Sistemas de ecuaciones
En una cafetería, Valentina paga $\$5.000$ por 2 cafés y 1 jugo. Thiago paga $\$5.500$ por 1 café y 2 jugos. Hay dos incógnitas (el precio del café y el del jugo) y dos condiciones: eso es un sistema. En Economía y Administración los vas a plantear todo el tiempo, con precios, cantidades, costos e ingresos. Por eso conviene saber resolverlos y también decir cuántas soluciones tienen antes de calcular. Al final de la página, cerramos la cafetería.
Qué es un sistema y cómo se clasifica
Cada ecuación lineal con dos incógnitas es una recta en el plano. Dos rectas pueden cortarse en un punto, coincidir o ser paralelas. No hay otra posibilidad.
Cuando hay un parámetro, el truco sirve para discutir. Se busca el valor que iguala las dos primeras razones y después se mira la tercera.
Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones sin resolverlos, simplemente comparando la proporcionalidad de sus coeficientes y términos independientes: a)…
Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones sin resolverlos, simplemente comparando la proporcionalidad de sus coeficientes y términos independientes:
- a) $\begin{cases} 2x - 4y = 6 \\ -x + 2y = -3 \end{cases}$
- b) $\begin{cases} 5x + y = 10 \\ 5x + y = 15 \end{cases}$
Observa la representación gráfica de las dos rectas que forman el siguiente sistema de ecuaciones. Determina, sin realizar cálculos algebraicos, cuál es la solución del…
Observa la representación gráfica de las dos rectas que forman el siguiente sistema de ecuaciones. Determina, sin realizar cálculos algebraicos, cuál es la solución del sistema y comprueba si el sistema es compatible determinado.
$\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$
Discute la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones en función del valor del parámetro $k$. ¿Para qué valor de $k$ el sistema es compatible indeterminado…
Discute la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones en función del valor del parámetro $k$. ¿Para qué valor de $k$ el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones)?
$$ \begin{cases} 2x - 4y = 6 \\ x + ky = 3 \end{cases} $$Sustitución, igualación y reducción
Estos métodos ya los conocés. Sirven porque cada paso (sustituir una expresión por otra igual, o sumar dos igualdades miembro a miembro) produce ecuaciones equivalentes, con las mismas soluciones.
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Sustitución: despejás una incógnita en una ecuación y reemplazás en la otra.
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Igualación: despejás la misma incógnita en las dos y igualás.
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Reducción (sumas y restas): multiplicás para que una incógnita tenga coeficientes opuestos o iguales, y sumás o restás.
Cuando hay coeficientes fraccionarios, primero se multiplica cada ecuación por el denominador común y se eliminan los paréntesis. Después se resuelve como siempre.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método que consideres más adecuado (sustitución, igualación o reducción) e indica si se trata de un sistema…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método que consideres más adecuado (sustitución, igualación o reducción) e indica si se trata de un sistema compatible determinado (SCD), compatible indeterminado (SCI) o incompatible (SIN):
$\begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ x + 4y = 11 \end{cases}$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios simplificando previamente las expresiones: $$ \begin{cases} \dfrac{x+2}{3} -…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios simplificando previamente las expresiones:
$$ \begin{cases} \dfrac{x+2}{3} - \dfrac{y-1}{4} = \dfrac{5}{6} \\ 2(x-1) + 3y = 10 \end{cases} $$Problemas: del enunciado al sistema
Plantear bien es más de la mitad del trabajo. Seguí estos pasos:
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Nombrá las incógnitas con lo que representan (precio del café, largo, cantidad de entradas).
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Escribí una ecuación por cada condición del enunciado.
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Resolvé y respondé con unidades y en palabras.
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Verificá en el enunciado original, no solo en tus ecuaciones.
Dos amigos, Lucía y Marcos, fueron a una cafetería. Lucía pagó $5\,500$ pesos por 2 cafés y 1 jugo de naranja. Marcos pagó $6\,000$ pesos por 1 café y 2 jugos de…
Dos amigos, Lucía y Marcos, fueron a una cafetería. Lucía pagó $5\,500$ pesos por 2 cafés y 1 jugo de naranja. Marcos pagó $6\,000$ pesos por 1 café y 2 jugos de naranja. Planteá un sistema de ecuaciones y calculá el precio de un café y el de un jugo de naranja.
