Problemas con ecuaciones
Resolver una ecuación es la parte mecánica, la que ya sabés hacer. Lo difícil es plantearla: pasar de un enunciado escrito en palabras a una ecuación. Por ejemplo: dos hermanas juntan figuritas y entre las dos tienen 50; una tiene 8 más que la otra. ¿Cuántas tiene cada una? Con un método claro y unas pocas plantillas, la mayoría de los problemas se vuelven rutina.
El método en cuatro pasos
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Elegí la incógnita y escribí qué significa: «$x$ = precio de cada alfajor», no solo «$x$».
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Traducí cada dato del enunciado usando esa variable.
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Planteá la ecuación con la condición que te dan (una igualdad entre dos cantidades) y resolvela.
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Verificá reemplazando en el enunciado (no solo en la ecuación) y respondé con una frase y con unidades.
Acá la letra no es siempre la misma cosa: en estos problemas $x$ es una incógnita, un número que todavía no conocemos y que queremos averiguar.
Si al triple de un número le sumamos $12$, obtenemos como resultado $48$. ¿De qué número se trata?
Si al triple de un número le sumamos $12$, obtenemos como resultado $48$. ¿De qué número se trata?
Marta compró $3$ camisetas iguales para el equipo de atletismo y un pantalón deportivo que costaba $\$600$. Si en total gastó $\$2\,400$, ¿cuánto costó cada camiseta?
Marta compró $3$ camisetas iguales para el equipo de atletismo y un pantalón deportivo que costaba $\$600$. Si en total gastó $\$2\,400$, ¿cuánto costó cada camiseta?
Álvaro tiene $4$ años más que su hermana Lucía. Si la suma de las edades de ambos es de $26$ años, ¿qué edad tiene cada uno de los hermanos?
Álvaro tiene $4$ años más que su hermana Lucía. Si la suma de las edades de ambos es de $26$ años, ¿qué edad tiene cada uno de los hermanos?
Números y edades
Números consecutivos: si el primero es $x$, el siguiente es $x+1$ y el otro $x+2$.
Edades: hacé una tabla con el presente y el futuro (o el pasado). El tiempo pasa igual para todos, así que se suma (o se resta) la misma cantidad a cada edad.
| Hoy | Dentro de 4 años | |
|---|---|---|
| Camila | $x$ | $x + 4$ |
| Su mamá (triple) | $3x$ | $3x + 4$ |
Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea igual a $54$.
Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea igual a $54$.
La edad de una madre es actualmente el triple que la de su hijo. Hace $6$ años, la suma de las edades de ambos era de $40$ años. ¿Qué edad tienen el hijo y la madre en…
La edad de una madre es actualmente el triple que la de su hijo. Hace $6$ años, la suma de las edades de ambos era de $40$ años. ¿Qué edad tienen el hijo y la madre en la actualidad?
La edad de un padre es hoy el triple de la de su hijo. Hace $6$ años, la edad del padre era cinco veces la edad que tenía su hijo en aquel momento. ¿Cuántos años deben…
La edad de un padre es hoy el triple de la de su hijo. Hace $6$ años, la edad del padre era cinco veces la edad que tenía su hijo en aquel momento. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la suma de las edades del padre y del hijo sea de exactamente $100$ años?
Figuras: perímetros
En geometría, dibujá siempre la figura y anotá las medidas usando $x$. El perímetro es la suma de todos los lados.
El perímetro de un triángulo isósceles es de $40 \text{ cm}$. Si el lado desigual mide $10 \text{ cm}$, ¿cuánto mide cada uno de los lados iguales?
El perímetro de un triángulo isósceles es de $40 \text{ cm}$. Si el lado desigual mide $10 \text{ cm}$, ¿cuánto mide cada uno de los lados iguales?
Una pista de pádel rectangular tiene un perímetro de $60$ metros. Sabiendo que el largo de la pista mide $6$ metros más que el ancho, calcula las dimensiones (largo y…
Una pista de pádel rectangular tiene un perímetro de $60$ metros. Sabiendo que el largo de la pista mide $6$ metros más que el ancho, calcula las dimensiones (largo y ancho) de dicha pista.
