Amortización de préstamos
Thiago quiere comprarse una moto y en la concesionaria le dicen: «Te la financiamos con cuota fija de tanto por mes». ¿Cómo se calcula esa cuota? ¿Por qué en los primeros meses parece que la deuda casi no baja? Todo se explica con las sucesiones geométricas que ya conocés, aplicadas a la plata que debés.
Los elementos de un préstamo
Un banco o una financiera te presta un capital y vos lo devolvés en pagos periódicos. En el sistema francés todas las cuotas son iguales. Para trabajar necesitás identificar cuatro datos:
Los bancos publican la TNA (tasa nominal anual). Para pasar a la tasa del período se divide por la cantidad de pagos por año:
$$i = \frac{\text{TNA}}{k}$$Por ejemplo, con una TNA del $12\,\%$ y pagos mensuales, $i = \dfrac{0{,}12}{12} = 0{,}01$, o sea $1\,\%$ mensual.
La línea de tiempo muestra el dinero que entra (el préstamo, en el instante $0$) y el que sale (las cuotas $a$, al final de cada período).
Para celebrar el final de los exámenes, un grupo de amigos decide financiar la compra de un equipo de sonido para su local valorado en $\$1500…
Para celebrar el final de los exámenes, un grupo de amigos decide financiar la compra de un equipo de sonido para su local valorado en $\$1500$. El banco les ofrece un préstamo a un tipo de interés nominal anual del $6 \%$ que deberán devolver en cuotas mensuales durante un año. La figura resume la situación. Identifica los elementos del préstamo para poder aplicar la fórmula de la renta constante:
-
Capital inicial ($C$)
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Número de pagos anuales ($k$)
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Número total de cuotas ($n$)
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Tipo de interés mensual ($i$) expresado en tanto por uno.
Un estudiante de secundaria quiere comprarse una bicicleta eléctrica de montaña que cuesta $\$2\,400\,000$. El negocio le ofrece una financiación al $4,8 \%…
Un estudiante de secundaria quiere comprarse una bicicleta eléctrica de montaña que cuesta $\$2\,400\,000$. El negocio le ofrece una financiación al $4,8 \%$ de interés nominal anual repartido en cuotas mensuales. Calculá cuál será la tasa de interés mensual ($i$) que se aplicará en cada cuota y expresala tanto en porcentaje como en tanto por uno.
Dibuja una línea de tiempo que represente el proceso de amortización de un préstamo de $\$1.200…
Dibuja una línea de tiempo que represente el proceso de amortización de un préstamo de $\$1.200$ que se devuelve en 4 cuotas trimestrales.
Marca en la línea los instantes 0, 1, 2, 3 y 4 (en trimestres). En el instante 0 señala con una flecha hacia arriba el ingreso del préstamo. En cada marca de tiempo (trimestre 1, 2, 3 y 4) dibuja una flecha hacia abajo e indica el nombre que recibe la cantidad fija de dinero que se paga al banco.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
La fórmula de la cuota constante
La idea: lo que te prestan hoy ($C_0$) tiene que ser equivalente a todas las cuotas que vas a pagar, cada una «traída» al día de hoy con la tasa $i$. La cuota que se paga al final del período $t$ vale hoy $a(1+i)^{-t}$. Entonces:
$$C_0 = a(1+i)^{-1} + a(1+i)^{-2} + \dots + a(1+i)^{-n}$$Es la suma de una sucesión geométrica de primer término $a(1+i)^{-1}$ y razón $(1+i)^{-1}$. Si la sumás con la fórmula que conocés y despejás $a$, queda:
Para comprar un ciclomotor de $\$2.000$, Iratxe entrega una entrada de $\$500$ y financia el resto mediante cuotas mensuales constantes durante 2 años. Si el interés…
Para comprar un ciclomotor de $\$2.000$, Iratxe entrega una entrada de $\$500$ y financia el resto mediante cuotas mensuales constantes durante 2 años. Si el interés nominal anual es del $3 \%$, aplica la fórmula de la anualidad de amortización indicando claramente cuál es el capital $C$ que realmente va a financiar.
$$a = \frac{C \cdot i \cdot (1+i)^n}{(1+i)^n - 1}$$Para montar un pequeño estudio de grabación y empezar su canal de YouTube, Marcos ha pedido un préstamo de $4\,500$ pesos a devolver en 2 años mediante cuotas mensuales…
Para montar un pequeño estudio de grabación y empezar su canal de YouTube, Marcos ha pedido un préstamo de $4\,500$ pesos a devolver en 2 años mediante cuotas mensuales constantes. El banco le aplica un interés nominal anual del $6\%$. Calcula la cuantía de la mensualidad que debe pagar Marcos.
