Ecuaciones de primer y segundo grado
Thiago patea una pelota hacia arriba y quiere saber en qué instantes está a cierta altura. Valentina arma un parterre y necesita saber cuánto miden sus lados. Para estos problemas hay que plantear una ecuación de primer o de segundo grado y resolverla bien. En esta página repasás las dos, con denominadores y sin ellos, y sumás las ecuaciones racionales y con radicales, donde hay que verificar las soluciones.
Ecuaciones de primer grado con denominadores
Cuando hay denominadores, multiplicás toda la ecuación por el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. Así desaparecen las fracciones de una sola vez. Si multiplicás ambos miembros por el mismo número distinto de cero, la igualdad se mantiene.
Un creador de contenido en una conocida red social observa que el número de nuevos seguidores que consigue cada día sigue una tendencia lineal. Si el número de…
Un creador de contenido en una conocida red social observa que el número de nuevos seguidores que consigue cada día sigue una tendencia lineal. Si el número de seguidores $x$ satisface la siguiente ecuación, ¿cuántos seguidores ha ganado hoy?
$3(x - 15) + 2x = 2(x + 30)$
Para completar un nivel en un videojuego de estrategia, necesitas repartir tus recursos de oro. La cantidad de monedas de oro $x$ que debes asignar a cada mina viene…
Para completar un nivel en un videojuego de estrategia, necesitas repartir tus recursos de oro. La cantidad de monedas de oro $x$ que debes asignar a cada mina viene dada por la resolución de la siguiente ecuación con denominadores:
$\dfrac{x}{4} - \dfrac{x - 2}{3} = -1$
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado, prestando especial atención al cálculo del mínimo común múltiplo y al efecto de los signos negativos delante de las…
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado, prestando especial atención al cálculo del mínimo común múltiplo y al efecto de los signos negativos delante de las fracciones:
$$\frac{2x - 3}{4} - \frac{x - 5}{6} = \frac{5x - 1}{3} - 2$$Ecuación cuadrática: forma general y fórmula resolvente
Probá con los deslizadores: las soluciones son los puntos donde la parábola $y=ax^2+bx+c$ corta el eje $x$.
Halla las soluciones reales de la siguiente ecuación de segundo grado completa utilizando la fórmula general $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$: $x^2 - x - 6 = 0$
Halla las soluciones reales de la siguiente ecuación de segundo grado completa utilizando la fórmula general $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
$x^2 - x - 6 = 0$
Ecuaciones incompletas: resolver sin la fórmula
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta. Recuerda que, en este tipo de ecuaciones, extraer factor común suele ser el método más rápido para encontrar…
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta. Recuerda que, en este tipo de ecuaciones, extraer factor común suele ser el método más rápido para encontrar las dos soluciones:
$3x^2 - 15x = 0$
Un estudio de fotografía quiere imprimir carteles cuadrados para una exposición. Si el doble del área de uno de estos carteles es igual a $50$ $dm^2$, calcula la medida…
Un estudio de fotografía quiere imprimir carteles cuadrados para una exposición. Si el doble del área de uno de estos carteles es igual a $50$ $dm^2$, calcula la medida del lado $x$ del cartel resolviendo la ecuación:
$2x^2 = 50$
Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas de segundo grado sin utilizar la fórmula general, aplicando la extracción de factor común o el despeje directo: 1.…
Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas de segundo grado sin utilizar la fórmula general, aplicando la extracción de factor común o el despeje directo:
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$3x^2 - 27 = 0$
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$5x^2 + 15x = 0$
El discriminante
Esto sirve para hallar parámetros. Por ejemplo, ¿para qué $k$ la ecuación $x^2-6x+k=0$ tiene una única solución?
Dada la ecuación de segundo grado $x^2 - 10x + k = 0$, determina razonadamente el valor del parámetro $k$ para que la ecuación tenga una única solución real (raíz…
Dada la ecuación de segundo grado $x^2 - 10x + k = 0$, determina razonadamente el valor del parámetro $k$ para que la ecuación tenga una única solución real (raíz doble). Una vez hallado $k$, indica cuál es esa solución.
En una ecuación de segundo grado de la forma $x^2 - (k+3)x + 3k = 0$, determina los valores que debe tomar el parámetro real $k$ para que las dos raíces de la ecuación…
En una ecuación de segundo grado de la forma $x^2 - (k+3)x + 3k = 0$, determina los valores que debe tomar el parámetro real $k$ para que las dos raíces de la ecuación sean números enteros consecutivos. Una vez hallado $k$, indica cuáles serían dichas soluciones para cada valor encontrado.
Relaciones entre raíces y coeficientes (Cardano-Vieta)
Para armar una ecuación mónica ($a=1$) a partir de sus raíces: $x^2-Sx+P=0$, donde $S$ es la suma y $P$ el producto.
Encuentra una ecuación de segundo grado de la forma $ax^2 + bx + c = 0$ cuyas soluciones sean $x_1 = 3$ y $x_2 = -4$.