Un agricultor quiere vallar una parcela triangular para sus ovejas. Sabiendo que se trata de un triángulo isósceles, que el lado desigual mide $5$ metros menos que cada…
Un agricultor quiere vallar una parcela triangular para sus ovejas. Sabiendo que se trata de un triángulo isósceles, que el lado desigual mide $5$ metros menos que cada uno de los lados iguales y que se han necesitado $40$ metros de valla en total, ¿cuánto mide cada lado de la parcela?
Figuras: áreas y Pitágoras
Cuando el problema compara áreas, escribí cada área como un producto y desarrollá con la propiedad distributiva. Muchas veces el término con $x^2$ aparece en los dos lados (o en las dos áreas que restás) y se cancela: la ecuación sigue siendo de primer grado.
Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, $a^2 + b^2 = c^2$, donde $c$ es la hipotenusa. También vale el recíproco: si los tres lados cumplen $a^2 + b^2 = c^2$, el triángulo es rectángulo. Por ejemplo, $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$, así que 5-12-13 es rectángulo.
Cuando un problema pide los lados de un triángulo rectángulo, no hace falta resolver una ecuación de segundo grado: probá con las ternas pitagóricas conocidas (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, y sus múltiplos) y fijate cuál cumple la condición del enunciado. Si falta un solo lado, planteás $6^2 + x^2 = 10^2$, o sea $x^2 = 64$, y buscás el número que elevado al cuadrado da 64: $x = 8$.
Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su base es $3$ cm mayor que su altura y que, si aumentamos la altura en $2$ cm, el área del nuevo rectángulo…
Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su base es $3$ cm mayor que su altura y que, si aumentamos la altura en $2$ cm, el área del nuevo rectángulo aumenta en $16$ $cm^2$.
Se quiere diseñar un jardín rectangular rodeado por un camino de baldosas de $2$ metros de ancho de forma constante. El largo del jardín es el doble que su ancho. Si…
Se quiere diseñar un jardín rectangular rodeado por un camino de baldosas de $2$ metros de ancho de forma constante. El largo del jardín es el doble que su ancho. Si sabemos que el área total que ocupa el camino de baldosas es de $112$ m$^2$, ¿cuáles son las dimensiones del jardín (ancho y largo)?
Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo sabiendo que sus tres lados vienen expresados por tres números naturales consecutivos. (Pista: utiliza el Teorema de…
Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo sabiendo que sus tres lados vienen expresados por tres números naturales consecutivos. (Pista: utiliza el Teorema de Pitágoras $a^2 + b^2 = c^2$, donde $c$ es el lado mayor).
Dos cantidades que suman un total
A veces el enunciado habla de dos cantidades (ovejas y gallinas, autos y motos, las dos cifras de un número) que juntas suman un total conocido. No hace falta otra letra: si una es $x$, la otra es total $- x$.
Un pastor tiene una mezcla de ovejas y gallinas en su corral. Si contamos las cabezas hay un total de $20$, y si contamos las patas hay $64$. ¿Cuántas ovejas y cuántas…
Un pastor tiene una mezcla de ovejas y gallinas en su corral. Si contamos las cabezas hay un total de $20$, y si contamos las patas hay $64$. ¿Cuántas ovejas y cuántas gallinas hay en el corral? (Recuerda que las ovejas tienen $4$ patas y las gallinas $2$).
Marcos ha comprado un videojuego y unos auriculares para su consola. Los auriculares le han costado $480$ pesos menos que el videojuego. Si el videojuego estuviera…
Marcos ha comprado un videojuego y unos auriculares para su consola. Los auriculares le han costado $480$ pesos menos que el videojuego. Si el videojuego estuviera rebajado a la mitad de su precio original, Marcos habría pagado $1\,920$ pesos por las dos cosas juntas. ¿Cuál es el precio original de cada artículo?
