Expresiones algebraicas
Una suscripción a una plataforma de música cuesta $x$ pesos por mes. Si la compartís con dos amigos y cada uno paga lo mismo, a cada uno le toca $\dfrac{x}{3}$. No sabés cuánto cuesta exactamente la suscripción, pero ya sabés la cuenta que hay que hacer. Eso es el álgebra.
El lenguaje algebraico
La letra no siempre juega el mismo papel. Hay tres usos de la variable:
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Incógnita: un valor que buscamos. En $x + 3 = 10$, $x$ vale $7$.
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Generalizadora: representa cualquier número, para escribir fórmulas y patrones. El perímetro de un cuadrado de lado $l$ es $4l$ y sirve para cualquier $l$.
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Relación funcional: una cantidad depende de otra. Si el boleto cuesta $\$\,60$, lo que gastás en $n$ viajes es $60n$: $n$ es la variable independiente y el gasto es la dependiente.
Identifica los elementos de los siguientes monomios completando la información de cada uno: a) $7x^{2}$ b) $-5ab^{3}$ c) $x^{4}y$ d) $\frac{3}{4}z^{2}$ Para cada uno,…
Identifica los elementos de los siguientes monomios completando la información de cada uno:
- a) $7x^{2}$
- b) $-5ab^{3}$
- c) $x^{4}y$
- d) $\frac{3}{4}z^{2}$
Para cada uno, indica: Coeficiente, Parte literal y Grado.
Traducir frases a expresiones
Cada palabra clave se convierte en una operación. Las frases con varios pasos se traducen de adentro hacia afuera, como una receta.
| Lenguaje cotidiano | Lenguaje algebraico |
|---|---|
| El doble de un número más 5 | $2x + 5$ |
| El doble de (un número más 5) | $2(x + 5)$ |
| La mitad de un número menos 3 | $\dfrac{x}{2} - 3$ |
| Un cupón de 5 pesos de descuento sobre el precio $x$ | $x - 5$ |
Aumentos y porcentajes: el índice de variación
Un aumento de $p\,\%$ multiplica el precio por el índice de variación $1 + \dfrac{p}{100}$. Un descuento de $p\,\%$ lo multiplica por $1 - \dfrac{p}{100}$. Con el IVA del $22\,\%$, el índice es $1{,}22$.
En una tienda de videojuegos online, el precio de una suscripción mensual es de $x$ pesos. Traducí a lenguaje algebraico las siguientes situaciones: a) El costo de tres…
En una tienda de videojuegos online, el precio de una suscripción mensual es de $x$ pesos. Traducí a lenguaje algebraico las siguientes situaciones:
- a) El costo de tres suscripciones mensuales.
- b) El precio de una suscripción después de aplicar un cupón de descuento de $200$ pesos.
- c) Lo que paga un grupo de amigos por una suscripción mensual más un juego de $1\,000$ pesos.
- d) El doble del precio de una suscripción aumentado en $400$ pesos.
En una tienda de cómics, el precio de una suscripción mensual es de $x$ pesos. Por cada cómic adicional que compres, te cobran $y$ pesos, pero si compras más de cinco,…
En una tienda de cómics, el precio de una suscripción mensual es de $x$ pesos. Por cada cómic adicional que compres, te cobran $y$ pesos, pero si compras más de cinco, te aplican un descuento de $120$ pesos sobre el total. Escribí la expresión algebraica que represente el gasto mensual de un cliente que compró $7$ cómics adicionales.
Una empresa de alquiler de monopatines eléctricos cobra una tarifa base de $B$ pesos por desbloqueo y $6$ pesos por cada minuto de uso ($m$). Además, si el usuario…
Una empresa de alquiler de monopatines eléctricos cobra una tarifa base de $B$ pesos por desbloqueo y $6$ pesos por cada minuto de uso ($m$). Además, si el usuario recorre más de $5$ kilómetros, se aplica un suplemento de seguridad de $S$ pesos. A la suma de estos conceptos se le debe aplicar un $21\%$ de IVA.
