Escala de áreas y volúmenes

Dos figuras planas son semejantes con razón de semejanza $k = 3$.

a) ¿Por qué número se multiplican las longitudes?

b) ¿Por qué número se multiplica el área?

c) Si fueran cuerpos geométricos, ¿por qué número se multiplicaría el volumen?

Dos cuadrados son semejantes con razón $k = 2$. Si el pequeño tiene $5$ cm de lado:

a) ¿Cuánto mide el lado del grande?

b) ¿Cuáles son las áreas de los dos cuadrados?

Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones:

a) Si duplico los lados de un rectángulo, duplico su área.

b) La razón de las áreas de dos figuras semejantes es el cuadrado de la razón de semejanza.

c) Si la razón de semejanza de dos cuerpos es $2$, el volumen del grande es $8$ veces el del pequeño.

d) En un plano a escala $1:50$, un centímetro cuadrado del plano representa $50\ \text{cm}^2$ reales.

En un plano a escala $1:100$, una habitación ocupa $12\ \text{cm}^2$. ¿Cuál es su superficie real? Exprésala en metros cuadrados.

Se amplía una foto de $40\ \text{cm}^2$ en una fotocopiadora al $150\%$. ¿Qué superficie tiene la ampliación?

Observa los dos rectángulos semejantes de la figura.

a) Comprueba que la razón de semejanza es $3$.

b) Si el área del rectángulo pequeño es $8\ \text{cm}^2$, ¿cuál es el área del grande?

Una artista pinta un mural a partir de un boceto de $30\ \text{cm} \times 20\ \text{cm}$ aplicando una razón de escala $k = 8$.

a) ¿Qué dimensiones tendrá el mural?

b) ¿Qué superficie tendrá?

c) Si un bote de pintura cubre $2\ \text{m}^2$, ¿cuántos botes necesitará como mínimo?

En el plano de una urbanización, dibujado a escala $1:75$, un jardín rectangular ocupa $96\ \text{cm}^2$. ¿Cuál es la superficie real del jardín en metros cuadrados?

En un plano a escala $1:2\,000$, un campo de fútbol ocupa $17,5\ \text{cm}^2$.

a) ¿Cuál es su superficie real en metros cuadrados?

b) ¿Se acerca a la superficie reglamentaria de un campo de fútbol, de unos $7\,000\ \text{m}^2$?

a) La razón de las áreas de dos figuras planas semejantes es $9$. ¿Cuál es la razón de semejanza entre sus lados? ¿Y la razón entre sus perímetros?

b) Los volúmenes de dos cuerpos semejantes están en razón $\frac{27}{8}$. ¿Cuál es la razón de semejanza?

c) Las áreas de dos parcelas semejantes están en razón $\frac{1}{4}$. ¿Cuál es la razón de sus lados?

Un cubo tiene $4$ cm de arista y otro cubo, semejante a él, tiene la arista el doble de larga.

a) ¿Cuál es el volumen de cada cubo?

b) ¿Cuántas veces mayor es el volumen del cubo grande que el del pequeño?

En una maqueta a escala $1:50$, un depósito tiene un volumen de $80\ \text{cm}^3$. ¿Cuál es el volumen del depósito real? Exprésalo en metros cúbicos.

Observa los dos cubos de la figura: el pequeño tiene $2$ cm de arista y el grande, $6$ cm. El volumen del cubo pequeño es $8\ \text{cm}^3$.

a) ¿Cuál es la razón de semejanza?

b) Calcula el volumen del cubo grande sin usar la fórmula del volumen del cubo, a partir del volumen del pequeño.

c) Si el área total del cubo pequeño es $24\ \text{cm}^2$, ¿cuál es el área total del grande?

Para la maqueta de un barrio se construyeron dos casitas semejantes con razón de semejanza $1,5$. La casita pequeña necesitó $7,2\ \text{dm}^2$ de cartulina y su volumen interior es de $6,4$ litros.

a) ¿Cuánta cartulina se necesitará para la casita grande?

b) ¿Cuál será su volumen interior?

Un proyector forma un cuadrado de $1,5$ m de lado sobre una pantalla situada a $3$ m. Al alejar la pantalla hasta $6$ m, la imagen sigue siendo cuadrada, como se muestra en la figura.

a) ¿Cuál es la razón de semejanza entre las dos imágenes? ¿Cuánto mide el lado del cuadrado a $6$ m?

b) ¿Cuántas veces mayor es el área de la imagen lejana que la de la cercana?

c) Como la misma cantidad de luz se reparte por toda la superficie, ¿con qué fracción de brillo por metro cuadrado se ve la imagen a $6$ m respecto a $3$ m?

d) ¿A qué distancia habría que colocar la pantalla para que el área de la imagen fuera $9$ veces la inicial?

Dos peceras son semejantes: la pequeña mide $40$ cm de largo y la grande, $80$ cm.

a) ¿Cuál es la razón de semejanza?

b) Si el cristal de la pecera pequeña costó $\$1\,200$, ¿cuánto costará el de la grande, al mismo precio por superficie?

c) Si llenar de agua la pequeña cuesta $\$200$, ¿cuánto costará llenar la grande?

Un astillero construye una maqueta de un velero a escala $1:40$ que pesa $3$ kg. Si el barco real se construyera con los mismos materiales y la misma densidad media, ¿cuánto pesaría? Expresa el resultado en toneladas.

Una escultura y su miniatura de recuerdo son semejantes con razón $5$.

a) Si para pintar la miniatura se gastan $120$ ml de pintura, ¿cuántos litros harán falta para pintar la escultura?

b) Si la miniatura pesa $2$ kg y ambas son del mismo material, ¿cuánto pesa la escultura?

Una empresa de mudanzas quiere «duplicar la capacidad» de sus cajas cúbicas y decide fabricarlas con la arista el doble de larga. El jefe afirma: «Así cabrá el doble de cosas».

a) Explica el error del jefe.

b) ¿Cuántas veces más capacidad tendrá realmente la nueva caja?

c) Si la caja pequeña tiene un volumen de $27\ \text{dm}^3$, ¿cuál será el volumen de la nueva?

Dos depósitos cilíndricos son semejantes y la razón de sus alturas es $2$. Llenar de agua el depósito pequeño cuesta $\$600$ y pintar su superficie exterior cuesta $\$1\,600$.

a) ¿Cuánto costará llenar de agua el depósito grande?

b) ¿Cuánto costará pintar su superficie exterior?

c) Un operario afirma que «todo costará el doble, porque el depósito es el doble de grande». Corrige su afirmación usando los resultados anteriores y explica por qué se equivoca.