Ecuaciones de primer grado
Mateo compró 3 bizcochos iguales en la panadería, pagó con un billete de $\$100$ y le dieron $\$10$ de vuelto. ¿Cuánto costó cada bizcocho? Podés llamar $x$ a ese precio y escribir una igualdad que lo describa. En esta página vas a aprender a plantear y resolver ecuaciones cada vez más completas, a verificar siempre tu resultado y a descubrir qué pasa cuando una ecuación no tiene solución o las tiene todas.
La balanza y la verificación
Pensá en una balanza en equilibrio: cada plato es un miembro de la ecuación. En el plato de la izquierda hay $3x + 1$ y en el de la derecha hay $10$.
La regla de oro es una sola: lo que hacés en un miembro, lo hacés en el otro. Si sacás lo mismo de los dos platos, la balanza sigue en equilibrio.
Por ejemplo, ¿es $x = 3$ solución de $3x + 1 = 10$? A la izquierda queda $3 \cdot 3 + 1 = 10$ y a la derecha $10$. Coinciden, así que sí.
Observa la siguiente balanza que se encuentra en equilibrio. Si las pesas circulares representan la incógnita $x$ y las pesas cuadradas representan $1$ kg cada una,…
Observa la siguiente balanza que se encuentra en equilibrio. Si las pesas circulares representan la incógnita $x$ y las pesas cuadradas representan $1$ kg cada una, escribe la ecuación que representa la imagen y halla el valor de $x$ aplicando la lógica del equilibrio (quitar la misma cantidad en ambos platos).
Comprueba si los valores propuestos para la incógnita son solución de las siguientes ecuaciones: a) $2x - 3 = 7$ ¿Es $x = 5$ la solución? b) $\frac{x}{4} + 1 = 6$ ¿Es…
Comprueba si los valores propuestos para la incógnita son solución de las siguientes ecuaciones:
- a) $2x - 3 = 7$ ¿Es $x = 5$ la solución?
- b) $\frac{x}{4} + 1 = 6$ ¿Es $x = 20$ la solución?
- c) $3(x - 2) = 12$ ¿Es $x = 4$ la solución?
Observa la siguiente balanza en equilibrio. Si todas las cajas azules son iguales y pesan $x$ kilogramos, y las pesas naranjas indican su peso en kg, plantea y resuelve…
Observa la siguiente balanza en equilibrio. Si todas las cajas azules son iguales y pesan $x$ kilogramos, y las pesas naranjas indican su peso en kg, plantea y resuelve la ecuación para hallar el valor de $x$.
Despejar la incógnita
Quitar lo mismo en los dos platos es lo que en las aulas se resume como «pasar al otro miembro».
Resuelve mentalmente estas ecuaciones de un solo paso aplicando la regla de la suma (lo que está sumando pasa restando y viceversa): a) $x + 12 = 30$ b) $x - 8 = 15$ c)…
Resuelve mentalmente estas ecuaciones de un solo paso aplicando la regla de la suma (lo que está sumando pasa restando y viceversa):
- a) $x + 12 = 30$
- b) $x - 8 = 15$
- c) $7 + x = 2$
- d) $x - 10 = -4$
Halla el valor de $x$ en las siguientes ecuaciones aplicando la regla del producto (lo que está multiplicando pasa dividiendo y viceversa): a) $5x = 45$ b)…
Halla el valor de $x$ en las siguientes ecuaciones aplicando la regla del producto (lo que está multiplicando pasa dividiendo y viceversa):
- a) $5x = 45$
- b) $\frac{x}{3} = 7$
- c) $-2x = 14$
- d) $\frac{2x}{5} = 4$
Resuelve las siguientes ecuaciones sencillas de dos pasos, agrupando primero los términos con $x$ en un miembro y los números en el otro: a) $3x + 4 = 19$ b)…
Resuelve las siguientes ecuaciones sencillas de dos pasos, agrupando primero los términos con $x$ en un miembro y los números en el otro:
- a) $3x + 4 = 19$
- b) $5x - 2 = 13$
- c) $10 - 2x = 4$
- d) $25 = 4x + 1$
Del lenguaje común al lenguaje algebraico
Para resolver un problema, primero hay que traducirlo. La incógnita es una de las formas de usar una letra: representa un número que todavía no conocemos.
