Inecuaciones de primer y segundo grado
Valentina organiza el viaje de egresados y le dicen: «el costo total no puede superar lo que juntaron». Esa frase no es una ecuación: no hay un único valor posible, hay todo un tramo de valores que sirven. Eso es una inecuación: una desigualdad con una incógnita cuya solución es, en general, un intervalo. En esta página aprendés a resolverlas y a escribir la solución como intervalo, con punto y coma: $(a;b]$.
Inecuaciones de primer grado
La solución se puede escribir de tres maneras equivalentes: $x>-3$, $\{x\in\mathbb{R} : x>-3\}$ y $(-3;+\infty)$. El extremo es abierto (círculo vacío) cuando la desigualdad es estricta ($<$, $>$) y cerrado (círculo lleno) cuando incluye el igual ($\le$, $\ge$).
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado y representa la solución en la recta real utilizando un intervalo: $5 - 2x \le 11$ Dibuja en tu cuaderno una recta real…
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado y representa la solución en la recta real utilizando un intervalo:
$5 - 2x \le 11$
Dibuja en tu cuaderno una recta real con una escala adecuada, marca el extremo del intervalo y señala si queda incluido o no. Escribe después la solución con notación de intervalo.
Resuelve la siguiente inecuación con paréntesis y simplifica el resultado: $3(x - 1) + 2 > 5x - 7$
Resuelve la siguiente inecuación con paréntesis y simplifica el resultado:
$3(x - 1) + 2 > 5x - 7$
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado, expresando la solución en forma de intervalo y representándola sobre la recta real: $$\frac{2x - 3}{4} - \frac{x +…
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado, expresando la solución en forma de intervalo y representándola sobre la recta real:
$$\frac{2x - 3}{4} - \frac{x + 1}{3} \geq \frac{x - 1}{2} - 1$$Inecuaciones de segundo grado: raíces y tabla de signos
Determina el conjunto de soluciones de la siguiente inecuación de segundo grado analizando el signo de los factores: $x^2 - 9 > 0$ Expresa el resultado en forma de…
Determina el conjunto de soluciones de la siguiente inecuación de segundo grado analizando el signo de los factores:
$x^2 - 9 > 0$
Expresa el resultado en forma de intervalos.
Una empresa de fabricación de fundas para celulares ha determinado que sus beneficios mensuales, en cientos de pesos, dependen de la cantidad de unidades producidas $x$…
Una empresa de fabricación de fundas para celulares ha determinado que sus beneficios mensuales, en cientos de pesos, dependen de la cantidad de unidades producidas $x$ (en miles) según la función $B(x) = -2\,000x^2 + 14\,000x - 12\,000$. ¿Entre qué valores de producción la empresa obtiene beneficios (es decir, $B(x) > 0$)?
En una competición de saltos, la altura $h$ (en metros) que alcanza un deportista respecto al tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión…
En una competición de saltos, la altura $h$ (en metros) que alcanza un deportista respecto al tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = -t^2 + 4t + 1,5$. Determina el intervalo de tiempo durante el cual el saltador se encuentra a una altura superior a los $4,5$ metros.
Casos especiales: discriminante negativo y raíz doble
Si el discriminante $\Delta=b^2-4ac$ es negativo, la parábola no corta al eje $x$: el signo es siempre el de $a$. Si $\Delta=0$, hay una raíz doble y el signo es el mismo a ambos lados de ella.
Esto sirve también para problemas con parámetros: para que $x^2+bx+c>0$ valga para todo $x$ real hace falta $\Delta<0$; para que una ecuación cuadrática no tenga soluciones reales también se pide $\Delta<0$, y eso es una inecuación en el parámetro.
Comprueba si los valores $x = 0$, $x = 2$ y $x = 5$ son soluciones de la inecuación cuadrática: $x^2 - 5x + 4 \le 0$
Comprueba si los valores $x = 0$, $x = 2$ y $x = 5$ son soluciones de la inecuación cuadrática:
$x^2 - 5x + 4 \le 0$
Dada la ecuación de segundo grado $x^2 - 6x + k = 0$, determina para qué valores del parámetro real $k$ la ecuación no tiene soluciones reales. Pista: Recuerda que para…
Dada la ecuación de segundo grado $x^2 - 6x + k = 0$, determina para qué valores del parámetro real $k$ la ecuación no tiene soluciones reales. Pista: Recuerda que para que no existan soluciones reales, el discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ debe cumplir una inecuación específica.