Una joven emprendedora de 24 años decide abrir un estudio de diseño gráfico. Para adquirir el equipamiento necesario (computadoras de alta gama, licencias de software y…
Una joven emprendedora de 24 años decide abrir un estudio de diseño gráfico. Para adquirir el equipamiento necesario (computadoras de alta gama, licencias de software y mobiliario), solicita un préstamo a una entidad financiera que debe devolver en 5 años mediante cuotas mensuales constantes de $\$425\,500$. La entidad le aplica una tasa de interés nominal anual del $5,4 \%$.
Calculá el capital inicial que el banco le concedió para poner en marcha su negocio. Redondeá el resultado a los centavos de pesos.
Préstamos sin interés y la tasa cero
Hay financiaciones «sin interés»: la deuda se reparte en partes iguales. Si el costo financiero es cero, la cuota es simplemente
$$a = \frac{C_0}{n}$$Si además hay una comisión o gasto de apertura, se suma al primer pago (o donde indique el contrato), sin cambiar el reparto del capital.
¿Es coherente con la fórmula general? Sí. Con $i$ muy chico, $(1+i)^{-n} \approx 1 - n\,i$, de modo que $1-(1+i)^{-n} \approx n\,i$ y
$$a = \frac{C_0 \cdot i}{1-(1+i)^{-n}} \approx \frac{C_0 \cdot i}{n \cdot i} = \frac{C_0}{n}$$Al hacer tender $i$ a $0$, la cuota se acerca a $C_0/n$. Por eso la fórmula general no se puede usar con $i = 0$ (queda $0/0$): hay que usar $a = C_0/n$.
Una academia de idiomas ofrece financiar el curso intensivo de verano ($\$900\,000…
Una academia de idiomas ofrece financiar el curso intensivo de verano ($\$900\,000$) mediante un préstamo a 4 meses sin intereses, pero cobrando una comisión de apertura de $\$25\,000$ en el primer pago.
- a) ¿Cuál será el importe de las cuotas del segundo, tercer y cuarto mes?
- b) ¿Cuánto pagará el alumno el primer mes en total?
Lucas financia su nueva consola de última generación, que cuesta $\$600\,000…
Lucas financia su nueva consola de última generación, que cuesta $\$600\,000$, en 12 cuotas mensuales iguales. Al finalizar el año, se da cuenta de que pagó un total de $\$636\,000$. Calculá:
- a) El monto de la cuota mensual.
- b) El costo total de los intereses pagados durante todo el préstamo.
Sea un préstamo de capital $D$ a devolver en $n$ periodos con un interés por periodo $i$. Demuestra de forma razonada, utilizando la progresión geométrica de los…
Sea un préstamo de capital $D$ a devolver en $n$ periodos con un interés por periodo $i$. Demuestra de forma razonada, utilizando la progresión geométrica de los capitales pendientes, que si el interés fuera del $0 \%$ ($i=0$), la fórmula de la cuota constante $a$ se simplifica a la división aritmética simple: $a = \frac{D}{n}$.
Nota: Para la demostración, utiliza el límite de la fórmula de la renta constante cuando $i$ tiende a cero o analiza la suma de términos de la amortización.
Composición de la cuota: intereses y amortización
Cada cuota $a$ tiene dos partes: los intereses del período (lo que cuesta tener la deuda) y la amortización (lo que realmente reduce lo que debés).
¿Por qué? Al amortizar $A_k$, en el período siguiente te ahorrás $i \cdot A_k$ de intereses. Como la cuota es fija, ese ahorro pasa a amortización: $A_{k+1} = A_k + i\,A_k = A_k(1+i)$.
Marta ha pedido un préstamo de $\$3.000…
Marta ha pedido un préstamo de $\$3.000$ para pagar su matrícula universitaria y los materiales del curso. El banco le aplica el sistema de amortización francés (cuotas constantes) con un interés mensual del $0,5 \%$. Si la cuota mensual es de $\$133,06$, calcula qué cantidad de la primera cuota corresponde exclusivamente al pago de intereses.