| En palabras | En lenguaje algebraico |
|---|---|
| un número | $x$ |
| el doble de un número | $2x$ |
| la mitad de un número | $\dfrac{x}{2}$ |
| el triple de un número, menos $4$ | $3x - 4$ |
| el siguiente de $x$ | $x + 1$ |
| el anterior de $x$ | $x - 1$ |
| $x$ aumentado en $7$ | $x + 7$ |
Traduce estas frases del lenguaje natural al lenguaje algebraico utilizando la letra $x$ para representar el número desconocido: a) El doble de un número más ocho es…
Traduce estas frases del lenguaje natural al lenguaje algebraico utilizando la letra $x$ para representar el número desconocido:
- a) El doble de un número más ocho es igual a veinte.
- b) La mitad de un número menos cinco da como resultado tres.
- c) Un número aumentado en siete unidades es igual a su triple.
- d) La suma de un número y su siguiente es quince.
Marta fue a la papelería y compró 3 cuadernos iguales. Si pagó con un billete de $400$ pesos y le devolvieron $40$ pesos, planteá una ecuación donde $x$ sea el precio de…
Marta fue a la papelería y compró 3 cuadernos iguales. Si pagó con un billete de $400$ pesos y le devolvieron $40$ pesos, planteá una ecuación donde $x$ sea el precio de un cuaderno y resolvela para saber cuánto costó cada uno.
Paréntesis y denominadores juntos
Las ecuaciones más completas tienen paréntesis y fracciones a la vez. El orden habitual es este (si los paréntesis están dentro de los numeradores, como en el ejemplo, es más cómodo quitar primero los denominadores y después los paréntesis):
Quitar paréntesis es aplicar la propiedad distributiva: $a(b + c) = ab + ac$. Se desarrolla el producto, multiplicando el número de afuera por cada término de adentro.
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado aplicando correctamente la propiedad distributiva y la agrupación de términos semejantes:…
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado aplicando correctamente la propiedad distributiva y la agrupación de términos semejantes:
$4(2x - 3) - 2(5 - 3x) = 3(x + 1) + 5$
Halla el valor de la incógnita $x$ en la siguiente ecuación con denominadores, simplificando previamente mediante el cálculo del mínimo común múltiplo:…
Halla el valor de la incógnita $x$ en la siguiente ecuación con denominadores, simplificando previamente mediante el cálculo del mínimo común múltiplo:
$\frac{x - 3}{4} - \frac{x - 5}{6} = \frac{x - 1}{9}$
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado, prestando especial atención a los signos negativos delante de las fracciones y al uso del mínimo común múltiplo para…
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado, prestando especial atención a los signos negativos delante de las fracciones y al uso del mínimo común múltiplo para simplificar los denominadores:
$$\frac{2 \cdot (x - 3)}{5} - \frac{x - 1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{3x - 14}{10}$$¿Siempre hay una solución?
Al reducir una ecuación casi siempre llegás a $x = \text{algo}$, pero hay dos casos especiales:
| Al final queda… | Ejemplo | Significa |
|---|---|---|
| $ax = b$ con $a \neq 0$ | $3x = 9$ | Una solución: $x = 3$ |
| $0x = b$ con $b \neq 0$ | $0x = 5$ | Ninguna solución: $S = \varnothing$ |
| $0x = 0$ | $0x = 0$ | Infinitas soluciones: es una identidad |
Una identidad es una igualdad que es cierta para todos los valores de la letra, como $x + x = 2x$.
El conjunto solución también depende de dónde buscás la solución:
-
$x + 3 = 1$ tiene solución $-2$. En $\mathbb{N}$ no hay solución; en $\mathbb{Z}$ sí: $S = \{-2\}$.
-
$2x = 3$ no tiene solución en $\mathbb{Z}$, pero en $\mathbb{Q}$ sí: $S = \left\{\dfrac{3}{2}\right\}$.