Encuentra una ecuación de segundo grado de la forma $ax^2 + bx + c = 0$ cuyas soluciones sean $x_1 = 3$ y $x_2 = -4$.
Halla una ecuación de segundo grado de la forma $ax^2 + bx + c = 0$ sabiendo que la suma de sus raíces es $s = 7$ y el producto de las mismas es $p = 10$. Comprueba tu…
Halla una ecuación de segundo grado de la forma $ax^2 + bx + c = 0$ sabiendo que la suma de sus raíces es $s = 7$ y el producto de las mismas es $p = 10$. Comprueba tu resultado resolviendo la ecuación obtenida mediante la fórmula general.
Dada la ecuación de segundo grado $x^2 - mx + 36 = 0$, donde $m$ es un número real, determina el valor de dicho coeficiente $m$ sabiendo que la suma de los inversos de…
Dada la ecuación de segundo grado $x^2 - mx + 36 = 0$, donde $m$ es un número real, determina el valor de dicho coeficiente $m$ sabiendo que la suma de los inversos de sus raíces, $x_1$ y $x_2$, es igual a $\frac{5}{12}$.
(Pista: Utiliza las relaciones de Cardano entre los coeficientes y las raíces: $x_1 + x_2 = -b/a$ y $x_1 \cdot x_2 = c/a$).
Ecuaciones racionales y con radicales
En estas ecuaciones la incógnita está en un denominador o bajo una raíz. El método es el mismo: llevarlas a una ecuación de primer o segundo grado. Pero siempre hay que comprobar las soluciones, porque pueden aparecer soluciones extrañas.
Racionales. Factoreá los denominadores, multiplicá por el m.c.m. y resolvé. Descartá todo valor que anule algún denominador.
Con radicales. Aislá la raíz en un miembro y elevá al cuadrado ambos miembros. Si hay dos raíces, aislás una, elevás al cuadrado, y como queda una raíz, la aislás de nuevo y volvés a elevar. Elevar al cuadrado puede introducir soluciones falsas, por eso verificás en la ecuación original.
Halla las soluciones de la siguiente ecuación racional, prestando especial atención a la simplificación de los términos y a la posible aparición de soluciones extrañas:…
Halla las soluciones de la siguiente ecuación racional, prestando especial atención a la simplificación de los términos y a la posible aparición de soluciones extrañas:
$$\frac{x+1}{x-1} + \frac{x-2}{x} = \frac{3}{x^2-x}$$Una empresa de marketing digital ha comprobado que el éxito de una campaña en redes sociales (medido en miles de "me gusta") sigue un modelo racional dependiendo del…
Una empresa de marketing digital ha comprobado que el éxito de una campaña en redes sociales (medido en miles de "me gusta") sigue un modelo racional dependiendo del tiempo $x$ (en semanas) según la siguiente expresión:
$$\frac{2x+5}{x-1} - \frac{x-2}{x+3} = \frac{20}{x^2+2x-3}$$Halla el valor de $x$ que satisface esta ecuación. No olvides comprobar si los valores obtenidos son válidos dentro del dominio de las expresiones racionales planteadas.
Resuelve la siguiente ecuación con radicales dobles y asegúrate de verificar la validez de las soluciones obtenidas en la expresión original: $$\sqrt{2x-1} + \sqrt{x+4}…
Resuelve la siguiente ecuación con radicales dobles y asegúrate de verificar la validez de las soluciones obtenidas en la expresión original:
$$\sqrt{2x-1} + \sqrt{x+4} = 6$$Problemas con ecuaciones
Para resolver un problema:
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Leé y elegí la incógnita, con su unidad.
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Escribí una ecuación con los datos.
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Resolvé.
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Verificá en el enunciado y descartá las soluciones que no tengan sentido (longitudes o tiempos negativos).
Volvamos a la pelota de Thiago. Su altura (en metros) a los $t$ segundos es $h(t)=-5t^2+20t+2$.
La edad de Javier es el triple que la de su hermana menor, Elena. Si sabemos que la suma de sus edades es de $20$ años, plantea una ecuación de primer grado y resuélvela…
La edad de Javier es el triple que la de su hermana menor, Elena. Si sabemos que la suma de sus edades es de $20$ años, plantea una ecuación de primer grado y resuélvela para averiguar la edad de cada uno.
El perímetro de una parcela rectangular de un huerto urbano mide $24$ metros. Si sabemos que la base mide el doble que la altura, calcula las dimensiones de la parcela…
El perímetro de una parcela rectangular de un huerto urbano mide $24$ metros. Si sabemos que la base mide el doble que la altura, calcula las dimensiones de la parcela (base y altura) planteando una ecuación de primer grado.
