Valor absoluto (módulo) de un número real

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones utilizando la definición de valor absoluto:

1. a) $|-12,5|$

1. b) $|7 - 15|$

1. c) $|\pi - 4|$

1. d) $|1 - \sqrt{2}|$

La temperatura en una ciudad de la meseta patagónica a las 6:00 de la mañana era de $-3^\circ C$, mientras que a las 15:00 horas subió hasta los $14^\circ C$. Utilizá el concepto de valor absoluto para expresar y calcular la distancia térmica (la diferencia de grados) entre ambas medidas.

Define la siguiente función de valor absoluto como una función definida a trozos:

Indica la expresión de cada una de las ramas y el intervalo en el que es válida cada una.

Halla los valores de $x$ que cumplen las siguientes igualdades:

1. a) $|x| = 8$

1. b) $|x - 3| = 5$

1. c) $|x + 2| = 0$

Expresa mediante la notación de valor absoluto los siguientes conjuntos de números reales representados en la recta:

1. a) Los números cuya distancia al origen es menor que $4$.

1. b) Los números cuya distancia al punto $2$ es exactamente igual a $3$.

Calcula los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación:

Resuelve la siguiente ecuación con valores absolutos anidados y representa las soluciones en la recta real:

Puedes usar como apoyo la siguiente recta numérica, en la que debes marcar tú las soluciones que obtengas:

Representa en la recta real y escribe en forma de intervalo los valores de $x$ que verifican la siguiente desigualdad:

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Asocia cada una de las siguientes expresiones de valor absoluto con su intervalo correspondiente:

1. $|x| < 3$

2. $|x - 1| \le 2$

3. $|x + 2| < 1$

Intervalos: $A = [-1, 3] \quad B = (-3, 3) \quad C = (-3, -1)$

Resuelve la desigualdad $|x| > 5$ y representa la solución gráficamente. Recuerda que este tipo de expresiones dan lugar a una unión de dos semirrectas infinitas.

Resuelve la siguiente inecuación con valor absoluto y representa la solución en la recta real. Expresa el resultado final utilizando la notación de intervalos:

Determina todos los números reales $x$ que se encuentran a una distancia mayor de $5$ unidades del punto $-1$. Expresa la solución de tres formas distintas:

1. Como una inecuación con valor absoluto.

2. Mediante la unión de dos intervalos.

3. Gráficamente en la recta real.

Resuelve la siguiente inecuación y expresa la solución en forma de unión de intervalos:

Calcula también qué números naturales menores que 10 no pertenecen a este conjunto solución.

En una fábrica de componentes electrónicos, una resistencia debe tener un valor nominal de $220\ \Omega$. Por control de calidad, se acepta que el valor real $x$ de la resistencia varíe respecto al nominal en un máximo de $5\ \Omega$.

En la recta de la figura se marca el valor nominal y un valor real cualquiera $x$, junto con su distancia al valor nominal.

1. a) Escribe esta condición utilizando una desigualdad con valor absoluto.

1. b) Resuelve la desigualdad y determina el intervalo de valores óhmicos aceptables para estas resistencias.

Una empresa de fabricación de componentes electrónicos produce resistencias que deben tener un valor nominal de $220 \Omega$. Por razones de control de calidad, se acepta un margen de error (tolerancia) de $5 \Omega$.

1. a) Escribe una inecuación utilizando el valor absoluto que describa los valores de resistencia $x$ aceptables.
2. b) Determina el intervalo de valores permitidos para que el componente no sea rechazado.

Expresa mediante una desigualdad con valor absoluto el conjunto de números reales representados en la siguiente gráfica:

En un estudio estadístico sobre el gasto mensual en ocio de los jóvenes de una ciudad, se ha determinado que la media es de $45\,000$ pesos con un error máximo de $12\,000$ pesos.

1. a) Expresa esta situación mediante un entorno $E(a, r)$.
2. b) Escribe la desigualdad con valor absoluto correspondiente.
3. c) ¿Podría un joven que gasta $32\,000$ pesos mensuales estar incluido en este grupo de estudio? Justifica tu respuesta.

En un control de calidad de una empresa de componentes electrónicos, se acepta que una resistencia de $1500 \Omega$ sea válida si su valor real $R$ no difiere del nominal en más de un $2\%$.

1. a) Escribe una desigualdad utilizando el valor absoluto que represente los valores de $R$ aceptables.
2. b) Determina el intervalo de valores de $R$ que harían que el componente fuera rechazado por exceso.

Expresa mediante una única desigualdad con valor absoluto el conjunto de puntos representados por la unión de los siguientes dos intervalos:

Dadas las siguientes desigualdades, identifica cuál de ellas define un entorno de centro $a = -2$ y radio $r = 3$:

1. a) $|x - 2| < 3$

1. b) $|x + 2| < 3$

1. c) $|x - 3| < 2$

Una vez identificada, escribe el conjunto complementario de ese entorno en la recta real como unión de intervalos. Explica también cómo lo representarías sobre la recta: qué extremos van cerrados o abiertos y hacia dónde se extiende cada parte.

Considera los puntos $A$ y $B$ en la recta real tales que sus coordenadas son las soluciones de la ecuación $|x + 4| = 6$.

Sea $P$ un punto cualquiera de la recta real con coordenada $x$. Escribe una expresión con valor absoluto que represente la condición: "La distancia de $P$ al punto medio del segmento $AB$ es inferior a 2 unidades". Resuelve dicha inecuación.

Halla el intervalo resultante de la siguiente condición combinada y represéntalo gráficamente:

Determina el conjunto de números reales $x$ que cumplen simultáneamente las siguientes dos condiciones de distancia en la recta real. Expresa el resultado final utilizando únicamente la notación de intervalos:

1. La distancia entre $x$ y $2$ es menor o igual que $5$.

2. La distancia entre $x$ y $-1$ es estrictamente mayor que $2$.

En la recta de la figura se han marcado los dos puntos de referencia, $-1$ y $2$.

Un analista financiero observa que el precio de una criptomoneda ha fluctuado siguiendo la regla $|P - 450| < 75$, donde $P$ es el precio en pesos. Al mismo tiempo, otra fuente indica que por razones de seguridad, la inversión solo es recomendable si $|P - 500| > 50$.

Determiná el intervalo de precios en los que se cumplen ambas condiciones para realizar una inversión segura según estos datos.

Determina el conjunto de números reales $x$ que satisfacen la siguiente condición de valor absoluto anidado:

1. a) Resuelve la desigualdad y expresa el resultado con notación de intervalos.

1. b) Representa el conjunto solución en la recta real (puedes usar como guía la recta de la figura, que está sin completar).

1. c) Describe la solución como una unión de entornos (cerrados), indicando el centro y el radio de cada uno.