Clasifica las siguientes igualdades matemáticas en identidades o ecuaciones, explicando brevemente por qué en cada caso: a) $3x + 5 = 20$ b) $2(x + 1) = 2x + 2$ c)…
Clasifica las siguientes igualdades matemáticas en identidades o ecuaciones, explicando brevemente por qué en cada caso:
- a) $3x + 5 = 20$
- b) $2(x + 1) = 2x + 2$
- c) $x + x = 2x$
- d) $x - 7 = 10$
Resolver problemas: el método y los números
Para resolver un problema con una ecuación, seguí estos pasos:
-
Leé y decidí qué cantidad es la incógnita $x$.
-
Expresá las otras cantidades en función de $x$.
-
Planteá la ecuación.
-
Resolvela.
-
Verificá en el enunciado, no solo en la ecuación.
-
Respondé con una oración y con las unidades.
Halla tres números enteros consecutivos tales que la suma del primero y el segundo supere en $15$ unidades al tercer número.
Halla tres números enteros consecutivos tales que la suma del primero y el segundo supere en $15$ unidades al tercer número.
Halla un número de tres cifras con las siguientes características: la cifra de las decenas es el doble que la de las unidades, y la de las centenas es el triple que la…
Halla un número de tres cifras con las siguientes características: la cifra de las decenas es el doble que la de las unidades, y la de las centenas es el triple que la de las unidades. Si sumamos las tres cifras, el resultado es el mismo que si a la cifra de las centenas le restamos la de las unidades y le sumamos 8. Una vez planteada la ecuación, indica cuál es el número. (Pista: llama $x$ a la cifra de las unidades).
Problemas de edades
En los problemas de edades, ordená los datos en una tabla: una fila por persona y una columna por momento (hoy, hace unos años, dentro de unos años). A todos se les suma o resta la misma cantidad de años.
| Hoy | Dentro de 4 años | |
|---|---|---|
| Hermano | $x$ | $x + 4$ |
| Camila | $x + 12$ | $x + 16$ |
La edad de una madre es el triple de la de su hijo. Hace $8$ años, la suma de las edades de ambos era de $48$ años. ¿Qué edad tienen actualmente cada uno?
La edad de una madre es el triple de la de su hijo. Hace $8$ años, la suma de las edades de ambos era de $48$ años. ¿Qué edad tienen actualmente cada uno?
La edad actual de un padre es el triple de la de su hijo. Hace cinco años, la suma de sus edades era la misma que la edad que tendrá el padre dentro de diez años. ¿Qué…
La edad actual de un padre es el triple de la de su hijo. Hace cinco años, la suma de sus edades era la misma que la edad que tendrá el padre dentro de diez años. ¿Qué edad tienen actualmente el padre y el hijo?
Problemas con figuras
En los problemas geométricos, la ecuación sale de una fórmula, como la del perímetro del rectángulo: $P = 2 \cdot (\text{base} + \text{altura})$. Dibujá siempre la figura y marcá cada lado con una expresión en $x$.
El perímetro de una pista de pádel rectangular es de $56$ metros. Sabemos que la longitud de la pista es $2$ metros más que el doble de su anchura. Calcula las…
El perímetro de una pista de pádel rectangular es de $56$ metros. Sabemos que la longitud de la pista es $2$ metros más que el doble de su anchura. Calcula las dimensiones de la pista planteando una ecuación de primer grado.
Una empresa de diseño gráfico crea carteles rectangulares. En su último modelo, la base mide $10 \text{ cm}$ más que la altura. Para cumplir con un nuevo estándar,…
Una empresa de diseño gráfico crea carteles rectangulares. En su último modelo, la base mide $10 \text{ cm}$ más que la altura. Para cumplir con un nuevo estándar, deciden aumentar la base en $5 \text{ cm}$ y disminuir la altura en $2 \text{ cm}$. Si tras estos cambios el perímetro del nuevo cartel es de $110 \text{ cm}$, ¿cuáles eran las dimensiones originales del cartel?
Plata, partes de un todo y repartos
Cuando una cantidad se gasta en fracciones, la incógnita es el total. Escribí cada parte como fracción de $x$ y combinalas con la ecuación.
