Sucesiones aritméticas
Valentina deposita plata en un plazo fijo que paga siempre los mismos intereses cada año, y su hermano Thiago recibe una mensualidad que sube $\$\,2.000$ cada mes. En los dos casos algo crece "lo mismo" en cada paso. Al final de la página vas a poder responder: ¿cuándo le conviene a cada uno su plan?
Término general y recurrencia
La recurrencia dice cómo pasar de un término al siguiente. El término general permite saltar directo al lugar que quieras. Sale de la recurrencia: para llegar de $a_1$ a $a_n$ das $n-1$ pasos, y en cada uno sumás $d$.
Indica cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas y, en su caso, da la diferencia: a) $4, 7, 10, 13, \ldots$ b) $2, 4, 8, 16, \ldots$ c)…
Indica cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas y, en su caso, da la diferencia:
- a) $4, 7, 10, 13, \ldots$
- b) $2, 4, 8, 16, \ldots$
- c) $20, 17, 14, 11, \ldots$
- d) $1, 1, 1, 1, \ldots$
- e) $3, 7, 12, 18, \ldots$
Una progresión aritmética tiene primer término $a_1 = 5$ y diferencia $d = 3$. a) Escribe sus cinco primeros términos. b) Escribe el término general $a_n$. c) Calcula…
Una progresión aritmética tiene primer término $a_1 = 5$ y diferencia $d = 3$.
- a) Escribe sus cinco primeros términos.
- b) Escribe el término general $a_n$.
- c) Calcula $a_{10}$.
En una progresión aritmética, $a_1 = 2$ y $a_5 = 14$. a) Calcula la diferencia. b) Escribe el término general. c) ¿Qué lugar ocupa el término $26$?
En una progresión aritmética, $a_1 = 2$ y $a_5 = 14$.
- a) Calcula la diferencia.
- b) Escribe el término general.
- c) ¿Qué lugar ocupa el término $26$?
Un término se obtiene de otros
Si conocés dos términos, la diferencia se calcula repartiendo el salto en los pasos que hay entre ellos: $d=\dfrac{a_m-a_k}{m-k}$. Así, en el ejercicio de $a_1=2$ y $a_5=14$ hay $4$ pasos y $d=\dfrac{14-2}{4}=3$.
También: tres números $a$, $b$, $c$ consecutivos cumplen $b-a=c-b$, es decir $b=\dfrac{a+c}{2}$. Interpolar $k$ medios aritméticos entre dos números $a$ y $c$ es armar una sucesión aritmética de $k+2$ términos con extremos $a$ y $c$; la diferencia es $d=\dfrac{c-a}{k+1}$.
Interpola cuatro medios aritméticos entre $3$ y $18$ (es decir, construye una progresión aritmética de seis términos cuyos extremos son $3$ y $18$). a) Calcula la…
Interpola cuatro medios aritméticos entre $3$ y $18$ (es decir, construye una progresión aritmética de seis términos cuyos extremos son $3$ y $18$).
- a) Calcula la diferencia de la progresión.
- b) Escribe los seis términos.
- c) Comprueba que la suma de los seis términos coincide con la fórmula $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.
La figura representa con barras los seis primeros términos de una progresión aritmética. a) Lee en el gráfico el primer término $a_1$ y la diferencia $d$, y explica por…
La figura representa con barras los seis primeros términos de una progresión aritmética.
- a) Lee en el gráfico el primer término $a_1$ y la diferencia $d$, y explica por qué las alturas de las barras están alineadas en línea recta.
- b) Escribe el término general $a_n$.
- c) Calcula $a_{20}$ y la suma de los $20$ primeros términos.
El interés simple es una sucesión aritmética
En el interés simple los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial $C_0$ y no se reinvierten. Por eso cada año se suma la misma cantidad.
Una libreta de ahorro al $3 \%$ de interés simple anual parte de un capital de $\$2\,000\,000…
Una libreta de ahorro al $3 \%$ de interés simple anual parte de un capital de $\$2\,000\,000$ que no se reintegra: cada año se añaden los mismos intereses sobre el capital inicial.
- a) ¿Por qué los capitales año a año forman una progresión aritmética? Indica su primer término y su diferencia.
- b) Escribe el término general del capital acumulado al cabo de $n$ años.
- c) ¿Qué capital habrá a los $6$ años? ¿Y a los $15$?
Suma de términos: la suma de Gauss
¿Cuánto se junta en total si ahorrás cantidades que van creciendo? Hay que sumar los términos. Contar a mano es largo; hay un truco.
Escribí la suma $S_n$ dos veces, una al derecho y otra al revés:
$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n$
$S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1$
Sumando columna por columna, cada par vale lo mismo: $a_1+a_n = a_2+a_{n-1}=\dots$ (al avanzar un lugar en un término se suma $d$ y en el otro se resta $d$). Hay $n$ pares, entonces $2S_n = (a_1+a_n)\cdot n$.
Considera la progresión aritmética $3, 7, 11, \ldots$ a) Calcula la suma de sus $10$ primeros términos. b) Comprueba el resultado calculando primero $a_{10}$ y aplicando…
Considera la progresión aritmética $3, 7, 11, \ldots$
- a) Calcula la suma de sus $10$ primeros términos.
- b) Comprueba el resultado calculando primero $a_{10}$ y aplicando la fórmula de la suma.
Para el viaje de fin de curso, una alumna decide ahorrar siguiendo una escalera: $\$10$ la primera semana y cada semana siguiente $\$5$ más que la anterior, como muestra…
Para el viaje de fin de curso, una alumna decide ahorrar siguiendo una escalera: $\$10$ la primera semana y cada semana siguiente $\$5$ más que la anterior, como muestra la figura.