El perímetro de un recinto rectangular destinado a eventos es de $50$ metros. Se sabe que el largo del recinto mide $5$ metros más que el ancho. Calcula las dimensiones…
El perímetro de un recinto rectangular destinado a eventos es de $50$ metros. Se sabe que el largo del recinto mide $5$ metros más que el ancho. Calcula las dimensiones del recinto planteando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($x$ para el largo e $y$ para el ancho).
Para la organización de un viaje de fin de curso, los alumnos de 1º de Bachillerato venden dos tipos de camisetas: el modelo "Eco" a $12\,000$ pesos y el modelo…
Para la organización de un viaje de fin de curso, los alumnos de 1º de Bachillerato venden dos tipos de camisetas: el modelo "Eco" a $12\,000$ pesos y el modelo "Premium" a $18\,000$ pesos. Al finalizar la semana han vendido un total de $150$ camisetas y han recaudado $2\,220\,000$ pesos. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula cuántas camisetas de cada clase han vendido.
Sistemas no lineales: recta y parábola
Si alguna ecuación tiene $x^2$, $xy$ o una fracción con incógnitas, el sistema es no lineal. La estrategia es la misma: despejá en la ecuación más sencilla (la lineal, si la hay) y sustituí en la otra. Casi siempre aparece una ecuación cuadrática, y puede dar dos soluciones, una o ninguna. Eso corresponde a los puntos de corte de las gráficas.
Variantes frecuentes
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Con $xy$ o $\frac{k}{x}$ (oferta y demanda, por ejemplo $y=\frac{40}{x}$ e $y=x-3$): igualá y multiplicá por $x$ para llegar a una cuadrática. Recordá que $x\neq0$.
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Comprobación obligatoria: descartá toda solución que anule un denominador. En un problema, descartá también las que no tengan sentido (longitudes, precios o cantidades negativas).
Un sistema no lineal es aquel donde al menos una de las ecuaciones no es de primer grado. Encuentra los puntos de corte entre la recta y la parábola dadas por el…
Un sistema no lineal es aquel donde al menos una de las ecuaciones no es de primer grado. Encuentra los puntos de corte entre la recta y la parábola dadas por el siguiente sistema:
$\begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 2 \end{cases}$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales por el método de sustitución: $$ \begin{cases} x \cdot y = 12 \\ (x-1)(y+2) = 15 \end{cases} $$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales por el método de sustitución:
$$ \begin{cases} x \cdot y = 12 \\ (x-1)(y+2) = 15 \end{cases} $$Se desea vallar una parcela rectangular destinada a huertos urbanos escolares. Sabemos que el perímetro total de la parcela es de $50$ metros y que su área es de $150$…
Se desea vallar una parcela rectangular destinada a huertos urbanos escolares. Sabemos que el perímetro total de la parcela es de $50$ metros y que su área es de $150$ $m^2$. Halla las dimensiones de la parcela planteando y resolviendo un sistema de ecuaciones no lineal.
Ampliación: circunferencia, diagonales y fracciones algebraicas
Cuando una ecuación es $x^2+y^2=r^2$ (circunferencia con centro en el origen), el método es el mismo.
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Con Pitágoras: si el enunciado habla de una diagonal $d$ de un rectángulo de lados $x$ e $y$, agregá la ecuación $x^2+y^2=d^2$. Cuidado: si $d$ viene dada como «$15$ más que $(x-y)$», es $d=(x-y)+15$ y hay que elevar al cuadrado esa expresión.
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Con fracciones algebraicas: reducí a común denominador y simplificá antes de sustituir. Por ejemplo, $\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y}=\frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{x^2-y^2}=\frac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2}$. Después, si otra ecuación da $x^2+y^2$, el sistema se simplifica mucho.
