Tasa de variación media y análisis marginal

Calcula la tasa de variación media de $f(x) = x^{2}$ en el intervalo $[1, 3]$.

Calcula la tasa de variación media de $f(x) = 2x + 1$ en los intervalos $[0, 4]$ y $[-2, 5]$. ¿Qué observas? ¿A qué se debe?

La figura muestra la gráfica de una función y la recta secante que une los puntos $A(1, 2)$ y $B(4, 8)$.

1. a) Lee en la figura las variaciones $\Delta x$ y $\Delta y$ y calcula $\text{TVM}[1, 4]$.

1. b) ¿Qué relación hay entre esa tasa y la pendiente de la recta secante dibujada?

1. c) Escribe la ecuación de la recta secante que pasa por $A$ y $B$.

Sin hacer cálculos, contesta razonadamente:

1. a) Si $\text{TVM}[a, b] < 0$, ¿la función ha subido o ha bajado en conjunto entre $a$ y $b$?

1. b) ¿Puede ser negativa la tasa de variación media en un intervalo y, a la vez, ser $f(b) > f(a)$? Justifícalo.

La gráfica muestra la temperatura de una ciudad a lo largo de un día.

1. a) Lee los valores aproximados de temperatura a las $6$ y a las $10$ horas y calcula la tasa de variación media en ese intervalo, en °C/h.

1. b) Haz lo mismo para el intervalo de $18$ a $22$ horas.

1. c) Compara los dos resultados: ¿qué indican sus signos sobre lo que ocurría con la temperatura en cada franja?

Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones, demostrándolas o dando un contraejemplo:

1. a) «Si $f$ es una función par (simétrica respecto del eje $Y$), entonces $\text{TVM}[-a, a] = 0$ para todo $a$ de su dominio.»

1. b) «Si $\text{TVM}[a, b] = 0$, entonces la función es constante en $[a, b]$.»

1. c) «Si $\text{TVM}[a, b] > 0$, entonces $f$ es creciente en todo el intervalo $[a, b]$.»

Calcula la tasa de variación media de $f(x) = x^{2} - 2x$ en el intervalo $[0, 2]$ y explica por qué el resultado es $0$ aunque la función no sea constante en ese intervalo.

Sea $f(x) = \frac{1}{x}$.

1. a) Calcula $\text{TVM}[1, 2]$.

1. b) Calcula $\text{TVM}[1, 1 + h]$ en función de $h$ y simplifica la expresión.

1. c) ¿A qué valor tiende la expresión anterior cuando $h \to 0$? ¿Qué significa ese valor?

Halla el valor del parámetro $a$ para que la tasa de variación media de $f(x) = x^{2} + ax$ en el intervalo $[0, 2]$ sea igual a $5$. Comprueba el resultado.

Escribe, usando la definición de derivada como límite, la expresión de $f'(2)$ para la función $f(x) = x^{2} + 1$ (no hace falta resolver el límite).

Calcula, aplicando la definición con límites, la derivada de $f(x) = 3x - 2$ en $x = 1$. ¿Depende el resultado del punto elegido? ¿Por qué?

La figura ilustra cómo las rectas secantes que pasan por un punto fijo $P$ de la gráfica de $f(x) = x^{2} + 1$ se acercan a la recta tangente en $P$ cuando el segundo punto, $Q$, se aproxima a $P$.

Sea $f(x) = x^{2} + 1$ y $P = (2, 5)$. Recuerda que la tasa de variación media en un intervalo $[a, b]$ es

y coincide con la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos de abscisas $a$ y $b$.

1. a) Completa la siguiente tabla de $\text{TVM}[2, 2 + h]$ (calcula $f(2+h)$ y después la tasa):

1. b) ¿A qué número se acercan las tasas cuando $h$ se hace cada vez más pequeño? ¿Qué representa ese número respecto a la recta tangente en $P$?

1. c) Escribe la ecuación de la recta tangente en $P$.

1. a) Demuestra que la tasa de variación media de una función lineal $f(x) = mx + n$ en cualquier intervalo $[a, b]$ es constante e igual a su pendiente $m$.

1. b) Demuestra que para $f(x) = x^{2}$ se verifica $\text{TVM}[a, a + h] = 2a + h$, y deduce, haciendo $h \to 0$, que $f'(a) = 2a$.

Un alumno calcula la derivada de $f(x) = x^{2}$ en $x = 2$ escribiendo:

«$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2) + h - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1$»

1. a) Explica el error que ha cometido al aplicar la definición.

1. b) Escribe el cálculo correcto y halla el valor verdadero de $f'(2)$.

1. c) Comprueba el resultado calculando $\text{TVM}[2, 2 + h]$ para $h = 0,1$ y para $h = 0,01$, y comenta a qué valor se acercan.

1. a) Calcula, aplicando la definición con límites, la derivada de $f(x) = x^{2} + x$ en el punto $x = 1$.

