Monomios

Para entender cómo funcionan las expresiones matemáticas en economía, es fundamental identificar sus componentes. Completa la información solicitada para los siguientes monomios:

1. a) $7x^3$

1. b) $-x^2y$

1. c) $\frac{3}{5}ab^4$

Para cada uno de ellos, indica el coeficiente, la parte literal y el grado.

Un arquitecto está diseñando un ventanal rectangular para una oficina de un banco. Las dimensiones del ventanal vienen dadas en función de una variable $x$ como se muestra en la imagen. Escribe el monomio que representa el área del ventanal.

En el diseño de interfaces de usuario, a veces se usan variables para definir el tamaño de los elementos. Para que podamos sumar o restar dos elementos, sus monomios deben ser semejantes.

Determina cuáles de las siguientes parejas de monomios son semejantes entre sí:

1. a) $5x^2y$ y $-2x^2y$

1. b) $3ab^2$ y $3a^2b$

1. c) $-x$ y $\frac{1}{2}x$

1. d) $4z^3$ y $4z^2$

Simplifica las siguientes expresiones agrupando los monomios que sean semejantes, tal como harías al calcular el balance total de ingresos y gastos de una pequeña tienda:

1. a) $3x^2 + 5x^2 - 2x^2$

1. b) $7ab - 3ab + ab$

1. c) $4x^3 - 5x + 2x^3 + 9x$

Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios. Recuerda que para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las letras iguales:

1. a) $(4x^2) \cdot (3x^5)$

1. b) $(-2a^3b) \cdot (5ab^2)$

1. c) $(\frac{1}{2}x) \cdot (6x^2y)$

Divide los siguientes monomios y simplifica el resultado. Ten en cuenta que para dividir monomios se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las potencias de la misma base:

1. a) $\frac{12x^7}{3x^2}$

1. b) $\frac{-20a^4b^3}{5a^2b}$

1. c) $\frac{8x^3y^2}{2x^3y}$

Simplifica las siguientes expresiones operando con monomios y reduce el resultado a su forma más sencilla:

1. a) $\displaystyle \frac{(15x^3y^2) \cdot (-2xy^4)}{6x^2y^3}$

1. b) $\displaystyle -3a^2b \cdot \left(\frac{1}{3}ab^3\right) + \frac{10a^3b^4}{2}$

Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando razonadamente tu respuesta mediante ejemplos o contraejemplos:

1. a) La suma de dos monomios de grado 3 es siempre otro monomio de grado 3.
2. b) El grado del monomio resultante de multiplicar un monomio de grado $n$ por otro de grado $m$ es $n + m$.
3. c) Al dividir dos monomios con la misma parte literal, el resultado es siempre un número real (grado 0).

Dados los monomios $M = \frac{2}{3}x^2y^3$, $N = \frac{1}{2}x^2y^3$ y $P = -\frac{5}{6}x^2y^3$:

1. Realiza la operación $M - N + P$ y simplifica el coeficiente resultante.

2. Multiplica el resultado anterior por el monomio $Q = 12xy$. Indica el grado final de la expresión obtenida.

Simplifica la siguiente expresión algebraica hasta reducirla a un único monomio. Ten en cuenta las propiedades de las potencias y opera con cuidado con los coeficientes fraccionarios:

$$L(x, y) = \frac{(2x^3y^2)^3 \cdot (\frac{1}{2}x^2y^2)^2}{\sqrt{16x^8y^{10}}} : (x^2y^2)^2$$

Indica el grado del monomio resultante.

En una empresa de diseño de envases, se están proyectando cajas de cartón con forma de prisma rectangular. El largo de la base mide el triple que el ancho ($x$) y la altura de la caja es la mitad del ancho.

1. Expresa mediante un monomio en la variable $x$ el perímetro de la base de la caja.

2. Expresa mediante un monomio el volumen total de la caja. Indica el coeficiente, la parte literal y el grado del monomio obtenido.

Un analista financiero modela las ganancias de una startup tecnológica mediante el monomio $B(x, y) = 0,45x^2y$, donde $x$ representa la cantidad de usuarios activos (en miles) e $y$ el gasto promedio por usuario en marketing (en pesos).

1. Calculá el valor numérico de la ganancia si la empresa tiene $20.000$ usuarios ($x=20$) y el gasto en marketing es de $10\,000$ pesos por usuario ($y=10\,000$).

2. Si la cantidad de usuarios se duplica y el gasto en marketing se reduce a la mitad, ¿qué ocurre con la ganancia total? Justificá tu respuesta utilizando las propiedades de los monomios.

En una parcela rectangular destinada a huertos urbanos, se quiere instalar un sistema de riego automático. La parcela principal tiene dimensiones $5x$ de largo por $3y$ de ancho. En su interior, se reserva un espacio cuadrado de lado $2x$ para un cobertizo de herramientas que no necesita riego.

1. Halla el monomio que representa el área total de la parcela.

2. Halla el polinomio que representa el área que debe ser cubierta por el sistema de riego.

3. Calcula el área de riego si $x = 4$ metros e $y = 6$ metros.

En un centro de datos para inteligencia artificial, el volumen de aire necesario para refrigerar un rack de servidores se modela mediante el producto de tres dimensiones críticas. La altura es un monomio $A(x, y) = \frac{3}{4}x^2y$, la anchura es $B(x, y) = \frac{8}{9}xy^3$ y la profundidad es $C(x, y) = \frac{1}{2}x^3y^2$.

Obtén el monomio resultante que define el volumen total $V(x, y)$ del rack y determina su coeficiente, su parte literal y su grado global. ¿Qué ocurriría con el grado del monomio si duplicáramos la potencia de la variable $x$ en la profundidad?