Logaritmos

En un laboratorio de biología, se estima que el número de bacterias en una muestra crece muy rápido. Expresa los siguientes datos utilizando notación científica:

1. a) El número de bacterias después de una semana es de $450.000.000$.
2. b) El tamaño de una bacteria individual es de $0,0000000025$ metros.
3. c) La masa de la muestra procesada es de $0,00034$ gramos.

Un topógrafo mide la longitud de una parcela destinada a un nuevo parque central y obtiene un valor de $154,7$ metros. Si la medida real exacta es de $154,728$ metros, calcula:

1. a) El error absoluto cometido en la medición.
2. b) El error relativo cometido, expresado en porcentaje y redondeado a dos cifras decimales.

Un laboratorio de biotecnología mide el tamaño de una proteína como $4,25 \cdot 10^{-9}$ metros con un error máximo del $2\%$. Simultáneamente, miden la distancia entre dos células como $0,00034$ metros con un error absoluto de $1,5 \cdot 10^{-6}$ metros.

1. a) Calcula el error relativo de ambas medidas en notación científica.
2. b) Determina razonadamente cuál de las dos medidas es más precisa.
3. c) Si se sumaran ambas longitudes, ¿cuál sería la cota del error absoluto de la suma?

Para comprender la relación entre potencias y logaritmos, completa la siguiente tabla transformando cada igualdad exponencial en su forma logarítmica correspondiente, basándote en la definición $\log_a b = x \iff a^x = b$:

Forma Exponencial	Forma Logarítmica
$2^5 = 32$	$\log_2 32 = 5$
$3^4 = 81$
$10^{-2} = 0,01$
$5^3 = 125$
$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

Calcula el valor exacto de los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora, aplicando directamente la definición:

1. a) $\log_2 16$
2. b) $\log_3 27$
3. c) $\log_{10} 1000$
4. d) $\log_5 (\frac{1}{5})$
5. e) $\log_7 1$

Calcula el valor de las siguientes expresiones utilizando exclusivamente la definición de logaritmo, sin usar la calculadora:

1. a) $\log_{3}\left(\frac{1}{243}\right)$

1. b) $\log_{\sqrt{2}}(32)$

1. c) $\log_{5}(\sqrt[3]{25})$

Sabiendo que $\log k = 0,6$, utiliza las propiedades de los logaritmos (logaritmo de un producto, de un cociente y de una potencia) para calcular el valor de las siguientes expresiones:

1. a) $\log (10 \cdot k)$
2. b) $\log (k^2)$
3. c) $\log (\frac{k}{100})$

Sabiendo que los logaritmos decimales de 2 y 3 son aproximadamente $\log 2 \approx 0,3010$ y $\log 3 \approx 0,4771$, utiliza las propiedades de los logaritmos para estimar el valor de:

1. a) $\log(1,2)$

1. b) $\log(\sqrt{18})$

1. c) $\log(25)$ (Pista: relaciona el 5 con el 10 y el 2).

Desarrolla las siguientes expresiones utilizando las propiedades de los logaritmos, de modo que el resultado final solo contenga logaritmos de variables simples:

1. a) $\log \left( \frac{100 \cdot x^2}{\sqrt{y}} \right)$

1. b) $\ln \left( \frac{e^3 \cdot a}{b^2 \cdot c} \right)$

Sabiendo que $\log_k a = 2$ y $\log_k b = 5$, utiliza las propiedades de los logaritmos para hallar el valor exacto de la siguiente expresión sin calcular el valor de $k$, $a$ ni $b$:

$$\log_k \left( \frac{\sqrt[3]{a \cdot k^2}}{b^3} \right)^2$$

Dada la expresión del número de oro $\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, demuestra mediante el uso de logaritmos y propiedades de potencias que se cumple la siguiente igualdad:

$$\log_{\Phi} (\Phi^n + \Phi^{n+1}) = n + 2$$

Utiliza la fórmula del cambio de base y tu calculadora para resolver las siguientes cuestiones:

1. a) Calcula con cuatro cifras decimales el valor de $\log_{2}(15) + \log_{5}(2)$.