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Escribí la expresión algebraica del costo total $C$ de un viaje si el usuario supera los $5$ km de distancia.
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Simplificá la expresión anterior realizando las operaciones posibles.
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Si la tarifa base es de $40$ pesos y el suplemento de seguridad es de $80$ pesos, ¿cuánto pagará una persona que use el monopatín durante $20$ minutos y recorra $6$ km?
El valor numérico
Con dos variables se hace igual: se sustituye cada una por su valor. Por ejemplo, para $2xy - x$ con $x = 3$ e $y = -2$: $2 \cdot 3 \cdot (-2) - 3 = -12 - 3 = -15$.
El valor numérico también sirve para verificar un resultado y para ver si una expresión cumple una condición. Si el valor numérico de un polinomio $P(x)$ en $x = a$ es $0$, se dice que $a$ es una raíz. En $P(x) = x^2 - 4$ con $x = 2$ da $4 - 4 = 0$. Si el polinomio tiene un coeficiente desconocido $k$, pedir que el valor numérico sea $0$ te da una ecuación para hallar $k$.
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se indican: a) $5x - 3$ para $x = 4$ b) $x^{2} + 2x + 1$ para $x = -2$ c)…
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se indican:
- a) $5x - 3$ para $x = 4$
- b) $x^{2} + 2x + 1$ para $x = -2$
- c) $2(a + b)$ para $a = 3$ y $b = 5$
- d) $\frac{10 - x}{2}$ para $x = 6$
Halla el valor numérico del polinomio $P(x, y) = 3x^2y - 5xy + 2$ para los valores de las variables que se indican: a) $x = 2, y = -1$ b) $x = 0, y = 10$ c)…
Halla el valor numérico del polinomio $P(x, y) = 3x^2y - 5xy + 2$ para los valores de las variables que se indican:
- a) $x = 2, y = -1$
- b) $x = 0, y = 10$
- c) $x = -2, y = -2$
Considera el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 4x - 12$. 1. Determina el valor del coeficiente $k$ sabiendo que el valor numérico del polinomio para $x = 2$ es igual a…
Considera el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 4x - 12$.
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Determina el valor del coeficiente $k$ sabiendo que el valor numérico del polinomio para $x = 2$ es igual a cero ($x = 2$ es una raíz del polinomio).
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Una vez hallado $k$, calcula el valor numérico de $P(x)$ para $x = -1$.
Patrones: el término general
Cuando una figura crece siempre con la misma regla, podés describir cualquier posición $n$ de una vez con una expresión algebraica: el término general $a_n$. Acá la variable se usa de forma generalizadora.
Con $n = 1$ hay $2$ puntos; con $n = 2$, $4$; con $n = 3$, $6$. Cada posición agrega $2$ puntos y no sobra nada al principio: $a_n = 2n$.
Si la sucesión crece de a $d$ en cada paso, el término general empieza con $d \cdot n$. Después se ajusta con un número fijo: comparás $d \cdot n$ con el valor real de la primera posición.
Cuando no crece de a lo mismo
A veces las diferencias entre términos consecutivos no son constantes. Mirá $2, 6, 12, 20, \ldots$: las diferencias son $4, 6, 8$, que a su vez van subiendo de a $2$. Eso avisa que aparece $n^2$ (un patrón de figuras que crece en dos direcciones, como un rectángulo de puntos).
La misma idea sirve para cualquier patrón de este tipo: comparás con $n^2$ y buscás qué expresión sencilla explica la diferencia. Después podés usar el valor numérico para responder preguntas como «¿llega a tal cantidad?».
Observa la siguiente serie de figuras hechas con puntos y determina la expresión algebraica del término general $a_{n}$ (donde $n$ es la posición de la figura). ¿Cuántos…
Observa la siguiente serie de figuras hechas con puntos y determina la expresión algebraica del término general $a_{n}$ (donde $n$ es la posición de la figura). ¿Cuántos puntos tendrá la figura que ocupe la posición $n=50$?
