Aumentos y disminuciones porcentuales
Una computadora cuesta $\$847$ con el 21 % de IVA ya incluido, después de un 30 % de descuento sobre su precio de lista. ¿Cuál era ese precio de lista? Y si tu sueldo sube un 20 % un año y baja un 20 % al siguiente, ¿ganás, perdés o quedás igual? Las dos preguntas se resuelven con la misma herramienta: el factor de aumento o descuento (también llamado índice de variación).
El factor de variación
También podés hallar el porcentaje de variación a partir de dos valores: $I_v = \dfrac{\text{final}}{\text{inicial}}$ y después $r = (I_v - 1)\cdot 100$. Por ejemplo, si una suscripción pasa de $\$12.500$ a $\$14.750$, $I_v = 14.750 : 12.500 = 1{,}18$: aumentó un $18\,\%$.
Una tienda de ropa deportiva anuncia una liquidación de temporada con un descuento del $25\text{ \%}$ en todas sus zapatillas. Si unas zapatillas de running marcaban…
Una tienda de ropa deportiva anuncia una liquidación de temporada con un descuento del $25\text{ \%}$ en todas sus zapatillas. Si unas zapatillas de running marcaban originalmente $\$110\,000$, ¿cuánto pagaremos por ellas después de la rebaja? Calculá el índice de variación correspondiente.
En el año 2022, una suscripción mensual a una plataforma de streaming costaba $\$12\,500$. En 2023, el precio ha subido a $\$14\,750$. Calcula el índice de variación y…
En el año 2022, una suscripción mensual a una plataforma de streaming costaba $\$12\,500$. En 2023, el precio ha subido a $\$14\,750$. Calcula el índice de variación y el aumento porcentual que ha sufrido la suscripción.
Una joven influencer* dedicada al diseño sostenible tenía $15.400$ seguidores en su cuenta al comenzar el año. Tras una campaña de concienciación sobre el reciclaje, su…
Una joven influencer dedicada al diseño sostenible tenía $15.400$ seguidores en su cuenta al comenzar el año. Tras una campaña de concienciación sobre el reciclaje, su número de seguidores aumentó hasta alcanzar los $19.096$. ¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento en su comunidad? Si espera que el próximo trimestre el crecimiento sea del $8$ % sobre la cifra actual, ¿cuántos seguidores tendrá entonces?
Variaciones encadenadas
Cuando se aplican dos o más variaciones porcentuales una tras otra, se multiplican los factores: nunca se suman ni se restan los porcentajes directamente.
Una entrada de cine cuesta $\$9\,000$. Si pagas con el carné joven, te aplican un descuento del $20\text{ \%}…
Una entrada de cine cuesta $\$9\,000$. Si pagas con el carné joven, te aplican un descuento del $20\text{ \%}$. Pero si además es "miércoles del espectador", el precio ya rebajado vuelve a bajar un $10\text{ \%}$ adicional.
- a) Calcula el precio final de la entrada un miércoles para un usuario con carné joven.
- b) Calcula el índice de variación total y el porcentaje de descuento real sobre el precio inicial.
Un pequeño comercio de barrio decide actualizar los precios de sus productos según el costo de vida. A principios de año sube todos los precios un $4$ %. En verano,…
Un pequeño comercio de barrio decide actualizar los precios de sus productos según el costo de vida. A principios de año sube todos los precios un $4$ %. En verano, debido a una promoción especial, aplica un descuento del $10$ % sobre los precios ya actualizados.
- a) Calculá el índice de variación global.
- b) ¿Cuál fue la variación porcentual total respecto al precio original de finales del año pasado?
- c) Si un producto costaba originalmente $25\,000$ pesos, ¿cuál es su precio después de los dos cambios?
En una tienda de moda urbana se aplican rebajas sucesivas. Primero se anuncia un descuento general del $20\%$ sobre todos los artículos. Durante la "semana de…
En una tienda de moda urbana se aplican rebajas sucesivas. Primero se anuncia un descuento general del $20\%$ sobre todos los artículos. Durante la "semana de liquidación", se aplica un descuento adicional del $30\%$ sobre el precio ya rebajado. Un cliente tiene un cupón VIP que permite un descuento extra del $10\%$ sobre el último precio obtenido.
¿Es este proceso de tres descuentos equivalente a un único descuento del $60\%$? Justifica la respuesta calculando el índice de variación global y determina cuál sería el precio inicial de una sudadera que termina costando $39\,200$ pesos tras los tres descuentos.
Índices con base 100
Para comparar cómo evolucionan precios o sueldos, se suele tomar un valor de partida como base 100 (año 0) y se calcula el índice de cada año con la regla de tres:
$$I = \frac{\text{valor}}{\text{valor base}} \cdot 100$$Si algo sube un $r\,\%$ por año, el índice de cada año se obtiene multiplicando el anterior por el factor: el índice del año 2 es $100 \cdot I_{v1} \cdot I_{v2}$. El factor global es ese índice dividido por 100.
Para comparar dos magnitudes (por ejemplo, alquileres y sueldos) dividí sus factores globales: si los alquileres tienen factor $A$ y los sueldos factor $S$, y alguien gasta en alquiler todo su sueldo, su poder adquisitivo cambia por el factor $S : A$. Si ese cociente es menor que 1, perdió poder adquisitivo.