1. b) Resuelve la ecuación exponencial $4^{x+1} = 125$. Redondea el resultado a las centésimas.

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas aplicando las propiedades para unificar los términos y comprueba la validez de las soluciones obtenidas:

1. a) $2 \log(x) - \log(x + 6) = 0$

1. b) $\log(x+3) + \log(x) = 1$

Resuelve la siguiente ecuación logarítmica asegurándote de comprobar la validez de las soluciones obtenidas en el dominio de definición:

$$2\log(x) - \log(x - 16) = 2$$

Contextualiza el problema: Si $x$ representara el número de usuarios en miles de una nueva red social, ¿tendrían sentido ambas soluciones matemáticas en el mundo real?

La intensidad del sonido se mide en decibelios ($dB$) mediante una escala logarítmica. Si la fórmula simplificada para comparar dos sonidos es $dB = 10 \cdot \log_{10}(\frac{I}{I_0})$, donde $I_0$ es el umbral de audición, calcula cuántos decibelios corresponden a:

1. a) Un sonido cuya intensidad $I$ es $100$ veces mayor que $I_0$.
2. b) Un sonido cuya intensidad $I$ es $10.000$ veces mayor que $I_0$.

En el laboratorio de química, el nivel de acidez de una sustancia se mide mediante el $pH$, que se define como $pH = -\log[H^{+}]$, donde $[H^{+}]$ es la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro.

Si una bebida refrescante tiene una concentración $[H^{+}] = 2,5 \cdot 10^{-4}$ y un agua mineral tiene un $pH = 6,2$:

1. a) Calcula el $pH$ de la bebida refrescante.
2. b) Determina la concentración de iones de hidrógeno $[H^{+}]$ del agua mineral.

Un inversor deposita $5\,000\,000$ pesos en un fondo de inversión que ofrece un interés compuesto del $3,5 \%$ anual. El montante final $M$ tras un tiempo $t$ en años viene dado por la fórmula $M = C \cdot (1+i)^t$.

¿Cuántos años deberán transcurrir para que el inversor alcance un montante de $8\,000\,000$ pesos? Expresa el resultado redondeando a las unidades.

La magnitud $M$ de un terremoto en la escala de Richter se relaciona con la energía liberada $E$ (en julios) mediante la fórmula:

$\log E = 1,5 \cdot M + 4,8$

En la figura tienes la gráfica de esta relación (magnitud $M$ en el eje horizontal y $\log E$ en el eje vertical). Calcula con la fórmula; la gráfica solo te sirve para comprobar que el resultado es razonable.

1. a) Si un terremoto tiene magnitud $M = 5$, ¿cuánta energía libera?

1. b) Si un terremoto libera $10^{15}$ julios de energía, ¿cuál es su magnitud en la escala Richter?

La escala de magnitud de momento ($M_w$), utilizada para medir la energía de los terremotos, se define como:

$$M_w = \frac{2}{3} \log_{10}(E) - 7,9$$

Donde $E$ es la energía liberada en ergios.

La figura muestra, de forma esquemática, cómo crece $\log_{10}(E)$ con la magnitud $M_w$ y señala los dos terremotos de los apartados.

1. a) Si un terremoto de magnitud $6,5$ se considera "fuerte", calcula la energía $E_1$ que libera, en notación científica.

1. b) ¿Cuántas veces más energía libera un terremoto de magnitud $8,5$ ($E_2$) comparado con uno de magnitud $6,5$ ($E_1$)? Expresa la relación como una potencia de base 10.

Un inversor coloca $\$15\,000\,000$ en un producto financiero que ofrece un interés compuesto nominal del $4,5\%$ anual con capitalización mensual.

1. a) Utilizando logaritmos, calcula exactamente cuántos meses deben transcurrir para que el capital final sea el triple del inicial.
2. b) Calcula la Tasa Anual Equivalente (TAE) de esta operación y exprésala como porcentaje con dos decimales. ¿Qué significa este valor respecto al $4,5\%$ nominal?