Asíntotas y ramas infinitas en funciones racionales
Una cuenta nueva de un club de fútbol en las redes crece rápido al principio, pero ¿puede seguir sumando seguidores para siempre? Antes de dibujar una función racional conviene hacerse dos preguntas: ¿hacia dónde "escapa" la gráfica cuando $x$ se acerca a un valor donde la función no está definida?, ¿y hacia dónde va cuando $x$ se aleja muchísimo? Las respuestas son las asíntotas: rectas a las que la curva se aproxima cada vez más. Al final de la página vamos a responder la pregunta de los seguidores.
Comparar grados: el límite en el infinito
El comportamiento de $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ cuando $x\to\pm\infty$ depende de comparar el grado de $P$ con el de $Q$: los términos de menor grado se vuelven insignificantes.
En un polinomio pasa lo mismo: manda el término de mayor grado. Por ejemplo, $\lim_{x\to-\infty}(-x^2+3x-1)=-\infty$, porque $-x^2$ es negativo tanto para $x$ muy grande como para $x$ muy negativo.
Con raíces se razona igual, mirando qué "grado" aporta cada una: $\sqrt{4x^2+1}$ se comporta como $\sqrt{4x^2}=2x$ para $x$ grande y positivo, es decir, como una expresión de grado $1$. Entonces $\dfrac{\sqrt{4x^2+1}}{x-5}$ tiende a $\dfrac{2}{1}=2$ cuando $x\to+\infty$. (Para $x\to-\infty$ hay que tener un cuidado extra: lo vemos más adelante.)
Calcula los siguientes límites analizando el término de mayor grado de cada polinomio: a) $\lim_{x \to +\infty} (2x^3 - 5x^2 + 10)$ b)…
Calcula los siguientes límites analizando el término de mayor grado de cada polinomio:
- a) $\lim_{x \to +\infty} (2x^3 - 5x^2 + 10)$
- b) $\lim_{x \to -\infty} (-x^2 + 3x - 1)$
- c) $\lim_{x \to +\infty} (4 - x^4)$
Calcula los límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$ de las siguientes funciones racionales comparando los grados del numerador y del denominador: a)…
Calcula los límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$ de las siguientes funciones racionales comparando los grados del numerador y del denominador:
- a) $f(x) = \frac{3x^2 - 5}{x^3 + 2x}$
- b) $g(x) = \frac{x^2 + 1}{4x^2 - 3x}$
- c) $h(x) = \frac{5x^3 + 2}{x^2 - 7}$
Calcula los siguientes límites de funciones con raíces: a) $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 3x}$ b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x - 5}$ c)…
Calcula los siguientes límites de funciones con raíces:
- a) $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 3x}$
- b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x - 5}$
- c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x+2}{\sqrt{x^3 + 1}}$
Asíntota horizontal
Cuando el límite en el infinito es un número finito $L$, la recta $y=L$ es la asíntota horizontal: el valor al que se acerca la magnitud a largo plazo.
Dada la siguiente gráfica de la función $f(x)$, determina el valor de los límites en el infinito e indica la ecuación de su asíntota horizontal: a)…
Dada la siguiente gráfica de la función $f(x)$, determina el valor de los límites en el infinito e indica la ecuación de su asíntota horizontal:
- a) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$
- b) $\lim_{x \to -\infty} f(x)$
Halla la ecuación de la asíntota horizontal de las siguientes funciones. Si no tiene, indícalo razonadamente: a) $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$ b)…
Halla la ecuación de la asíntota horizontal de las siguientes funciones. Si no tiene, indícalo razonadamente:
- a) $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$
- b) $g(x) = \frac{4}{x^2 - 1}$
- c) $h(x) = \frac{x^2 + 5}{2x - 3}$
El número de usuarios de una red social educativa, medido en miles, sigue la evolución temporal $t$ (en meses) según la función: $$N(t) = \frac{20t + 100}{0,5t + 2}$$ 1.…
El número de usuarios de una red social educativa, medido en miles, sigue la evolución temporal $t$ (en meses) según la función:
$$N(t) = \frac{20t + 100}{0,5t + 2}$$-
Calcula el número de usuarios iniciales (en $t=0$).