Determina para qué valores del parámetro real $k$ la inecuación de segundo grado $x^2 + (k-2)x + k + 1 > 0$ se verifica para cualquier valor real de $x$. Aplica este…
Determina para qué valores del parámetro real $k$ la inecuación de segundo grado $x^2 + (k-2)x + k + 1 > 0$ se verifica para cualquier valor real de $x$. Aplica este resultado para explicar bajo qué condiciones un fondo de inversión que garantiza este rendimiento mínimo nunca entraría en pérdidas, independientemente de la fluctuación del mercado $x$.
Inecuaciones racionales
Cuando la incógnita está en un denominador, no multipliques por $x-a$ para «sacarlo»: no sabés si es positivo o negativo. Conviene pasar todo a un miembro, formar un solo cociente y estudiar el signo del numerador y del denominador.
Resuelve la siguiente inecuación racional, teniendo especial cuidado con los valores que anulan el denominador: $$\frac{x^2 - 9}{x - 1} \geq 0$$
Resuelve la siguiente inecuación racional, teniendo especial cuidado con los valores que anulan el denominador:
$$\frac{x^2 - 9}{x - 1} \geq 0$$Resuelve la siguiente inecuación racional de segundo grado, asegurándote de considerar correctamente el dominio de la expresión y los intervalos donde el cociente cambia…
Resuelve la siguiente inecuación racional de segundo grado, asegurándote de considerar correctamente el dominio de la expresión y los intervalos donde el cociente cambia de signo:
$\frac{3}{x-2} \leq \frac{x}{x+3}$
Indica detalladamente los valores que quedan excluidos de la solución por anular el denominador.
En un experimento sociológico sobre la difusión de una noticia en una red social, se ha modelado que el número de personas que conocen la noticia (en cientos) tras $t$…
En un experimento sociológico sobre la difusión de una noticia en una red social, se ha modelado que el número de personas que conocen la noticia (en cientos) tras $t$ horas sigue la función $N(t) = -t^2 + 12t - 20$. Al mismo tiempo, un equipo de moderación interviene eliminando publicaciones de forma que el alcance máximo permitido por la normativa de la plataforma viene dado por $L(t) = 3t - 4$, es decir, debe cumplirse $N(t) < L(t)$.
Calcula el intervalo de tiempo (valores de $t$ en horas) en el que la noticia se difunde de forma natural ($N(t) > 0$) pero su alcance ya supera el límite permitido por la plataforma.
Sistemas de inecuaciones con una incógnita
Un sistema de inecuaciones se resuelve inecuación por inecuación y al final se toma la intersección de las soluciones. En el dibujo, las tres rectas comparten la misma escala: cada unidad mide lo mismo en todas.
Halla la solución del siguiente sistema de inecuaciones lineales con una incógnita y exprésala en forma de intervalo:…
Halla la solución del siguiente sistema de inecuaciones lineales con una incógnita y exprésala en forma de intervalo:
$\begin{cases} x + 3 > 1 \\ 2x - 4 \le 2 \end{cases}$
Puedes apoyarte en esta recta numérica para representar las soluciones de cada inecuación y su intersección:
Halla el conjunto de números reales que satisfacen simultáneamente el siguiente sistema de inecuaciones: $$\begin{cases} x^2 - 5x + 4 \leq 0 \\ 2x + 1 > 5 \end{cases}$$
Halla el conjunto de números reales que satisfacen simultáneamente el siguiente sistema de inecuaciones:
$$\begin{cases} x^2 - 5x + 4 \leq 0 \\ 2x + 1 > 5 \end{cases}$$Halla el conjunto de soluciones del siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita, prestando atención a la simplificación de las fracciones y al estudio de signos…
Halla el conjunto de soluciones del siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita, prestando atención a la simplificación de las fracciones y al estudio de signos de la inecuación cuadrática:
$\begin{cases} \frac{x+3}{2} - \frac{x^2-1}{4} \geq 1 \\ |2x - 5| < 7 \end{cases}$
Inecuaciones con módulo
Recordá que $|a|$ es la distancia de $a$ al $0$. Entonces:
Un fabricante de componentes electrónicos detectó que el costo unitario de producción $C$ depende de la temperatura de la sala $T$ (en ºC) según la expresión…
Un fabricante de componentes electrónicos detectó que el costo unitario de producción $C$ depende de la temperatura de la sala $T$ (en ºC) según la expresión $C(T) = |T^2 - 40T + 375|$. Para que el producto sea competitivo en el mercado de las Ciencias Sociales, el costo unitario no debe superar los 25 pesos.
Resolvé la inecuación $|T^2 - 40T + 375| \leq 25$ y determiná los rangos de temperatura permitidos para la fabricación.
