Ejercicios: Sistemas de ecuaciones no lineales

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales utilizando el método de sustitución:

$\begin{cases} y = x^2 - 4 \\ y = x + 2 \end{cases}$

La figura muestra la parábola y la recta correspondientes a las dos ecuaciones.

1. a) Resuelve el sistema por sustitución y calcula las coordenadas de todas las soluciones $(x, y)$.

1. b) Explica brevemente qué representan geométricamente las soluciones obtenidas (puntos de corte entre una parábola y una recta) y comprueba que lo que has obtenido concuerda con la figura.

El perímetro de una zona rectangular destinada a un "escape room" es de $20$ metros y su superficie total es de $24$ metros cuadrados.

Calcula las dimensiones (largo y ancho) de la habitación planteando y resolviendo un sistema de ecuaciones.

Determina dos números naturales sabiendo que su suma es $10$ y que la suma de sus cuadrados es $58$. Para ello, traduce el enunciado a un sistema de ecuaciones y resuélvelo por sustitución.

Halla las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x - y = 1 \end{cases}$

¿A qué figura geométrica corresponde la primera ecuación? ¿Y la segunda?

La diferencia entre dos números es $2$ y su producto es $15$. Calcula dichos números planteando un sistema de ecuaciones.

Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción, aprovechando que ambas incógnitas están elevadas al cuadrado:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases}$

Indica todas las parejas de soluciones $(x, y)$ posibles.

Un joven diseñador gráfico está creando un logo que consiste en una circunferencia centrada en el origen y una línea que la atraviesa. El software de diseño le indica las siguientes ecuaciones para los trazos:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ y = 3x \end{cases}$

Calcula los puntos de intersección donde se cruzan la línea y la circunferencia.

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $5$ cm. Si sabemos que un cateto es $1$ cm más largo que el otro, ¿cuánto miden los dos catetos?

Un dron de vigilancia sigue una trayectoria de seguridad en línea recta descrita por la ecuación $x - y = 1$. Al mismo tiempo, un intruso se desplaza por el perímetro de una zona restringida cuya trayectoria responde a la función parabólica $y = x^2 - 5x + 6$. Determina los puntos exactos del plano donde ambas trayectorias se cruzan para que el dron pueda interceptar al intruso.

La figura muestra las dos trayectorias para que te orientes; las coordenadas de los puntos de cruce las tienes que calcular tú.

Calcula dos números naturales sabiendo que su diferencia es igual a $4$ y que la suma de sus cuadrados es $106$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales y resuélvelo utilizando el método de sustitución.

En el diseño de un nuevo logotipo para una marca de ropa, se utiliza un círculo y una línea recta. El círculo está centrado en el origen y su ecuación es $x^2 + y^2 = 25$. La línea de corte atraviesa el diseño siguiendo la ecuación $2x + y = 1$. Halla los puntos de intersección entre el círculo y la recta que definen los límites del logotipo.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método que consideres más apropiado (sustitución, igualación o reducción):

$\begin{cases} x \cdot y = 12 \\ (x + 2)(y - 1) = 12 \end{cases}$

Un estudio biológico analiza la interacción de dos poblaciones de microorganismos en un laboratorio. El número de individuos de cada población, $x$ e $y$, debe satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:

$\begin{cases} 2^x + 2^y = 10 \\ 2^{x-y} = 4 \end{cases}$

Determina los valores de $x$ e $y$ aplicando un cambio de variable si es necesario.

Dos inversores depositaron sus ahorros en diferentes criptomonedas. La relación entre sus ganancias mensuales ($x$ e $y$, expresadas en miles de pesos) está dada por un sistema logarítmico:

$\begin{cases} \log(x) + \log(y) = \log(6) \\ x - 2y = 1 \end{cases}$

Calculá cuánto ganó cada inversor este mes sabiendo que las ganancias deben ser valores positivos.

El área de un jardín rectangular es de $180 \text{ m}^2$. Si se aumenta su base en $2 \text{ metros}$ y se disminuye su altura en $3 \text{ metros}$, el área resultante sigue siendo de $180 \text{ m}^2$. Calcula las dimensiones originales (base y altura) del jardín.

Resuelve el sistema de ecuaciones con fracciones algebraicas, realizando las transformaciones necesarias para obtener una ecuación polinómica:

$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{6} \\ x + y = 5 \end{cases}$

Un estudio de diseño gráfico está creando un nuevo logotipo circular atravesado por una línea recta. La circunferencia del logotipo viene definida por la ecuación $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0$, mientras que la línea de corte sigue la recta de ecuación $y - x = 2$. Determina mediante un sistema de ecuaciones no lineal los puntos de intersección donde la línea corta al círculo para colocar unos nodos de anclaje.

Una tienda online de remeras personalizadas determinó que el beneficio neto diario $B$ (en cientos de pesos) y la cantidad de remeras vendidas $x$ están relacionados por dos modelos de optimización diferentes. El primer modelo sugiere que $B + x^2 = 10x + 11$, mientras que el segundo modelo, basado en costos variables, establece que $B - 2x = -5$. Calculá los valores de ventas $x$ para los cuales ambos modelos coinciden en el mismo beneficio neto.

Calcula las dimensiones de un jardín rectangular sabiendo que su diagonal mide exactamente $\sqrt{113}$ metros y que, si aumentásemos su base en 2 metros y disminuyésemos su altura en 1 metro, el área total no variaría. Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones correspondiente.

En un laboratorio de biotecnología, el crecimiento de dos poblaciones de bacterias sigue patrones distintos. La población $A$ se rige por la expresión $2^x - 3^y = 7$, mientras que la relación de sus densidades en un momento crítico del experimento cumple que $2^{x+1} + 3^{y+1} = 59$. Halla los valores de $x$ e $y$ resolviendo el sistema mediante un cambio de variable adecuado.

Halla dos números enteros tales que la diferencia de sus cuadrados sea 56 y que la suma de sus inversos sea igual a $\frac{1}{45}$ multiplicado por la suma de los números originales.

Un proyectil es lanzado siguiendo una trayectoria parabólica dada por la ecuación $y = -x^2 + 8x - 7$. Al mismo tiempo, un rayo láser de seguimiento se activa desde el origen de coordenadas siguiendo la trayectoria lineal $y = 2x$. Determina los puntos del espacio (coordenadas $x, y$) en los que el rayo láser intercepta al proyectil.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales que involucra términos racionales y cuadráticos:

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{10}{3} \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}$

Nota: Realiza un cambio de variable para la primera ecuación para simplificar el proceso.

Se desea construir un marco de madera para un espejo rectangular de modo que el área total (espejo más marco) sea de $4000 \text{ cm}^2$. El espejo tiene una superficie de $2800 \text{ cm}^2$. Si el marco tiene un ancho constante de $5 \text{ cm}$ en todos sus lados, calcula las dimensiones exteriores del marco (largo y ancho totales).