Aproximación de la binomial mediante la normal
Una fábrica de alfajores de Mar del Plata sabe que el $5\,\%$ de su producción sale defectuosa. En una producción de $600$ alfajores, ¿cuál es la probabilidad de que haya entre $25$ y $35$ defectuosos? Es una binomial $B(600; 0{,}05)$, pero sumar a mano cada caso con $\binom{600}{k}$ sería una locura. Cuando $n$ es grande, la binomial se puede aproximar por una normal, y el problema se resuelve con la tabla de la $N(0;1)$ que ya conocés.
Por qué aproximar una binomial por una normal
Cuando $n$ crece, el histograma de una binomial $B(n; p)$ se parece cada vez más a una campana de Gauss: las barras se vuelven angostas y su contorno dibuja la misma forma simétrica que la normal.
Un lanzador de tiros libres de básquet tiene una probabilidad de acierto de $p = 0,8$. Si realiza $n = 100$ lanzamientos, queremos saber si podemos aproximar la variable…
Un lanzador de tiros libres de básquet tiene una probabilidad de acierto de $p = 0,8$. Si realiza $n = 100$ lanzamientos, queremos saber si podemos aproximar la variable binomial $X$ (número de aciertos) por una distribución normal.
- a) Comprobá si se cumplen las condiciones $n \cdot p \ge 5$ y $n \cdot q \ge 5$.
- b) En caso afirmativo, indicá cuáles serían los parámetros $\mu$ y $\sigma$ de la nueva distribución normal $X'$.
Condiciones y parámetros de la aproximación
No siempre se puede aproximar: si $p$ está muy cerca de $0$ o de $1$ y $n$ no es muy grande, el histograma queda muy asimétrico y la campana no se ajusta bien.
Se lanza una moneda equilibrada ($p = 0,5$) al aire $400$ veces. Calcula la probabilidad de obtener menos de $190$ caras utilizando la aproximación de la binomial a la…
Se lanza una moneda equilibrada ($p = 0,5$) al aire $400$ veces. Calcula la probabilidad de obtener menos de $190$ caras utilizando la aproximación de la binomial a la normal (sin aplicar todavía la corrección de continuidad).
Paso 1: Calcula la media $\mu$ y la desviación típica $\sigma$.
Paso 2: Tipifica el valor $X = 190$ y busca en la tabla.
La corrección de continuidad
La binomial solo toma valores enteros ($0, 1, 2, \dots$), pero la normal es continua: para un valor exacto, $P(X' = 65)$ valdría $0$ (el área de una sola línea es nula). Por eso, antes de tipificar, cada entero $k$ se «ensancha» al intervalo $[k - 0{,}5;\ k + 0{,}5]$. Esto se llama corrección de continuidad (o de Yates).
En una plataforma de streaming, el $15\%$ de los usuarios cancela su suscripción antes de terminar el mes de prueba. Si este mes se han apuntado $400$ nuevos usuarios,…
En una plataforma de streaming, el $15\%$ de los usuarios cancela su suscripción antes de terminar el mes de prueba. Si este mes se han apuntado $400$ nuevos usuarios, calcula, utilizando la aproximación normal con corrección de continuidad, la probabilidad de que se den de baja exactamente $65$ usuarios.
Resolver problemas completos: «menos de», «más de», «entre»
Ahora juntamos todo: comprobar condiciones, hallar $\mu$ y $\sigma$, aplicar la corrección según lo que se pida, tipificar y leer la tabla.
Reciclaje: $p = 0{,}35$ y $n = 120$. ¿Cuánto vale $P(40 \leq X \leq 50)$? La zona sombreada, bajo la curva, es la que hay que calcular.
Un estudio sobre hábitos de reciclaje afirma que el $35\%$ de los hogares de una ciudad separa correctamente el plástico. Si se selecciona una muestra aleatoria de $120$…
Un estudio sobre hábitos de reciclaje afirma que el $35\%$ de los hogares de una ciudad separa correctamente el plástico. Si se selecciona una muestra aleatoria de $120$ hogares:
- a) Justifica por qué se puede aproximar este experimento por una distribución normal.
- b) Calcula la probabilidad de que, en esa muestra, separen el plástico entre $40$ y $50$ hogares (ambos inclusive).
Se realizó una encuesta sobre hábitos deportivos y se sabe que el $30\%$ de los adolescentes argentinos practica algún deporte de equipo federado. Si seleccionamos una…
Se realizó una encuesta sobre hábitos deportivos y se sabe que el $30\%$ de los adolescentes argentinos practica algún deporte de equipo federado. Si seleccionamos una muestra aleatoria de $200$ adolescentes:
- a) Justificá si es posible aproximar la distribución de la variable "número de adolescentes que practican un deporte de equipo federado" mediante una distribución normal.
- b) Utilizando dicha aproximación (con la corrección de continuidad de Yates), calculá la probabilidad de que más de $70$ adolescentes de la muestra practiquen un deporte de equipo federado.