Un número tiene dos cifras que suman $12$. Si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos un nuevo número que es $18$ unidades mayor que el número original. Halla el…
Un número tiene dos cifras que suman $12$. Si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos un nuevo número que es $18$ unidades mayor que el número original. Halla el número original utilizando una ecuación con una sola incógnita (Pista: recuerda que un número de dos cifras se puede escribir como $10x + y$).
Mezclas y movimientos
Mezclas. Hay dos cuentas distintas: una cuenta cantidades (kg, litros) y la otra cuenta dinero. Si de un ingrediente usás $x$ kg y el total es $T$ kg, del otro usás $T - x$ kg. El costo total de la mezcla es la suma de lo que cuesta cada parte, y es igual al precio de la mezcla por los kilos totales.
Movimientos. Usamos $d = v \cdot t$. Cuando uno sale después que otro, el que salió antes lleva más tiempo en camino. Se alcanzan cuando recorrieron la misma distancia.
En una cafetería, han mezclado café de Colombia, que cuesta $480$ pesos/kg, con café de Brasil, que cuesta $320$ pesos/kg. Si han obtenido $20$ kg de mezcla y el precio…
En una cafetería, han mezclado café de Colombia, que cuesta $480$ pesos/kg, con café de Brasil, que cuesta $320$ pesos/kg. Si han obtenido $20$ kg de mezcla y el precio final de esta es de $360$ pesos/kg, ¿cuántos kilos de café de cada tipo han utilizado?
Un laboratorio de perfumes quiere crear una nueva fragancia mezclando dos esencias. La esencia A cuesta $4\,800$ pesos/litro y la esencia B cuesta $3\,000$ pesos/litro.…
Un laboratorio de perfumes quiere crear una nueva fragancia mezclando dos esencias. La esencia A cuesta $4\,800$ pesos/litro y la esencia B cuesta $3\,000$ pesos/litro. Decidieron que para obtener un frasco de $250$ ml, el costo de la mezcla debe ser de exactamente $990$ pesos. ¿Qué cantidad de cada esencia, medida en mililitros, debe contener el frasco?
En una competición de robótica, un robot sale de la meta a una velocidad constante de $2$ m/s. Treinta segundos después, un segundo robot sale en su persecución a una…
En una competición de robótica, un robot sale de la meta a una velocidad constante de $2$ m/s. Treinta segundos después, un segundo robot sale en su persecución a una velocidad de $3,5$ m/s. Si la pista tiene una longitud total de $150$ metros antes de llegar a una zona de obstáculos, ¿logrará el segundo robot alcanzar al primero antes de que este entre en la zona de obstáculos? Plantea la ecuación y justifica la respuesta calculando la distancia del alcance.
Trabajo conjunto: cuánto hace cada uno por hora
Cuando dos canillas (o dos personas) llenan un depósito, no se suman los tiempos: se suma lo que hace cada una en una hora. Si una canilla llena el depósito en $t$ horas, en una hora llena la fracción $\frac{1}{t}$ del depósito. Esa fracción es su tasa.
Si trabajan juntas, en una hora llenan $\frac{1}{t_A} + \frac{1}{t_B}$, y eso es $\frac{1}{t}$, siendo $t$ el tiempo que tardan juntas.
Hay problemas donde la incógnita está en un denominador y aparece $x^2$ al sacar denominadores. Eso lleva a una ecuación de segundo grado, que todavía no vimos. Se puede resolver igual probando valores y verificando con las tasas.
Un depósito de agua se llena mediante dos canillas. La canilla A tarda $6$ horas más que la canilla B en llenar el depósito por separado. Si se abren ambas a la vez, el…
Un depósito de agua se llena mediante dos canillas. La canilla A tarda $6$ horas más que la canilla B en llenar el depósito por separado. Si se abren ambas a la vez, el depósito se llena en exactamente $4$ horas. Calculá cuánto tiempo tardaría la canilla B en llenar el depósito sola. (Este problema requiere resolver una ecuación de segundo grado).
Volvé al principio: las dos hermanas con 50 figuritas y 8 de diferencia se resuelven con $x + (x + 8) = 50$. Entonces $x = 21$ y la otra tiene 29.