Un equipo de rescate de montaña utiliza una antena para localizar excursionistas. La señal de radio de la antena, situada en el origen de coordenadas, define un área…
Un equipo de rescate de montaña utiliza una antena para localizar excursionistas. La señal de radio de la antena, situada en el origen de coordenadas, define un área circular de alcance dada por la ecuación $x^2 + y^2 = 25$. Un helicóptero de rescate se desplaza siguiendo una trayectoria rectilínea descrita por la ecuación $y - x = 1$. La figura muestra el área de alcance y la trayectoria (cada cuadrado de la escala equivale a 1 unidad en ambos ejes). Calcula los puntos de corte donde el helicóptero entra y sale del radio de alcance de la antena resolviendo el sistema:
$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y - x = 1 \end{cases} $$Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales. Ten en cuenta que deberás simplificar las expresiones algebraicas antes de aplicar el método de sustitución y…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales. Ten en cuenta que deberás simplificar las expresiones algebraicas antes de aplicar el método de sustitución y comprobar la validez de todas las soluciones obtenidas (recuerda que los denominadores no pueden anularse, es decir, $x\neq y$ y $x\neq -y$):
$\begin{cases} \displaystyle \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{10}{3} \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}$
Un arquitecto diseña una zona de juegos rectangular para un centro escolar. El perímetro total del recinto es de $54$ metros. Por seguridad, se debe instalar una valla…
Un arquitecto diseña una zona de juegos rectangular para un centro escolar. El perímetro total del recinto es de $54$ metros. Por seguridad, se debe instalar una valla diagonal que divida el rectángulo en dos triángulos. Si la longitud de dicha diagonal es de $15$ metros más que la diferencia entre el largo y el ancho del rectángulo, calcula las dimensiones de la zona de juegos planteando un sistema de ecuaciones de segundo grado.
Dadas las funciones de oferta ($O$) y demanda ($D$) de un producto financiero en el mercado: $D(x) = \displaystyle \frac{40}{x}$ $O(x) = x - 3$ Donde $x$ es el precio…
Dadas las funciones de oferta ($O$) y demanda ($D$) de un producto financiero en el mercado:
$D(x) = \displaystyle \frac{40}{x}$
$O(x) = x - 3$
Donde $x$ es el precio del activo e $y$ es la cantidad de activos.
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Plantea el sistema de ecuaciones para encontrar el punto de equilibrio del mercado (donde la oferta iguala a la demanda).
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Resuelve el sistema analíticamente.
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¿Tiene sentido económico la solución con valor negativo? Justifica tu respuesta basándote en la naturaleza de las variables.
Ampliación: tres incógnitas y método de Gauss
Con tres incógnitas, cada ecuación es un plano. La idea del método de Gauss es transformar el sistema en uno escalonado equivalente, donde cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior, y resolverlo desde abajo hacia arriba (sustitución regresiva).
Sistemas con parámetro. Se escalona igual y se mira la última ecuación, que queda de la forma $(\ldots)\,z=\ldots$
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Si el coeficiente de $z$ no es cero, se despeja $z$: SCD (tres planos que se cortan en un punto).
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Si el coeficiente es $0$ y el término independiente también ($0=0$), esa ecuación sobra: SCI (planos que se cortan en una recta, o coincidentes).
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Si el coeficiente es $0$ y el término independiente no ($0=\text{número}\neq 0$): SIN (los planos no tienen un punto común).
En los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, a veces la estructura ya nos permite resolverlo de forma inmediata. Halla los valores de $x$, $y$ y $z$ en el…
En los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, a veces la estructura ya nos permite resolverlo de forma inmediata. Halla los valores de $x$, $y$ y $z$ en el siguiente sistema escalonado utilizando el método de sustitución regresiva (empezando por la última incógnita):
$\begin{cases} 2x + y - z = 5 \\ 3y + 2z = 8 \\ 4z = 4 \end{cases}$
Aplica el primer paso del método de Gauss para eliminar la incógnita $x$ de la segunda y tercera fila en el siguiente sistema. No es necesario que termines de…
Aplica el primer paso del método de Gauss para eliminar la incógnita $x$ de la segunda y tercera fila en el siguiente sistema. No es necesario que termines de resolverlo, solo escribe el sistema resultante tras realizar las operaciones elementales pertinentes:
$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + 3z = 9 \\ -x + 2y + z = 3 \end{cases}$
Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando el método de Gauss: $$ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + 3z = 9 \\ -x + 2y + z = 6…
Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando el método de Gauss:
$$ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + 3z = 9 \\ -x + 2y + z = 6 \end{cases} $$En una cafetería del centro, tres amigos piden diferentes combinaciones de productos. El primero toma un café, un refresco y un trozo de tarta por $7\,500$ pesos. El…
En una cafetería del centro, tres amigos piden diferentes combinaciones de productos.