Una joven emprendedora solicita un crédito de $12\,000\,000$ pesos para comprar una camioneta de segunda mano para su negocio de reparto. El préstamo se amortizará en 4…
Una joven emprendedora solicita un crédito de $12\,000\,000$ pesos para comprar una camioneta de segunda mano para su negocio de reparto. El préstamo se amortizará en 4 años con pagos trimestrales y un interés anual del $8\%$. Determiná la parte de la primera cuota que corresponde al pago de intereses y qué cantidad se destina realmente a amortizar la deuda.
Dada la siguiente fila de una tabla de amortización de un préstamo al $12\,\%$ anual con pagos mensuales (el interés mensual se calcula dividiendo el tipo anual entre…
Dada la siguiente fila de una tabla de amortización de un préstamo al $12\,\%$ anual con pagos mensuales (el interés mensual se calcula dividiendo el tipo anual entre $12$, es decir, el $1\,\%$ mensual):
-
Mes: $10$
-
Deuda inicial del mes: $14\,250,80$ pesos
-
Cuota mensual: $450$ pesos
Calcula:
- a) El interés del mes $10$ (redondea a centavos).
- b) El capital amortizado en dicho mes.
- c) La deuda pendiente al comenzar el mes $11$.
El cuadro de marcha
Seguimos con el préstamo de $\$600.000$, $12$ cuotas, $i = 0{,}01$ y $a = 53.309{,}27$. Las primeras filas son:
| Período | Cuota | Intereses | Amortización | Capital pendiente |
|---|---|---|---|---|
| 0 | — | — | — | $600.000{,}00$ |
| 1 | $53.309{,}27$ | $6.000{,}00$ | $47.309{,}27$ | $552.690{,}73$ |
| 2 | $53.309{,}27$ | $5.526{,}91$ | $47.782{,}36$ | $504.908{,}37$ |
| 3 | $53.309{,}27$ | $5.049{,}08$ | $48.260{,}19$ | $456.648{,}18$ |
Cada fila se arma así: intereses = capital pendiente anterior $\cdot\, i$; amortización = cuota − intereses; capital pendiente = anterior − amortización.
La columna de amortización crece como una sucesión geométrica de razón $1{,}01$:
Dada la siguiente tabla de amortización incompleta de un préstamo para una tableta gráfica, calcula los valores que faltan marcados con letras sabiendo que el interés…
Dada la siguiente tabla de amortización incompleta de un préstamo para una tableta gráfica, calcula los valores que faltan marcados con letras sabiendo que el interés mensual es del $1 \%$:
| Mes | Capital pendiente | Intereses | Capital amortizado | Cuota (Anualidad) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | $\$500,00$ | $\$5,00$ | $\$40,00$ | (A) |
| 2 | (B) | $\$4,60$ | $\$40,40$ | $\$45,00$ |
Un grupo de amigos decide comprar una mesa de mezclas profesional que cuesta $1\,800$ pesos. Pagan $300$ pesos al contado y financian el resto a un interés del $10\%$…
Un grupo de amigos decide comprar una mesa de mezclas profesional que cuesta $1\,800$ pesos. Pagan $300$ pesos al contado y financian el resto a un interés del $10\%$ anual (nominal, con periodo de capitalización mensual, es decir, un tipo mensual $i=\frac{0{,}10}{12}$) para devolverlo en 6 meses con cuotas mensuales constantes.
Recuerda que la cuota constante $a$ que amortiza un capital $C$ en $n$ periodos con tipo $i$ por periodo es:
$a = C\cdot\dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}$
Elabora las dos primeras filas de la tabla de amortización, indicando en cada una: capital pendiente, intereses del periodo, capital amortizado y cuota mensual. Redondea a centavos.
Una familia contrata una hipoteca de $\$160.000$ a un plazo de 20 años con un tipo de interés fijo del $3,25 \%…
Una familia contrata una hipoteca de $\$160.000$ a un plazo de 20 años con un tipo de interés fijo del $3,25 \%$ anual y pagos mensuales. Tras exactamente 10 años pagando las cuotas religiosamente, reciben una herencia y se plantean cancelar la deuda pendiente.
Calcula la composición de la cuota número 121, indicando qué parte corresponde al pago de intereses y qué parte a la amortización del capital.
Capital pendiente después de $k$ cuotas
Para cancelar un préstamo hoy no tenés que pagar la suma de las cuotas que faltan (incluirían intereses de meses que todavía no pasaron). Tenés que pagar el capital pendiente: el valor actual de las cuotas que quedan.