Un artista digital está creando un mosaico de píxeles que crece siguiendo un patrón determinado. En la etapa $n=1$ usa 3 píxeles, en la etapa $n=2$ usa 8 píxeles, en la…
Un artista digital está creando un mosaico de píxeles que crece siguiendo un patrón determinado. En la etapa $n=1$ usa 3 píxeles, en la etapa $n=2$ usa 8 píxeles, en la etapa $n=3$ usa 15 píxeles, y así sucesivamente.
Observa el patrón visual y realiza las siguientes tareas:
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Encuentra la expresión algebraica (término general) que determina el número de píxeles necesarios para cualquier etapa $n$.
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Si el lienzo digital tiene un límite de $1000$ píxeles, ¿podría el artista completar la etapa $n=30$? Justifica tu respuesta calculando el valor numérico.
Probar conjeturas con álgebra
Probar con unos pocos números no demuestra nada: puede fallar en el siguiente. En cambio, si escribís la propiedad con una variable que representa cualquier número, la prueba vale siempre.
Algunas expresiones útiles: un número par es $2n$; un impar es $2n + 1$; dos consecutivos son $n$ y $n + 1$.
Para la diferencia de cuadrados de dos consecutivos vas a necesitar desarrollar $(n+1)^2$, que es $(n + 1)(n + 1)$: multiplicás cada término por cada término y reducís (lo vas a ver con más detalle más abajo).
Demuestra algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números enteros consecutivos es siempre igual a la suma de dichos números. Instrucciones:* 1.…
Demuestra algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números enteros consecutivos es siempre igual a la suma de dichos números.
Instrucciones:
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Llama $n$ al primer número y $n+1$ al siguiente.
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Escribe la expresión de la diferencia de sus cuadrados: $(n+1)^2 - n^2$.
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Desarrolla y simplifica la expresión.
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Comprueba el resultado con los números $12$ y $13$.
Clasificar expresiones por sus términos
Una expresión con un solo término es un monomio. Un monomio tiene coeficiente (el número) y parte literal (las letras con sus exponentes). Su grado es la suma de los exponentes de la parte literal.
| Monomio | Coeficiente | Parte literal | Grado |
|---|---|---|---|
| $7x^2$ | $7$ | $x^2$ | $2$ |
| $-5ab^3$ | $-5$ | $ab^3$ | $4$ |
| $x^4y$ | $1$ | $x^4y$ | $5$ |
Cuando se suman varios monomios no semejantes se forma un polinomio, que según su número de términos se llama:
Reducir términos semejantes
Dos términos son semejantes si tienen la misma parte literal. Se suman o restan los coeficientes y se deja la parte literal: $3x + 5x - 2x = 6x$. Es la propiedad distributiva leída al revés: $3x + 5x = (3 + 5)x$.
Polinomio ordenado y completo
Un polinomio de una variable se suele nombrar con una letra mayúscula y la variable entre paréntesis: $P(x)$. Está ordenado cuando sus términos van de mayor a menor grado. Después de ordenarlo se leen sus elementos:
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el coeficiente principal es el del término de mayor grado;
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el término independiente es el que no tiene variable (el de grado $0$).
Está completo cuando aparecen todos los grados, desde el mayor hasta el $0$. Si falta alguno, se lo completa escribiéndolo con coeficiente $0$.
Clasifica las siguientes expresiones algebraicas indicando si son monomios, binomios o trinomios. En el caso de los polinomios (binomios y trinomios), indica también…
Clasifica las siguientes expresiones algebraicas indicando si son monomios, binomios o trinomios. En el caso de los polinomios (binomios y trinomios), indica también cuál es su grado.
