ¿Qué concentración había en el momento de la inyección? ¿Y a las $6$ horas? Redondea a las décimas.

1. b) El fármaco deja de ser eficaz cuando la concentración baja de $30$ mg/l. Plantea la inecuación correspondiente y calcula, con logaritmos, cuántas horas dura el efecto.

1. c) Si un paciente recibe una segunda dosis idéntica $12$ horas después de la primera, ¿qué concentración total tendrá en sangre justo después de la nueva inyección, suponiendo que las concentraciones se suman?

Con una inflación anual del $3 \%$, el poder adquisitivo de $\$1\,000\,000$ guardados «debajo del colchón» evoluciona según $V(t) = 1\,000\,000 \cdot 1,03^{-t}$, donde $t$ son los años transcurridos.

1. a) Calculá el poder adquisitivo al cabo de $5$ años, redondeado a los centavos.

1. b) ¿Cuántos años deben pasar para que ese dinero «valga» la mitad? Planteá la ecuación y resolvela con logaritmos.

1. c) Representá aproximadamente la función para $t \in [0, 30]$ (escala sugerida: $1$ cm $= 5$ años en el eje horizontal y $1$ cm $= \$100\,000$ en el vertical) y marcá en ella los resultados de los ítems anteriores.

El valor de un auto eléctrico nuevo de $\$32\,000\,000$ sigue el modelo exponencial $V(t) = 32\,000\,000 \cdot 0,85^{t}$, con $t$ en años.

1. a) ¿Cuánto valdrá a los $4$ años? Redondeá a los pesos.

1. b) Una concesionaria ofrece recomprarlo cuando su valor baje de $\$12\,000\,000$. ¿Cuánto tiempo pasará hasta entonces? Usá logaritmos.

1. c) Otro vendedor usa un modelo lineal según el cual el auto pierde $\$4\,500\,000$ de valor cada año. Compará el valor que asigna cada modelo a los $4$ años y explicá cuál de los dos beneficia al propietario que quiera venderlo a mediano plazo.

Dos analistas de una aplicación de música discuten cómo crecerá el número de usuarios. El primero propone un modelo lineal y el segundo, uno exponencial; ambos modelos parten de $100$ usuarios en la semana $0$ y están representados en la figura.

1. a) La recta pasa por los puntos $(0, 100)$ y $(10, 1.000)$: escribe su ecuación.

1. b) La curva exponencial tiene la forma $u(t) = 100 \cdot a^{t}$ y pasa por el punto $(5, 420)$: calcula la base $a$ usando logaritmos y redondea a las milésimas.

1. c) Con los dos modelos completos, determina entre qué dos semanas consecutivas la previsión exponencial supera a la lineal, compruébalo con la figura y explica qué diferencia hay entre ambas previsiones a largo plazo.

El nivel de intensidad sonora se mide en decibelios (dB) con la escala logarítmica $L = 10 \cdot \log \frac{I}{I_0}$, donde $I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^{2}$ es el umbral de audición.

1. a) Calcula el nivel, en dB, de una conversación normal cuya intensidad es $I = 10^{-6}\ \text{W/m}^{2}$.

1. b) El umbral de dolor está en $130$ dB. ¿Cuál es la intensidad correspondiente? Exprésala como potencia de $10$.

1. c) ¿Cuántas veces más intenso es el sonido de un concierto de $110$ dB que el de una biblioteca de $40$ dB? Explica por qué, aunque la diferencia sea de «solo» $70$ dB, la intensidad se multiplica por $10^{7}$.