Funciones lineales: interpolación

Una empresa de alquiler de monopatines eléctricos cobra un cargo fijo por desbloquear el vehículo y una tarifa constante por cada minuto de uso. Un usuario pagó $4\,500$ pesos por un trayecto de $15$ minutos, mientras que otro pagó $7\,500$ pesos por un trayecto de $35$ minutos.

Hallá la ecuación de la función lineal que relaciona el costo del servicio ($y$) con el tiempo de uso en minutos ($x$).

La siguiente tabla muestra la temperatura de un horno industrial a medida que se calienta de forma constante:

Utiliza la interpolación lineal para estimar la temperatura del horno cuando han transcurrido $12$ minutos desde el encendido.

El costo total de producir remeras personalizadas para una graduación incluye un costo fijo por el diseño y un costo variable por cada unidad fabricada. Sabemos que $50$ remeras cuestan $410\,000$ pesos y que $120$ remeras cuestan $830\,000$ pesos.

1. Calculá el costo de fabricar $85$ remeras utilizando la técnica de interpolación lineal.

2. Identificá, a partir de la recta obtenida, cuál es el costo fijo (ordenada al origen) y el costo por cada remera adicional (pendiente).

3. Si el presupuesto máximo del curso es de $600\,000$ pesos, ¿cuál es el número máximo de remeras que pueden encargar?

Un jardinero observa que el crecimiento de una especie de bambú es lineal durante sus primeras semanas. Si a los $10$ días medía $45$ cm y a los $20$ días medía $75$ cm:

1. Determina la función lineal que modela la altura del bambú en función del tiempo.

2. Realiza una extrapolación lineal para predecir qué altura tendrá la planta a los $25$ días.

Un auto eléctrico consume energía de su batería de forma proporcional a la distancia recorrida. Al salir del garage con el $100\,\%$ de carga, tras recorrer $120$ km, la batería marca un $64\,\%$ de carga restante.

1. Expresá la función lineal que indica el porcentaje de batería que queda en función de los kilómetros recorridos.

2. Si el conductor decide parar a recargar cuando le quede el $15\,\%$ de batería, ¿cuántos kilómetros habrá recorrido en total según la interpolación?

3. Mediante extrapolación, determiná qué porcentaje de batería marcaría tras un viaje de $300$ km. ¿Tiene sentido físico el resultado obtenido? Justificá tu respuesta.

Una empresa de mensajería sostenible utiliza bicicletas eléctricas para sus repartos. Se ha observado que el costo de mantenimiento mensual por cada bicicleta depende de los kilómetros recorridos. Si una bicicleta recorre $400\text{ km}$, el costo es de $\$120\,000$, mientras que si recorre $1000\text{ km}$, el costo asciende a $\$210\,000$.

1. a) Utilizando la interpolación lineal, determiná la expresión analítica de la función que relaciona el costo mensual $C(x)$ con la distancia recorrida $x$.

1. b) Si el presupuesto máximo de mantenimiento por bicicleta es de $\$180\,000$, ¿cuál es el número máximo de kilómetros que se estima que puede recorrer según este modelo?

1. c) La empresa planea expandirse y estima que algunas bicicletas realizarán $1500\text{ km}$ mensuales. Calculá el costo mediante extrapolación lineal y razoná si esta estimación es confiable a largo plazo basándote en el desgaste físico de los componentes.

Dos plataformas de música ofrecen los siguientes planes mensuales:

• Plan A: $5\,000$ pesos de cuota fija más $200$ pesos por cada canción descargada.

• Plan B: Sin cuota fija, pero $600$ pesos por cada canción descargada.

• Escribí la función de costo para cada plan.

• Representá ambas funciones en un mismo diagrama y localizá gráficamente el "punto de equilibrio" (donde ambos planes cuestan lo mismo).

La factura de gas de un consorcio de un edificio tiene un término variable que depende del consumo en $kWh$. En enero, con un consumo de $2500\text{ kWh}$, la factura total (incluyendo un término fijo) fue de $\$310\,000$. En febrero, el consumo bajó a $1800\text{ kWh}$ y la factura fue de $\$233\,000$.

1. a) Calculá el precio de cada $kWh$ y el valor del término fijo de la factura utilizando interpolación lineal.

1. b) Estimá la factura para un consumo de $3000\text{ kWh}$.

1. c) Debido a una nueva tasa municipal, el término fijo aumentará un $15\%$ y el precio por $kWh$ un $5\%$. Escribí la nueva función de costo y comparala gráficamente con la anterior.

Se quieren interpolar los puntos $(0, 1)$, $(1, 4)$ y $(2, 9)$ con una parábola $y = ax^{2} + bx + c$.

1. a) Plantea el sistema de tres ecuaciones con incógnitas $a$, $b$ y $c$.

1. b) Comprueba que $a = 1$, $b = 2$ y $c = 1$ es solución del sistema y escribe la parábola interpoladora.

La figura muestra una parábola que pasa por los puntos $(1, 3)$, $(3, 7)$ y $(5, 5)$.

1. a) Plantea el sistema de ecuaciones que deben cumplir $a$, $b$ y $c$ para que $y = ax^{2} + bx + c$ pase por los tres puntos, y resuélvelo.

1. b) Usa la parábola obtenida para estimar el valor de $y$ en $x = 4$ (el marcado con «?» en la figura).

1. c) Comprueba con la gráfica que la estimación es coherente.

La promotora de un concierto ha probado tres precios de entrada con resultados distintos: a $\$10$ vendió $400$ entradas; a $\$20$, $700$; y a $\$30$, $600$. La figura muestra los datos y la parábola de interpolación.

1. a) Halla la parábola $y = ax^{2} + bx + c$ que interpola los tres puntos (precio, entradas vendidas).

1. b) Estima cuántas entradas vendería a $\$25$.

1. c) Según el modelo, ¿qué precio maximiza el número de entradas vendidas? Calcula el vértice de la parábola e interpreta el resultado.

Un día de verano se han medido las temperaturas de una ciudad: a las $8$ h, $12$ °C; a las $14$ h, $24$ °C; a las $20$ h, $18$ °C.

1. a) Tomando $t = 0$ en las $8$ h, halla la parábola $T(t) = at^{2} + bt + c$ que interpola los tres datos.

1. b) Según el modelo, ¿a qué hora se alcanzó la temperatura máxima y cuánto valió?

1. c) ¿Qué temperatura predice el modelo para las $2$ h de la madrugada siguiente ($t = 18$)? ¿Es razonable? Comenta los límites de la interpolación cuando se usa para extrapolar fuera del rango de los datos.

La tabla muestra los primeros valores de una sucesión:

• $n$: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$

• $a_n$: $4$, $9$, $18$, $31$, $48$

1. a) Calcula las primeras diferencias (cada término menos el anterior) y las segundas diferencias (diferencias de las diferencias). ¿Qué observas en las segundas?

1. b) Justifica que si las segundas diferencias son constantes, la sucesión sigue un modelo cuadrático $a_n = an^{2} + bn + c$, y halla ese modelo.

1. c) Calcula $a_6$ con el modelo y compruébalo prolongando las diferencias.