- a) $4x^{3} - 5x + 2$
- b) $-7ab^{2}$
- c) $x^{2} + 10$
- d) $3y^{4} - 2y^{2}$
Reduce las siguientes expresiones algebraicas sumando o restando los monomios semejantes: a) $3x + 5x - 2x$ b) $7a^{2} - 3a + 2a^{2} + 5a$ c) $4xy + 2x - xy + 3x$ d)…
Reduce las siguientes expresiones algebraicas sumando o restando los monomios semejantes:
- a) $3x + 5x - 2x$
- b) $7a^{2} - 3a + 2a^{2} + 5a$
- c) $4xy + 2x - xy + 3x$
- d) $10n - 5 - 3n + 8$
Perímetros y áreas con expresiones
Las expresiones algebraicas sirven para escribir perímetros y áreas cuando una medida no se conoce. El perímetro es la suma de todos los lados; el área de un rectángulo es base por altura.
Cuando una figura se arma con varias partes, el área total es la suma de las áreas de cada parte; y si le falta un pedazo, se resta. Después se reducen los términos semejantes.
Estamos diseñando una nueva tablet cuya pantalla es rectangular. La base mide $x$ centímetros y la altura mide $5$ centímetros menos que la base. Escribe una expresión…
Estamos diseñando una nueva tablet cuya pantalla es rectangular. La base mide $x$ centímetros y la altura mide $5$ centímetros menos que la base. Escribe una expresión algebraica para el perímetro de la pantalla y simplifícala.
Un polideportivo municipal tiene una cancha de básquetbol de forma rectangular. Si la longitud de la cancha es $y$ metros y su ancho es la mitad de la longitud, escribí…
Un polideportivo municipal tiene una cancha de básquetbol de forma rectangular. Si la longitud de la cancha es $y$ metros y su ancho es la mitad de la longitud, escribí el polinomio que representa el área de la cancha en función de $y$.
Calcula la expresión algebraica que representa el área de la siguiente figura geométrica en función de $x$. Simplifica el resultado sumando los términos semejantes.
Calcula la expresión algebraica que representa el área de la siguiente figura geométrica en función de $x$. Simplifica el resultado sumando los términos semejantes.
Sumar, restar y multiplicar monomios
Para sumar y restar polinomios se reducen los términos semejantes. Conviene escribirlos ordenados, uno debajo del otro si ayuda. Al restar, el signo menos cambia el signo de todos los términos del polinomio que se resta.
Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de la misma base: $3x \cdot 2x^2 = 6x^3$.
Dados los polinomios $A(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5x$ y $B(x) = -2x^3 + 8x^2 - 7$, realiza las siguientes operaciones y ordena el polinomio resultante de mayor a menor grado:…
Dados los polinomios $A(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5x$ y $B(x) = -2x^3 + 8x^2 - 7$, realiza las siguientes operaciones y ordena el polinomio resultante de mayor a menor grado:
- a) $A(x) + B(x)$
- b) $A(x) - B(x)$
- c) $2 \cdot A(x) + 3 \cdot B(x)$
Reduce al máximo la siguiente expresión algebraica operando con monomios y eliminando los paréntesis: $3x \cdot (2x^2) - 4x^2 \cdot (x - 5) + \frac{12x^4}{3x}$
Reduce al máximo la siguiente expresión algebraica operando con monomios y eliminando los paréntesis:
$3x \cdot (2x^2) - 4x^2 \cdot (x - 5) + \frac{12x^4}{3x}$
Multiplicar polinomios
Para multiplicar se aplica la propiedad distributiva y se desarrolla: cada término de un factor multiplica a cada término del otro, y después se reducen los semejantes.
Un dron de vigilancia recorre una parcela rectangular cuyas dimensiones vienen dadas por los polinomios $L(x) = x^2 - 3x + 5$ para el largo y $A(x) = 2x + 1$ para el…
Un dron de vigilancia recorre una parcela rectangular cuyas dimensiones vienen dadas por los polinomios $L(x) = x^2 - 3x + 5$ para el largo y $A(x) = 2x + 1$ para el ancho. Obtén el polinomio que representa el área total de la parcela.
El nuevo modelo de un smartphone tiene una pantalla rectangular de cristal de dimensiones $x$ de ancho y $x+4$ de largo. Alrededor de la pantalla hay un marco o "bezel"…
El nuevo modelo de un smartphone tiene una pantalla rectangular de cristal de dimensiones $x$ de ancho y $x+4$ de largo. Alrededor de la pantalla hay un marco o "bezel" protector que tiene un grosor uniforme de $2$ cm en todos sus lados.