Calcula el capital pendiente de un préstamo de $20\,000$ pesos solicitado al $4\%$ anual tras haber pagado 12 cuotas mensuales. El préstamo se concedió por un total de 5…
Calcula el capital pendiente de un préstamo de $20\,000$ pesos solicitado al $4\%$ anual tras haber pagado 12 cuotas mensuales. El préstamo se concedió por un total de 5 años. (Pista: El capital pendiente es el valor actual de las cuotas que faltan por pagar).
¿En cuántos meses se paga? Uso de logaritmos
A veces conocés la cuota máxima que podés pagar y querés saber el plazo. Hay que despejar $n$, que está en un exponente: ahí entran los logaritmos.
Un estudiante universitario quiere comprar un auto usado que cuesta $\$9\,500\,000$. Dispone de unos ahorros, pero necesita financiar los $\$7\,000\,000$ restantes. El…
Un estudiante universitario quiere comprar un auto usado que cuesta $\$9\,500\,000$. Dispone de unos ahorros, pero necesita financiar los $\$7\,000\,000$ restantes. El banco le ofrece un préstamo personal al $6,75 \%$ de interés anual. El estudiante analiza su presupuesto y concluye que solo puede destinar un máximo de $\$180\,000$ al mes para el pago de la cuota.
Utilizando logaritmos, determiná cuántos meses tardará como mínimo en devolver el préstamo para que la cuota no supere su límite de $\$180\,000$.
Costo total y comparación de ofertas
El costo total de un préstamo es todo lo que pagás: la suma de las cuotas más las comisiones y gastos que se pagan aparte. Los intereses son lo que pagás de más respecto del capital:
$$\text{costo total} = n\cdot a + \text{comisiones} \qquad\qquad \text{intereses} = n\cdot a - C_0$$En los préstamos reales, el CFT (costo financiero total) resume tasa, comisiones y gastos en un solo número; por eso conviene comparar ofertas por CFT y no solo por la TNA.
También sirve comparar la forma de pago. Con pago único al final, la deuda crece sin descuento: $M = C_0\,(1+i)^t$, y los intereses se calculan sobre todo el capital durante todo el plazo.
Para financiar un viaje de fin de curso, una asociación de alumnos pide un préstamo de $3\,000$ pesos al $5\%$ de interés anual compuesto. El acuerdo consiste en…
Para financiar un viaje de fin de curso, una asociación de alumnos pide un préstamo de $3\,000$ pesos al $5\%$ de interés anual compuesto. El acuerdo consiste en devolverlo en un único pago al cabo de 18 meses. ¿A cuánto ascenderán los intereses totales? Si hubieran optado por amortizarlo mensualmente durante ese mismo tiempo, ¿pagarían más o menos intereses en total? Razona tu respuesta sin necesidad de calcular la tabla completa.
Comparamos dos préstamos para comprar una moto de $3\,500$ pesos: Opción A: Amortización mensual durante 2 años al $6\%$ anual nominal. Opción B: Amortización trimestral…
Comparamos dos préstamos para comprar una moto de $3\,500$ pesos:
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Opción A: Amortización mensual durante 2 años al $6\%$ anual nominal.
-
Opción B: Amortización trimestral durante 2 años al $6,2\%$ anual nominal.
Calcula la cuota de cada opción y determina en cuál de las dos se acaban pagando más intereses al final de los dos años.
Comparamos dos modalidades de préstamo para financiar una reforma de $\$30\,000\,000$ a devolver en 4 años con pagos mensuales: Opción A: Interés nominal anual del $5…
Comparamos dos modalidades de préstamo para financiar una reforma de $\$30\,000\,000$ a devolver en 4 años con pagos mensuales:
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Opción A: Interés nominal anual del $5 \%$ sin comisiones iniciales.
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Opción B: Interés nominal anual del $4,2 \%$ pero con una comisión de apertura del $1,5 \%$ sobre el capital solicitado, que se paga al contado en el momento de la firma.
Calculá el costo total de cada opción (suma de todas las cuotas más comisiones) y determiná cuál es más ventajosa para el cliente.
Situaciones especiales: gracia y tasa variable
Período de gracia (carencia). Durante $g$ períodos no se paga nada y los intereses se suman al capital. Al terminar la gracia, la deuda es $C_0(1+i)^g$, y esa deuda se amortiza en las $n-g$ cuotas restantes:
$$a = \frac{C_0(1+i)^g \cdot i}{1-(1+i)^{-(n-g)}}$$Tasa variable. Cuando la tasa cambia, se calcula el capital pendiente a esa fecha con la tasa vieja y se recalcula la cuota con la tasa nueva y las cuotas que faltan.