- a) ¿Cuánto ahorrará en la semana $12$?
- b) ¿Cuánto habrá acumulado en total tras esas $12$ semanas?
- c) El viaje cuesta $\$650$. ¿Le llegará con $16$ semanas de ahorro? Justifícalo.
El anfiteatro de un parque tiene $22$ asientos en la primera fila, y cada fila posterior tiene $4$ asientos más que la anterior. a) ¿Cuántos asientos tiene la fila $8$?…
El anfiteatro de un parque tiene $22$ asientos en la primera fila, y cada fila posterior tiene $4$ asientos más que la anterior.
- a) ¿Cuántos asientos tiene la fila $8$?
- b) ¿Cuántos asientos hay en total en las $8$ primeras filas?
- c) Para un concierto se necesitan $600$ localidades. ¿Cuántas filas completas hacen falta como mínimo?
Comparar planes y resolver problemas
Cuando dos planes crecen con distinta diferencia, podés comparar término a término (¿cuándo pagan lo mismo en un mes?) o comparar sumas (¿cuándo uno acumula más que el otro?).
Ahora comparemos lo acumulado. Con las mismas sumas (en miles de pesos): $S_n^A=\dfrac{(20+18+2n)\cdot n}{2}=n^2+19n$ y $S_n^B=\dfrac{(8+5+3n)\cdot n}{2}=\dfrac{3n^2+13n}{2}$.
Igualamos: $n^2+19n=\dfrac{3n^2+13n}{2}\Rightarrow 2n^2+38n=3n^2+13n\Rightarrow n^2-25n=0\Rightarrow n(n-25)=0$. Las soluciones son $n=0$ y $n=25$. Sirve $n=25$: a los $25$ meses los totales acumulados coinciden, y desde el mes $26$ el plan B acumula más que el A.
Considera las progresiones aritméticas $a_n$, con $a_1 = 7$ y diferencia $2$, y $b_n$, con $b_1 = 40$ y diferencia $-1$. a) Escribe el término general de cada una. b)…
Considera las progresiones aritméticas $a_n$, con $a_1 = 7$ y diferencia $2$, y $b_n$, con $b_1 = 40$ y diferencia $-1$.
- a) Escribe el término general de cada una.
- b) ¿Existe algún valor de $n$ para el que $a_n = b_n$? Calcúlalo.
- c) Interpreta el resultado: describe en palabras cómo evoluciona cada progresión y qué significa el término común.
¿Cuántos términos de la progresión aritmética $5, 9, 13, \ldots$ hay que sumar para obtener $377$? a) Escribe el término general $a_n$ y la expresión de la suma $S_n$ de…
¿Cuántos términos de la progresión aritmética $5, 9, 13, \ldots$ hay que sumar para obtener $377$?
- a) Escribe el término general $a_n$ y la expresión de la suma $S_n$ de los $n$ primeros términos.
- b) Plantea la ecuación $S_n = 377$ y resuélvela. ¿Por qué hay que descartar una de las soluciones de la ecuación de segundo grado?
Un padre ofrece a su hija dos planes de paga mensual: Plan A: $\$20\,000$ el primer mes, aumentando $\$2\,000$ cada mes. Plan B: $\$8\,000…
Un padre ofrece a su hija dos planes de paga mensual:
-
Plan A: $\$20\,000$ el primer mes, aumentando $\$2\,000$ cada mes.
-
Plan B: $\$8\,000$ el primer mes, aumentando $\$3\,000$ cada mes.
- a) Escribe el término general de la paga de cada plan en el mes $n$.
- b) ¿En qué mes coincide por primera vez la paga mensual de ambos planes?
- c) ¿En qué mes el total acumulado del plan B supera por primera vez al del plan A? Justifícalo con las fórmulas de la suma y por tanteo razonado.
Demostrar propiedades
Algunos problemas piden justificar. Recordá que tres lados $b-d$, $b$, $b+d$ están en sucesión aritmética de diferencia $d$, y que sumar una constante a todos los términos no cambia las diferencias entre ellos. Para refutar una afirmación basta un contraejemplo; para probarla, usá $a_n=a_1+(n-1)d$ en general.
Las medidas de los tres lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética de diferencia $d > 0$. a) Expresa los tres lados en función del lado medio $b$ y…
Las medidas de los tres lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética de diferencia $d > 0$.
- a) Expresa los tres lados en función del lado medio $b$ y de la diferencia $d$, y aplica el teorema de Pitágoras.
- b) Demuestra que los lados son necesariamente proporcionales a $3$, $4$ y $5$.
- c) Da un ejemplo concreto de triángulo rectángulo cuyos lados forman una progresión aritmética de diferencia $7$.
Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones sobre progresiones aritméticas, demostrándolas o dando un contraejemplo: a) «Tres números $a$, $b$ y $c$…
Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones sobre progresiones aritméticas, demostrándolas o dando un contraejemplo:
- a) «Tres números $a$, $b$ y $c$ están en progresión aritmética si y solo si $b = \frac{a + c}{2}$.»
- b) «En una progresión aritmética, la suma de dos términos equidistantes de los extremos es siempre la misma: $a_1 + a_n = a_2 + a_{n - 1} = a_3 + a_{n - 2} = \ldots$»
- c) «Si se suma una misma cantidad a todos los términos de una progresión aritmética, la diferencia cambia.»
Vuelta al principio: el plazo fijo de Valentina a interés simple crece como una sucesión aritmética de diferencia $C_0\cdot r$, y para comparar con el plan de Thiago basta igualar términos o sumas, como hiciste arriba.