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El primero toma un café, un refresco y un trozo de tarta por $7\,500$ pesos.
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El segundo toma dos cafés y un refresco por $6\,000$ pesos.
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El tercero toma un café y dos trozos de tarta por $8\,500$ pesos.
Calcula el precio de cada producto planteando un sistema de tres ecuaciones y resolviéndolo mediante el método de Gauss.
Una gestora de fondos de inversión para jóvenes emprendedores reparte un capital de $300.000$ pesos entre tres proyectos tecnológicos: IA aplicada, Energías Verdes y…
Una gestora de fondos de inversión para jóvenes emprendedores reparte un capital de $300.000$ pesos entre tres proyectos tecnológicos: IA aplicada, Energías Verdes y Ciberseguridad.
Se sabe que:
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El beneficio anual total ha sido de $23.500$ pesos.
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La rentabilidad de cada proyecto fue del $5\%$ en IA, el $10\%$ en Energías Verdes y el $8\%$ en Ciberseguridad.
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El capital invertido en Ciberseguridad es igual a la suma del capital invertido en IA y la mitad de lo invertido en Energías Verdes.
Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y utiliza el método de Gauss para calcular cuánto dinero se destinó a cada proyecto.
Un laboratorio de química orgánica quiere preparar $10$ litros de una solución especial con una concentración de alcohol del $35\%$. Para ello, dispone de tres mezclas…
Un laboratorio de química orgánica quiere preparar $10$ litros de una solución especial con una concentración de alcohol del $35\%$. Para ello, dispone de tres mezclas diferentes:
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Mezcla A: $20\%$ de alcohol.
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Mezcla B: $30\%$ de alcohol.
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Mezcla C: $50\%$ de alcohol.
El director del laboratorio impone la condición de que el volumen utilizado de la mezcla C debe ser el doble del volumen utilizado de la mezcla A. ¿Cuántos litros de cada mezcla se necesitan para obtener la combinación deseada?
Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro real $k$ utilizando el método de Gauss:…
Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro real $k$ utilizando el método de Gauss:
$\begin{cases} x + y + kz = 1 \\ x + ky + z = 1 \\ kx + y + z = 1 \end{cases}$
Determina para qué valores de $k$ el sistema es Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible. Explica la interpretación geométrica de cada caso (planos que se cortan en un punto, en una recta o que no tienen puntos comunes).
Ampliación: sistemas con logaritmos y exponenciales
A veces el sistema no es lineal en $x$ e $y$, pero sí lo es en una expresión de ellas. Con un cambio de variable se vuelve lineal.
Logaritmos. Con las propiedades $\log(a\cdot b)=\log a+\log b$, $\log\frac ab=\log a-\log b$ y $\log a^n=n\log a$, definís $u=\log x$ y $v=\log y$.
Exponenciales. Con $a^{x+1}=a\cdot a^x$ y $a^{x-1}=\frac{a^x}{a}$ escribís todo en función de $u=a^x$ y $v=b^y$.
Halla los valores de $x$ e $y$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas. Recuerda aplicar las propiedades de los logaritmos para transformar el…
Halla los valores de $x$ e $y$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas. Recuerda aplicar las propiedades de los logaritmos para transformar el sistema en uno algebraico y comprueba que las soluciones no invaliden los argumentos de los logaritmos originales:
$\begin{cases} \log(x) + \log(y) = 2 \\ \log(x^2) - \log(y) = 1 \end{cases}$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales mediante un cambio de variable adecuado ($u = 3^x$, $v = 2^y$):…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales mediante un cambio de variable adecuado ($u = 3^x$, $v = 2^y$):
$\begin{cases} 3^{x+1} - 2^{y+2} = 1 \\ 2 \cdot 3^x + 2^{y-1} = 10 \end{cases}$
Expresa los valores finales de $x$ e $y$ utilizando logaritmos si no resultan números enteros.
Resumen
Volvamos a la cafetería: con $c=1500$ y $j=2000$, Valentina paga $2\cdot1500+2000=\$5.000$ y Thiago $1500+2\cdot2000=\$5.500$. El sistema de dos incógnitas y dos condiciones se resuelve y se verifica con los datos del enunciado.