Problemas con inecuaciones
Para plantear: 1) elegí la incógnita, 2) traducí «como mínimo», «a lo sumo», «no debe superar», «a partir de» a $\ge$, $\le$, $>$, $<$, 3) resolvé, 4) revisá si la solución tiene sentido en el contexto (por ejemplo, la cantidad de personas es un entero positivo).
Un grupo de amigos quiere organizar una fiesta de graduación. El alquiler del local cuesta $150\,000$ pesos fijos, y el catering cuesta $12\,000$ pesos por cada…
Un grupo de amigos quiere organizar una fiesta de graduación. El alquiler del local cuesta $150\,000$ pesos fijos, y el catering cuesta $12\,000$ pesos por cada asistente. Si disponen de un presupuesto máximo de $600\,000$ pesos, plantea una inecuación y calcula cuál es el número máximo de personas que pueden asistir a la fiesta.
El área de un rectángulo de base $5$ cm y altura $(x - 2)$ cm debe ser menor que $30$ cm². ¿Qué valores puede tomar la variable $x$? Ten en cuenta que la altura debe ser…
El área de un rectángulo de base $5$ cm y altura $(x - 2)$ cm debe ser menor que $30$ cm². ¿Qué valores puede tomar la variable $x$? Ten en cuenta que la altura debe ser siempre una cantidad positiva.
Una empresa de telefonía ofrece un plan por el que cobra $10\,000$ pesos de cuota fija mensual más $50$ pesos por cada minuto de llamada. Otra empresa cobra $5\,000$…
Una empresa de telefonía ofrece un plan por el que cobra $10\,000$ pesos de cuota fija mensual más $50$ pesos por cada minuto de llamada. Otra empresa cobra $5\,000$ pesos de cuota fija pero $150$ pesos por minuto. ¿A partir de cuántos minutos de conversación al mes resulta más económica la primera empresa?
Un grupo de estudiantes de 1.º de Bachillerato está organizando una graduación. Han calculado que los gastos fijos de alquiler del local y el DJ son de $450$ pesos.…
Un grupo de estudiantes de 1.º de Bachillerato está organizando una graduación. Han calculado que los gastos fijos de alquiler del local y el DJ son de $450$ pesos. Además, el catering por cada asistente cuesta $12$ pesos. Si han recaudado un total de $1500$ pesos mediante la venta de papeletas y patrocinios, y quieren que al finalizar el evento les sobren al menos $210$ pesos para un viaje de fin de curso, redacta y resuelve una inecuación que determine el número máximo de personas, $x$, que pueden invitar.
En la gráfica puedes ver el dinero recaudado y los gastos en función del número de asistentes.
El área de un jardín rectangular debe ser menor que $54$ $m^2$. Se sabe que el largo del jardín mide $3$ metros más que el ancho. Si llamamos $x$ a la medida del ancho,…
El área de un jardín rectangular debe ser menor que $54$ $m^2$. Se sabe que el largo del jardín mide $3$ metros más que el ancho. Si llamamos $x$ a la medida del ancho, plantea una inecuación de segundo grado y determina los posibles valores que puede tomar dicha medida.
Se desea diseñar un jardín rectangular de manera que su perímetro sea exactamente de 60 metros. Si el área del jardín debe estar comprendida entre 125 y 200 metros…
Se desea diseñar un jardín rectangular de manera que su perímetro sea exactamente de 60 metros. Si el área del jardín debe estar comprendida entre 125 y 200 metros cuadrados, ¿qué valores puede tomar la longitud del lado más largo del jardín? Expresa el resultado en forma de intervalo.
Ampliación: inecuaciones lineales con dos variables
El siguiente ejercicio es de ampliación: podés resolverlo con esta idea.
Una ONG distribuye lotes de alimentos ($x$) e higiene ($y$). Dispone de un presupuesto máximo de 2000 pesos. Cada lote de alimentos cuesta 20 pesos y cada uno de higiene…
Una ONG distribuye lotes de alimentos ($x$) e higiene ($y$). Dispone de un presupuesto máximo de 2000 pesos. Cada lote de alimentos cuesta 20 pesos y cada uno de higiene 10 pesos. Por logística, deben enviar al menos 40 lotes de alimentos y el número de lotes de higiene no puede superar al doble de los de alimentos. Además, para que la ayuda sea equilibrada, la suma total de lotes debe ser al menos de 100.
Escribe el sistema de inecuaciones lineales con dos variables que representa estas restricciones y representa gráficamente la región factible en el plano.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Resumen
Volvé al principio: el costo del viaje de Valentina «no puede superar» lo juntado, es decir $\text{costo}(x)\le\text{total}$: se plantea, se resuelve y la respuesta es un intervalo de valores posibles.