1. b) Escribe la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(1, f(1))$.

1. c) Comprueba gráficamente el resultado: representa la parábola y la tangente en los alrededores de $x = 1$ y verifica que la recta «roza» la curva sin cortarla en ese punto.

La figura muestra, en el panel A, la gráfica de una función polinómica con un máximo relativo en $x = 1$ y un mínimo relativo en $x = 3$; el panel B contiene solo los ejes, listos para dibujar.

1. a) Indica los intervalos donde $f'(x)$ es positiva y donde es negativa, razonándolo a partir del crecimiento de $f$.

1. b) ¿En qué puntos se anula $f'$?

1. c) Esboza en el panel B la gráfica de $f'$, explicando la forma que has dibujado y por qué corta al eje $X$ donde lo hace.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

La figura muestra la distancia recorrida por un ciclista en función del tiempo.

1. a) Lee en la gráfica la distancia recorrida en la primera hora y calcula su velocidad media en esa hora.

1. b) Calcula su velocidad media entre la hora $1$ y la hora $3$.

1. c) ¿En qué tramo fue más rápido? Relaciónalo con la inclinación de la curva.

Un paracaidista salta desde un globo y, antes de abrir el paracaídas, la distancia caída sigue aproximadamente el modelo $e(t) = 2t^{2} + t$, en metros, con $t$ en segundos.

1. a) Calcula su velocidad media entre los segundos $1$ y $3$.

1. b) Calcula su velocidad instantánea en el segundo $2$.

1. c) ¿En qué momento la velocidad instantánea coincide con la velocidad media del intervalo $[1, 3]$? Calcúlalo y comenta el resultado.

La posición de un ciclista en una recta viene dada por $e(t) = t^{3} - 6t^{2} + 9t$, en metros, con $t$ en segundos y $0 \leq t \leq 4$.

1. a) Calcula su velocidad media en los intervalos $[0, 2]$ y $[2, 4]$. ¿Qué indica el signo de cada una?

1. b) Calcula la velocidad instantánea $v(t) = e'(t)$.

1. c) ¿En qué instantes del trayecto la velocidad instantánea es nula? Describe qué hace el ciclista en esos momentos.

Una empresa que fabrica mochilas tiene una función de costo total $C(q) = 20q^{2} + 10\,000q + 800\,000$, en pesos, donde $q$ es el número de mochilas producidas al mes. La figura muestra la curva de costo y la tangente en $q = 60$.

1. a) Calculá el costo real de producir la mochila número $61$: $C(61) - C(60)$.

1. b) Calculá el costo marginal $C'(60)$ como aproximación del costo de esa unidad adicional.

1. c) Compará ambos valores y explicá por qué los economistas usan la derivada como «costo marginal».

Un taller fabrica $q$ bicicletas al mes con unos ingresos $I(q) = 50\,000q - 100q^{2}$ y unos costos $C(q) = 20\,000q + 1\,000\,000$, en miles de pesos.

1. a) Calculá el ingreso marginal $I'(q)$ y evalualo en $q = 100$. ¿Qué significa su valor?

1. b) Calculá el beneficio marginal $B'(q)$, donde $B(q) = I(q) - C(q)$, y hallá para qué valor de $q$ se anula.

1. c) Explicá, usando el signo del beneficio marginal antes y después de ese valor, por qué corresponde al beneficio máximo.

La tasa de variación media de la población de un pueblo entre 2010 y 2020 ha sido de $1.200$ habitantes por año. Explica con tus palabras qué significa ese dato y calcula cuánto creció la población en esa década.

La cotización de una acción al cierre de cada día de una semana fue: lunes $\$10\,400$; martes $\$10\,120$; miércoles $\$10\,350$; jueves $\$10\,800$; viernes $\$10\,550$.

1. a) Calculá la variación diaria (absoluta y porcentual) de cada jornada, redondeando a los centésimos.

1. b) Calculá la variación total de la semana y la tasa de variación media diaria, en pesos por día.

1. c) Un titular afirma: «la acción subió en promedio un $0,4 \%$ diario». Comprobá si es cierto usando la variación porcentual media y comentá qué medida —absoluta o porcentual— informa mejor al inversor.

La población de una especie protegida en un parque nacional sigue el modelo $P(t) = 12.000 \cdot 1,02^{t}$, con $t$ en años.

1. a) Calcula la tasa de variación media de la población en el intervalo $[0, 5]$, en individuos por año, redondeada a las unidades.

1. b) Calcula la tasa de variación media relativa (porcentual) anual en ese intervalo, $\frac{P(5)-P(0)}{5 \cdot P(0)}$, y compárala con el $2 \%$. ¿A qué se debe la diferencia?

1. c) Demuestra que en cualquier modelo exponencial $P(t) = P_0 \cdot a^{t}$ la tasa de variación relativa anual es constante, mientras que la absoluta crece con el tiempo. ¿Qué implica esto para las previsiones?