Un estudio sobre hábitos de lectura en adolescentes revela que el 70 % de los jóvenes de entre 15 y 16 años prefiere el formato digital sobre el papel. Si seleccionamos…
Un estudio sobre hábitos de lectura en adolescentes revela que el 70 % de los jóvenes de entre 15 y 16 años prefiere el formato digital sobre el papel. Si seleccionamos una muestra aleatoria de 400 adolescentes:
- a) Justifica si es posible aproximar la distribución de la variable "número de adolescentes que prefieren el formato digital" mediante una distribución normal.
- b) Calcula, utilizando la aproximación anterior y realizando la corrección de continuidad, la probabilidad de que prefieran el formato digital entre 270 y 290 adolescentes (ambos inclusive).
Problemas más exigentes: intervalos típicos y percentiles
Algunos problemas piden además la regla $\mu \pm 2\sigma$ o un percentil (el valor que deja una probabilidad dada a un lado).
Se lanza una moneda trucada 500 veces, en la que la probabilidad de obtener cara es de 0,4. Calcula la probabilidad de obtener: a) Exactamente 200 caras. b) Más de 215…
Se lanza una moneda trucada 500 veces, en la que la probabilidad de obtener cara es de 0,4. Calcula la probabilidad de obtener:
- a) Exactamente 200 caras.
- b) Más de 215 caras.
- c) Menos de 185 caras.
Nota: Utiliza la aproximación a la normal con la corrección de continuidad de Yates.
El 5 % de las piezas fabricadas por una máquina de alta precisión resultan defectuosas. Si se empaquetan en cajas de 200 unidades, calcula la probabilidad de que en una…
El 5 % de las piezas fabricadas por una máquina de alta precisión resultan defectuosas. Si se empaquetan en cajas de 200 unidades, calcula la probabilidad de que en una caja:
- a) Haya exactamente 10 piezas defectuosas.
- b) Haya más de 15 piezas defectuosas.
- c) El número de piezas defectuosas sea menor o igual a 5.
Argumenta si los resultados serían significativamente distintos si no se aplicara la corrección de continuidad.
En un examen de tipo test con 100 preguntas, cada una con 4 opciones de respuesta (solo una correcta), un alumno contesta a todas las preguntas al azar. Sea $X$ el…
En un examen de tipo test con 100 preguntas, cada una con 4 opciones de respuesta (solo una correcta), un alumno contesta a todas las preguntas al azar. Sea $X$ el número de preguntas que acierta. Puedes aproximar la distribución de $X$ por una normal con la misma media y la misma desviación típica.
- a) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte más de 30 preguntas?
- b) Si para aprobar el examen se necesita obtener al menos 40 aciertos, ¿cuál es la probabilidad de que el alumno apruebe por puro azar?
- c) Calcula el intervalo $(np - 2\sigma,\ np + 2\sigma)$, donde $n$ es el número de preguntas, $p$ la probabilidad de acertar una pregunta al azar y $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ la desviación típica de $X$. Interpreta su significado en este contexto.
Una cadena de gimnasios sabe que el 20 % de sus clientes inscritos no acude nunca a las instalaciones. Si en un gimnasio concreto hay 600 inscritos: a) Calcula la…
Una cadena de gimnasios sabe que el 20 % de sus clientes inscritos no acude nunca a las instalaciones. Si en un gimnasio concreto hay 600 inscritos:
- a) Calcula la probabilidad de que el número de clientes que nunca acuden esté entre 110 y 135 inclusive.
- b) Si el gimnasio decide lanzar una campaña de motivación para estos clientes si el número de "inactivos" supera los 140, ¿qué probabilidad hay de que tengan que lanzar dicha campaña?
- c) ¿Cuál es el número máximo de clientes inactivos que se espera encontrar con una probabilidad del 90 %?
En una red social de microblogging, la probabilidad de que un mensaje publicado se convierta en "viral" (más de $10.000$ compartidos) es de $0,004$. Un analista de datos…
En una red social de microblogging, la probabilidad de que un mensaje publicado se convierta en "viral" (más de $10.000$ compartidos) es de $0,004$. Un analista de datos estudia una muestra aleatoria de $2.500$ mensajes publicados en un día.
Utilizando la aproximación de la distribución binomial a la normal (con la corrección de continuidad correspondiente), calcula la probabilidad de que en esa muestra:
- a) Haya exactamente $12$ mensajes virales.
- b) Haya entre $8$ y $15$ mensajes virales (ambos inclusive).
Volvé al principio: para los alfajores, $B(600; 0{,}05)$ tiene $\mu = 30$ y $\sigma = \sqrt{28{,}5} \approx 5{,}34$. Con la corrección, $P(25 \leq X \leq 35) \to P(24{,}5 \leq X' \leq 35{,}5) = P(-1{,}03 \leq Z \leq 1{,}03) = 2 \cdot 0{,}8485 - 1 = 0{,}6970$: un $69{,}7\,\%$.