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Halla el polinomio reducido que expresa el área total del frontal del teléfono (pantalla más marco).
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Halla el polinomio reducido que expresa únicamente el área del marco (la zona gris).
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Si el ancho de la pantalla $x$ es de $6$ cm, ¿cuál es el área del marco?
Productos notables
Algunos productos aparecen tanto que conviene recordar el resultado. Salen de desarrollar y reducir:
Usá los productos notables para desarrollar las siguientes expresiones sin realizar la multiplicación paso a paso: a) $(3x + 5)^2$ b) $(2a - 4b)^2$ c)…
Usá los productos notables para desarrollar las siguientes expresiones sin realizar la multiplicación paso a paso:
- a) $(3x + 5)^2$
- b) $(2a - 4b)^2$
- c) $(x^2 + 3) \cdot (x^2 - 3)$
Operá y simplificá al máximo la siguiente expresión algebraica utilizando los productos notables para reducir términos: $$(3x - 5)^2 - (3x + 5)(3x - 5) - 10(3 - 3x)$$…
Operá y simplificá al máximo la siguiente expresión algebraica utilizando los productos notables para reducir términos:
$$(3x - 5)^2 - (3x + 5)(3x - 5) - 10(3 - 3x)$$Mostrá el proceso paso a paso, indicando qué producto notable aplicaste en cada caso.
Factor común
Sacar factor común es lo contrario de desarrollar: $ab + ac = a(b + c)$. Se busca el factor más grande que está en todos los términos: el m.c.d. de los coeficientes y cada letra repetida con su menor exponente.
Extrae el máximo factor común posible en las siguientes expresiones algebraicas: a) $15x^4 - 10x^3 + 5x^2$ b) $6a^2b - 9ab^2 + 3ab$ c) $12x^2y^3 - 18x^3y^2$
Extrae el máximo factor común posible en las siguientes expresiones algebraicas:
- a) $15x^4 - 10x^3 + 5x^2$
- b) $6a^2b - 9ab^2 + 3ab$
- c) $12x^2y^3 - 18x^3y^2$
Se desea diseñar una zona de juegos en un parque que consiste en un gran círculo de radio $R$. Dentro de este círculo, se instalará una zona de arena cuadrada cuyo lado…
Se desea diseñar una zona de juegos en un parque que consiste en un gran círculo de radio $R$. Dentro de este círculo, se instalará una zona de arena cuadrada cuyo lado mide exactamente el radio $R$ del círculo. El resto del círculo se cubrirá con césped artificial.
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Escribe la expresión algebraica reducida para el área de la zona de césped artificial en función de $R$. Utiliza $\pi$ como símbolo.
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Extrae factor común en la expresión obtenida.
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Si el radio $R$ es de $10$ metros, calcula el área de césped (usa $\pi \approx 3,14$).
Simplificar fracciones algebraicas
Una fracción algebraica tiene polinomios en el numerador y en el denominador. Se simplifica como una fracción numérica: se factoriza arriba y abajo y se cancelan los factores iguales. Además, el denominador no puede valer $0$, así que hay valores de $x$ prohibidos.
Simplificá la siguiente fracción algebraica extrayendo primero factor común y utilizando productos notables en el numerador y el denominador: $$\frac{2x^3 - 8x}{x^2 + 4x…
Simplificá la siguiente fracción algebraica extrayendo primero factor común y utilizando productos notables en el numerador y el denominador:
$$\frac{2x^3 - 8x}{x^2 + 4x + 4}$$¿Para qué valor de $x$ no tendría sentido esta expresión? (Pista: el denominador no puede ser cero).
Volvé al principio: si la suscripción de música cuesta $\$\,150$ por mes ($x = 150$), el valor numérico de $\dfrac{x}{3}$ es $\dfrac{150}{3} = 50$: cada uno paga $\$\,50$.