Marcos ha comprado en una tienda digital tres juegos de estrategia y dos pases de batalla. Cada pase de batalla cuesta la mitad que un juego. Si en total ha pagado…
Marcos ha comprado en una tienda digital tres juegos de estrategia y dos pases de batalla. Cada pase de batalla cuesta la mitad que un juego. Si en total ha pagado $2\,800$ pesos, ¿cuál es el precio de un juego y cuál es el precio de un pase de batalla?
El nivel de batería de un celular disminuye de forma constante. Durante la mañana se consumió una cuarta parte de la carga total. Por la tarde, se gastó un tercio de lo…
El nivel de batería de un celular disminuye de forma constante. Durante la mañana se consumió una cuarta parte de la carga total. Por la tarde, se gastó un tercio de lo que quedaba después de la mañana. Si todavía queda un $40$% de batería ($40$ unidades de carga), ¿cuál es la capacidad total de carga del celular?
Un grupo de amigos quiere comprar un regalo de cumpleaños que cuesta un precio fijo. Si cada uno pone $\$480$, les sobran $\$160$ para el envoltorio. Pero si cada uno…
Un grupo de amigos quiere comprar un regalo de cumpleaños que cuesta un precio fijo. Si cada uno pone $\$480$, les sobran $\$160$ para el envoltorio. Pero si cada uno pone $\$400$, les faltan $\$480$ para poder comprarlo. ¿Cuántos amigos forman el grupo y cuánto cuesta el regalo?
Movimiento, mezclas y trabajo
Estos tres tipos de problemas se resuelven con una idea.
Movimiento. Se usa $d = v \cdot t$. Si dos móviles van uno hacia el otro, las distancias que recorren suman la distancia total. Si uno sale más tarde, su tiempo es menor.
Mezclas. La cantidad de la sustancia pura (por ejemplo, alcohol) no cambia al agregar agua. Solo cambia el total.
Trabajo. Si una canilla llena un depósito en $6$ horas, en una hora llena $\dfrac{1}{6}$ del depósito. Las canillas que llenan suman y el desagüe resta.
Marcos y Lucía viven en pueblos distintos situados a una distancia de $24 \text{ km}$. A las 10:00 de la mañana, Lucía sale hacia el pueblo de Marcos en su bicicleta a…
Marcos y Lucía viven en pueblos distintos situados a una distancia de $24 \text{ km}$. A las 10:00 de la mañana, Lucía sale hacia el pueblo de Marcos en su bicicleta a una velocidad constante de $18 \text{ km/h}$. Media hora más tarde, Marcos sale al encuentro de Lucía en su monopatín eléctrico, viajando a $25 \text{ km/h}$. ¿A qué distancia del pueblo de Lucía se cruzarán y a qué hora ocurrirá el encuentro?
En un laboratorio de química, se quiere rebajar la concentración de una solución de limpieza. Tenemos $12 \text{ litros}$ de un líquido que contiene un $20\%$ de alcohol…
En un laboratorio de química, se quiere rebajar la concentración de una solución de limpieza. Tenemos $12 \text{ litros}$ de un líquido que contiene un $20\%$ de alcohol puro. ¿Qué cantidad de agua destilada (sin alcohol) debemos añadir para que la mezcla final tenga una concentración de alcohol de solo el $15\%$?
Un depósito de agua tiene dos canillas de llenado y un desagüe. La primera canilla puede llenar el depósito en $6 \text{ horas}$, y la segunda canilla en…
Un depósito de agua tiene dos canillas de llenado y un desagüe. La primera canilla puede llenar el depósito en $6 \text{ horas}$, y la segunda canilla en $4 \text{ horas}$. Si el depósito está lleno, el desagüe puede vaciarlo por completo en $8 \text{ horas}$. Si abrimos las dos canillas de llenado y el desagüe al mismo tiempo con el depósito vacío, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse completamente?
Volvé al principio: cada bizcocho costó $\$30$, porque $3x + 10 = 100$ da $3x = 90$ y $x = 30$.