-
Determina a cuánto tenderá el número de usuarios a largo plazo (cuando $t \to +\infty$).
-
¿Existe algún valor de $t$ para el cual la función no sea continua? Razona si dicho valor tiene sentido en el contexto del problema.
Asíntota vertical
Las asíntotas verticales aparecen en los valores que anulan el denominador (y no el numerador): ahí la función "se dispara" hacia $+\infty$ o $-\infty$.
Para saber el signo de cada lateral, analizá el signo del numerador y del denominador un poquito a la izquierda y un poquito a la derecha de $x_0$.
Para la función $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$, completa la siguiente tabla de valores para investigar su comportamiento cuando $x$ se acerca a $0$. | $x$ | $-0,1$ | $-0,01$ |…
Para la función $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$, completa la siguiente tabla de valores para investigar su comportamiento cuando $x$ se acerca a $0$.
| $x$ | $-0,1$ | $-0,01$ | $0$ | $0,01$ | $0,1$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | ? | ? | No def. | ? | ? |
A partir de la tabla, deduce el valor de los límites laterales $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. ¿Existe el límite global en $x=0$?
Dada la función $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 4}$: a) Indica cuál es su dominio de definición. b) Calcula los límites laterales en el punto donde la función no está…
Dada la función $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 4}$:
- a) Indica cuál es su dominio de definición.
- b) Calcula los límites laterales en el punto donde la función no está definida: $\lim_{x \to 4^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 4^+} f(x)$.
- c) ¿Qué tipo de rama infinita presenta la función en $x = 4$?
Dada la función racional $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - x - 2}$: 1. Determina su dominio de definición. 2. Calcula los límites laterales en los puntos donde la función no…
Dada la función racional $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - x - 2}$:
-
Determina su dominio de definición.
-
Calcula los límites laterales en los puntos donde la función no está definida.
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Especifica cuáles de esos puntos corresponden a una asíntota vertical y cuáles a una discontinuidad evitable (punto desplazado).
Asíntota oblicua
Cuando el numerador tiene exactamente un grado más que el denominador, la función no se acerca a una recta horizontal sino a una recta inclinada.
También se pueden calcular $m=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ y $n=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-mx\big)$. Es útil cuando la función no es una fracción de polinomios.
Estudia el comportamiento en el infinito de la función $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}$ calculando: a) La existencia de una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$. b)…
Estudia el comportamiento en el infinito de la función $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}$ calculando:
- a) La existencia de una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$.
- b) La posición relativa de la curva respecto a dicha asíntota cuando $x \to +\infty$ (indica si la función va por encima o por debajo de la recta).
Estudia las ramas infinitas de la función $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$. Al no tener asíntotas horizontales ni verticales, determina la ecuación de su asíntota oblicua y…
Estudia las ramas infinitas de la función $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$. Al no tener asíntotas horizontales ni verticales, determina la ecuación de su asíntota oblicua y representa esquemáticamente su comportamiento en el infinito mediante el siguiente gráfico de referencia:
Dada la función racional $f(x) = \frac{ax^2 + bx + 1}{2x - 4}$, calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ sabiendo que la función tiene una asíntota oblicua cuya…
Dada la función racional $f(x) = \frac{ax^2 + bx + 1}{2x - 4}$, calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ sabiendo que la función tiene una asíntota oblicua cuya ecuación es $y = 2x + 5$. Una vez hallados los parámetros, estudia si la gráfica de la función se encuentra por encima o por debajo de dicha asíntota cuando $x \to +\infty$.
Raíces y exponenciales en el infinito
No todas las funciones son cocientes de polinomios, pero el infinito se estudia con la misma idea: ver qué término manda.
Exponenciales
Recordá cómo se comporta $b^x$:
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Si $b>1$ (por ejemplo, $3^x$): cuando $x\to+\infty$, $b^x\to+\infty$; cuando $x\to-\infty$, $b^x\to0$.