En el diseño de una zona verde, un paisajista quiere crear un parterre rectangular cuya base sea 4 metros más larga que su altura. Si el área total del parterre debe ser…
En el diseño de una zona verde, un paisajista quiere crear un parterre rectangular cuya base sea 4 metros más larga que su altura. Si el área total del parterre debe ser de $96 \text{ m}^2$, plantea una ecuación de segundo grado y calcula las dimensiones exactas de la base y la altura.
Costos, ingresos y ganancias
En los problemas de un negocio se usa siempre la misma relación:
$$\text{Ganancia}=\text{Ingresos}-\text{Costos}$$Si el costo depende de $x$ con una expresión cuadrática, al plantear «la ganancia es tal valor» queda una ecuación cuadrática.
Si al plantear la ecuación te queda $\Delta=0$, hay un único valor posible de $x$: la ganancia pedida es justo la máxima que se puede lograr. Averiguar para qué valores la ganancia es positiva ($\geq 0$) ya no es una ecuación sino una inecuación: se resuelve en la página de inecuaciones.
Una empresa de mensajería cobra una tarifa fija de $\$5\,000…
Una empresa de mensajería cobra una tarifa fija de $\$5\,000$ por el envío de un paquete, más un costo adicional por cada kilómetro de distancia. Si por un envío a una ciudad situada a $120 \text{ km}$ cobraron $\$23\,000$:
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Determiná la ecuación de primer grado que relaciona el costo total ($C$) con la distancia ($d$).
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Calculá cuánto costará enviar un paquete a una distancia de $350 \text{ km}$.
Un centro deportivo ofrece un abono mensual. Si se inscriben 20 personas más de las previstas, el costo por persona bajaría $\$4\,000…
Un centro deportivo ofrece un abono mensual. Si se inscriben 20 personas más de las previstas, el costo por persona bajaría $\$4\,000$ para mantener la misma recaudación total de $\$2\,400\,000$. Planteá la ecuación correspondiente para averiguar cuántas personas se habían previsto inicialmente.
Un joven emprendedor fabrica fundas personalizadas para celulares utilizando una impresora 3D. El costo total diario $C$ (en pesos) viene dado por la expresión…
Un joven emprendedor fabrica fundas personalizadas para celulares utilizando una impresora 3D. El costo total diario $C$ (en pesos) viene dado por la expresión $C = x^2 - 10x + 200$, donde $x$ es el número de fundas producidas. Si vende cada funda a un precio fijo de $20$ pesos, ¿cuántas fundas debe producir y vender al día para que su beneficio neto sea de exactamente $25$ pesos?
(Recordá que el Beneficio = Ingresos Totales - Costos Totales).
Rectas, parábolas y más problemas
Una recta y una parábola se cortan donde sus $y$ son iguales: igualás las expresiones y resolvés la ecuación cuadrática que queda.
Con todo lo visto podés resolver problemas de geometría (caminos alrededor de un jardín) o de movimiento (ida y vuelta con viento): planteá la ecuación con una sola incógnita y verificá que la solución tenga sentido.
Volvé al principio: la pelota de Thiago pasa por los $17$ m a los $1$ y a los $3$ segundos, y el parterre de Valentina sale de una ecuación como las que planteaste acá.
Determina los puntos de intersección entre la recta $y = 2x + 1$ y la parábola $y = x^2 - 2$. Para ello, iguala ambas expresiones y resuelve la ecuación de segundo grado…
Determina los puntos de intersección entre la recta $y = 2x + 1$ y la parábola $y = x^2 - 2$. Para ello, iguala ambas expresiones y resuelve la ecuación de segundo grado resultante. Después, representa esquemáticamente la situación en unos ejes de coordenadas y señala sobre tu dibujo los puntos de corte que has obtenido.
Se desea diseñar un jardín urbano rectangular en el centro de Buenos Aires. El espacio central destinado a césped tiene unas dimensiones de $15$ metros de largo por $10$…
Se desea diseñar un jardín urbano rectangular en el centro de Buenos Aires. El espacio central destinado a césped tiene unas dimensiones de $15$ metros de largo por $10$ metros de ancho. Alrededor de este espacio se quiere construir un camino de grava de ancho uniforme $x$. Calculá el valor de dicho ancho $x$ sabiendo que el área total del camino de grava debe ser exactamente igual a las tres cuartas partes del área destinada solo al césped.
Un club de aeromodelismo organiza una prueba de vuelo: un dron debe realizar un trayecto de ida y vuelta entre dos puntos de control situados a una distancia de $12$ km.…
Un club de aeromodelismo organiza una prueba de vuelo: un dron debe realizar un trayecto de ida y vuelta entre dos puntos de control situados a una distancia de $12$ km. El dron vuela a una velocidad constante respecto al aire. Durante el trayecto de ida, el dron tiene viento a favor de $10$ km/h, pero en el trayecto de vuelta tiene ese mismo viento en contra. Sabiendo que el dron ha tardado un total de $54$ minutos en completar el viaje de ida y vuelta, calcula la velocidad propia del dron (en km/h) cuando no hay viento.