Una empresa de tecnología logística solicita un préstamo de $\$250\,000\,000$ para renovar su flota de vehículos eléctricos. El préstamo se pacta a un interés del $4,5…
Una empresa de tecnología logística solicita un préstamo de $\$250\,000\,000$ para renovar su flota de vehículos eléctricos. El préstamo se pacta a un interés del $4,5 \%$ anual con pagos trimestrales durante 6 años. La entidad financiera les concede un periodo de carencia total de 6 meses (durante los dos primeros trimestres no se realiza ningún pago, pero los intereses se acumulan al capital inicial).
Calcula la cuantía de las cuotas trimestrales que deberán abonar a partir del tercer trimestre hasta finalizar el préstamo.
Un préstamo hipotecario de $\$200.000$ se formaliza a un plazo de 25 años con cuotas mensuales. Durante los dos primeros años, el tipo de interés es fijo al $2,5 \%…
Un préstamo hipotecario de $\$200.000$ se formaliza a un plazo de 25 años con cuotas mensuales. Durante los dos primeros años, el tipo de interés es fijo al $2,5 \%$ anual. A partir del inicio del tercer año, el interés se vuelve variable, pasando a ser del $4,75 \%$ anual.
Calcula cuánto se incrementará la cuota mensual de la familia a partir del tercer año debido a esta subida del tipo de interés.
Cancelación anticipada
Si te llega plata extra (aguinaldo, una herencia) podés adelantar pagos. El abono extra reduce el capital pendiente y después elegís qué recalcular:
Si cancelás toda la deuda, pagás el capital pendiente $C_k$ más la comisión por cancelación anticipada, si el contrato la prevé (un porcentaje del capital que cancelás).
Un videoclub quiere renovar sus pantallas y solicita un crédito de $6\,000$ pesos al $9\%$ anual a devolver en 3 años con mensualidades constantes. El contrato incluye…
Un videoclub quiere renovar sus pantallas y solicita un crédito de $6\,000$ pesos al $9\%$ anual a devolver en 3 años con mensualidades constantes. El contrato incluye una comisión por cancelación anticipada del $1\%$ sobre el capital pendiente. Si al finalizar el segundo año deciden liquidar la deuda restante, ¿cuál será el importe total que deberán pagar en ese momento (capital pendiente más comisión)?
Un autónomo solicita un microcrédito de $\$12\,000\,000$ al $8 \%…
Un autónomo solicita un microcrédito de $\$12\,000\,000$ al $8 \%$ anual para ser devuelto en 3 años mediante cuotas semestrales. Tras el primer año (después de pagar la segunda cuota), decide realizar una amortización anticipada de $\$3\,000\,000$ para reducir la deuda. El banco le permite elegir entre reducir el tiempo del préstamo o reducir el importe de las cuotas restantes.
Si opta por reducir el importe de la cuota manteniendo el plazo de 3 años original, calcula cuál será el nuevo importe de la cuota semestral.
Laboratorio: el cuadro de marcha en una planilla de cálculo
Armar el cuadro a mano cansa. Una planilla de cálculo (Excel, Calc o Google Sheets) lo hace por vos y te deja probar qué pasa si cambian las condiciones. Vamos a reconstruir el préstamo de $\$600.000$ a 12 meses con TNA del $12\,\%$.
Datos (en la parte de arriba de la hoja):
| Celda | Contenido |
|---|---|
| B1 | 600000 (capital) |
| B2 | =0,12/12 (tasa mensual) |
| B3 | 12 (cantidad de cuotas) |
| B4 | =B1*B2/(1-(1+B2)^(-B3)) (cuota) |
Si la tasa fuera cero, en B4 usá =B1/B3, porque la fórmula general daría $0/0$.
Cuadro (columnas A a E: período, cuota, intereses, amortización, capital pendiente):
-
Fila 7 (período 0):
A7= 0 yE7=B1. -
Fila 8 (primer pago):
A8=A7+1,B8=$B$4,C8=E7*$B$2,D8=B8-C8,E8=E7-D8. -
Seleccioná la fila 8 y arrastrala hasta el período 12. Los signos
$fijan la cuota y la tasa.
Es la recurrencia del saldo: $C_k = C_{k-1}(1+i) - a$, escrita en celdas.
Volvé al principio: la cuota fija de la moto de Thiago sale de igualar el capital prestado con el valor actual de todas las cuotas, y la cuota se reparte en intereses que bajan y capital que sube.