El índice de precios de los alquileres en una gran ciudad aumentó un $15\%$ el año pasado y se espera que aumente otro $8\%$ este año. Al mismo tiempo, el salario medio…
El índice de precios de los alquileres en una gran ciudad aumentó un $15\%$ el año pasado y se espera que aumente otro $8\%$ este año. Al mismo tiempo, el salario medio de los jóvenes de la ciudad aumentó un $2\%$ el año pasado y se prevé una subida del $5\%$ para este año.
El esquema resume los datos: parte de un índice $100$ en el año 0 y muestra la subida de cada año.
Calcula el índice de variación global de los alquileres y de los salarios tras los dos años. Utilizando estos datos, determina en qué porcentaje ha variado realmente el poder adquisitivo de un joven que dedica todo su salario exclusivamente al pago del alquiler.
Deshacer un porcentaje: IVA y precios ya rebajados
Si conocés la cantidad final y necesitás la inicial, dividís entre el factor en lugar de multiplicar.
Lo mismo vale para descuentos: si después de un 35 % de descuento unas zapatillas cuestan $\$57.200$, el precio original es $57.200 : 0{,}65 = 88.000$ pesos, y el ahorro fue de $\$30.800$.
Después de aplicarle un descuento del $15\text{ \%}$, una computadora portátil cuesta $\$680\,000…
Después de aplicarle un descuento del $15\text{ \%}$, una computadora portátil cuesta $\$680\,000$. ¿Cuál era el precio original de la computadora antes de la promoción? Usá el concepto de índice de variación para resolverlo.
En las liquidaciones de enero, unas zapatillas deportivas tienen un descuento del $35$ %. Si el precio rebajado que marca la etiqueta es de $57\,200$ pesos, ¿cuál era el…
En las liquidaciones de enero, unas zapatillas deportivas tienen un descuento del $35$ %. Si el precio rebajado que marca la etiqueta es de $57\,200$ pesos, ¿cuál era el precio de las zapatillas antes de comenzar las liquidaciones? Indicá también el ahorro total conseguido en pesos.
El precio de una suscripción premium a una plataforma de streaming es de $15\,990$ pesos al mes, IVA incluido. Sabiendo que el IVA aplicado a estos servicios digitales…
El precio de una suscripción premium a una plataforma de streaming es de $15\,990$ pesos al mes, IVA incluido. Sabiendo que el IVA aplicado a estos servicios digitales es del $21$ %, calculá:
- a) La base imponible de la factura (el precio antes de impuestos).
- b) El importe exacto que se paga de IVA.
- c) Si la plataforma anuncia un aumento de la base imponible del $5$ % para el próximo año, ¿cuál será el nuevo precio mensual con el IVA incluido?
Una suba y una baja iguales: ¿se cancelan?
«Sube un 20 % y después baja un 20 %: quedo como estaba.» Es el error más común con porcentajes, y nunca es cierto salvo que el porcentaje sea $0\,\%$.
El sueldo de un joven programador aumenta un $5\text{ \%}$ al finalizar su primer año de contrato. Sin embargo, al segundo año, debido a una crisis en la empresa, le…
El sueldo de un joven programador aumenta un $5\text{ \%}$ al finalizar su primer año de contrato. Sin embargo, al segundo año, debido a una crisis en la empresa, le reducen el salario un $5\text{ \%}$. ¿Crees que su sueldo final es el mismo que el inicial? Justifica tu respuesta calculando el índice de variación global.
Un inversor compra acciones de una empresa tecnológica. Durante el primer mes, el valor de las acciones sube un $20$ %. Durante el segundo mes, el valor cae un $20$ %.…
Un inversor compra acciones de una empresa tecnológica. Durante el primer mes, el valor de las acciones sube un $20$ %. Durante el segundo mes, el valor cae un $20$ %. El inversor afirma: "Me he quedado igual que al principio, ni he ganado ni he perdido".
- a) Demuestra matemáticamente si el inversor tiene razón o no, utilizando índices de variación.
- b) Si invirtió inicialmente $5.000$ pesos, ¿cuál es el valor de su inversión tras los dos meses?
- c) Calcula el porcentaje de variación global de la inversión.
Un inversor reparte sus ahorros en dos productos financieros. En el Producto A invierte el $60\%$ de su capital y obtiene un beneficio del $15\%$. En el Producto B…
Un inversor reparte sus ahorros en dos productos financieros. En el Producto A invierte el $60\%$ de su capital y obtiene un beneficio del $15\%$. En el Producto B invierte el resto y sufre una pérdida del $8\%$.
Calcula el índice de variación global de su capital total y el porcentaje de ganancia o pérdida neta. Si al finalizar el año su capital total asciende a $53.100$ pesos, ¿cuál era su capital inicial y cuánto dinero perdió específicamente en el Producto B?
Vuelta al principio: la computadora tuvo un descuento del $30\,\%$ ($0{,}70$) y un IVA del $21\,\%$ ($1{,}21$), con factor global $0{,}70 \cdot 1{,}21 = 0{,}847$. Dividiendo el precio final entre ese factor: $847 : 0{,}847 = 1.000$, es decir, un precio de lista de $\$1.000$ (en la misma unidad del enunciado).