-
Si $0
Con eso, un cociente de exponenciales se resuelve reemplazando los términos que tienden a $0$, o dividiendo por la exponencial que manda.
Raíces
Cuidado con $\sqrt{x^2}$: no es $x$, es $|x|$. Para $x$ positivo vale $x$, pero para $x$ negativo vale $-x$.
Cuando aparece una resta de raíces o una raíz menos un término ($\infty-\infty$), multiplicá y dividí por el conjugado.
Para $x\to-\infty$ en una función con raíz, la rama puede ser oblicua. Calculá $m=\lim\frac{f(x)}{x}$ y $n=\lim\big(f(x)-mx\big)$ usando siempre $\sqrt{x^2}=-x$.
Calcula los siguientes límites y determina, a partir de ellos, las asíntotas horizontales de cada función: 1. $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x} - x \right)$…
Calcula los siguientes límites y determina, a partir de ellos, las asíntotas horizontales de cada función:
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$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x} - x \right)$
-
$\lim_{x \to -\infty} \frac{3^x + 2}{3^x - 1}$
Dada la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x$, cuyo dominio es $(-\infty, -4] \cup [0, +\infty)$, estudia su comportamiento cuando $x \to +\infty$ y cuando…
Dada la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x$, cuyo dominio es $(-\infty, -4] \cup [0, +\infty)$, estudia su comportamiento cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.
- a) Calcula $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ y, si existe, la ecuación de la asíntota correspondiente.
- b) Calcula $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ y, si hay asíntota, halla su ecuación (puede ser horizontal u oblicua).
- c) ¿Presenta la misma asíntota horizontal en ambos sentidos? Justifica tu respuesta calculando ambos límites detalladamente y dibuja un esquema de las ramas resultantes, indicando las asíntotas y los puntos $(-4, 4)$ y $(0, 0)$.
Lectura completa de una función racional
Juntando todo: comparar grados en el infinito y buscar los ceros del denominador permite describir una función racional sin tabular muchos puntos.
Con funciones definidas por partes, estudiá cada rama en su dominio: el límite en $+\infty$ usa la fórmula de la derecha y el límite en $-\infty$, la de la izquierda. Con valor absoluto, primero reescribí la función por partes.
Considera la función $f(x) = \frac{k}{x^2 - 9}$. 1. Si sabemos que la función pasa por el punto $(0, -1)$, halla el valor de $k$. 2. Con el valor de $k$ obtenido,…
Considera la función $f(x) = \frac{k}{x^2 - 9}$.
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Si sabemos que la función pasa por el punto $(0, -1)$, halla el valor de $k$.
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Con el valor de $k$ obtenido, realiza un estudio completo de las asíntotas de la función y sitúa las ramas infinitas de la misma respecto a sus asíntotas verticales.
Sea la función $f(x) = \frac{|x^2 - 1|}{x - 1}$. a) Redefine la función como una función a trozos eliminando el valor absoluto. b) Calcula los límites laterales en…
Sea la función $f(x) = \frac{|x^2 - 1|}{x - 1}$.
- a) Redefine la función como una función a trozos eliminando el valor absoluto.
- b) Calcula los límites laterales en $x = 1$. ¿Existe una asíntota vertical en ese punto o se trata de una discontinuidad evitable?
- c) Estudia la existencia de asíntotas horizontales calculando $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Explica la diferencia entre ambos resultados.
Calcula todas las asíntotas de la siguiente función definida a trozos y estudia el comportamiento de sus ramas infinitas:…
Calcula todas las asíntotas de la siguiente función definida a trozos y estudia el comportamiento de sus ramas infinitas:
$f(x) = \begin{cases} \frac{2x^2}{x+1} & \text{si } x < 0 \\ \frac{x-1}{x^2-9} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$
Indica específicamente los límites laterales en los puntos donde existan asíntotas verticales.
Vuelta al principio: una función como $S(t)=\dfrac{120t^2+500}{3t^2+4t+10}$ tiene el mismo grado arriba y abajo, así que los seguidores no crecen para siempre: se estabilizan en $\frac{120}{3}=40$ mil, la asíntota horizontal.