Mínimo común múltiplo

Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números de forma mental:

1. a) $m.c.m.(2, 5)$
2. b) $m.c.m.(3, 9)$
3. c) $m.c.m.(4, 10)$
4. d) $m.c.m.(7, 11)$

En un videojuego de plataformas, tu personaje consigue un escudo protector cada $4$ niveles y una mejora de velocidad cada $6$ niveles. Si acabas de empezar la partida en el nivel $0$, ¿en qué nivel coincidirán por primera vez ambas recompensas? Calcula el resultado obteniendo los primeros múltiplos de cada número.

La recta numérica muestra el primer salto de cada recompensa. Continúa tú los saltos hasta encontrar el primer nivel en el que coinciden.

Sin necesidad de realizar la descomposición factorial, razona cuál es el $m.c.m.(5, 20)$. Ten en cuenta la relación de divisibilidad que hay entre ambos números. ¿Qué ocurre con el mínimo común múltiplo cuando un número es múltiplo de otro?

Calcula en tu libreta el mínimo común múltiplo de los números $12$ y $18$ utilizando la descomposición en factores primos. Para ello, sigue estos pasos:

1. Realiza la descomposición factorial de ambos números.

2. Identifica los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

3. Multiplícalos para obtener el $m.c.m.(12, 18)$.

Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes grupos de números utilizando la descomposición en factores primos:

1. a) $m.c.m.(45, 75)$
2. b) $m.c.m.(12, 18, 24)$
3. c) $m.c.m.(80, 120, 200)$

Dos ciclistas profesionales entrenan en un velódromo circular. El primero completa una vuelta cada $108$ segundos, mientras que el segundo, que va un poco más lento, tarda $120$ segundos. Si ambos pasan juntos por la línea de meta en este momento, ¿cuántos minutos tardarán en volver a coincidir en el mismo punto por primera vez?

El equipo de soporte de una aplicación de videojuegos tiene tres servidores que realizan copias de seguridad de forma automática. El primer servidor hace una copia cada $24$ horas, el segundo cada $36$ horas y el tercero cada $48$ horas. Si hoy se han realizado las tres copias simultáneamente, ¿dentro de cuántos días volverá a ocurrir lo mismo?

El producto de dos números naturales es $6\,750$ y su máximo común divisor ($M.C.D.$) es $15$. Utilizando la relación que existe entre el producto de dos números, su $M.C.D.$ y su mínimo común múltiplo ($m.c.m.$), calcula primero el valor del $m.c.m.$ de dichos números. A continuación, averigua cuáles son esos dos números sabiendo que su diferencia es exactamente $15$.

Lucía y Marcos entrenan en la pista de atletismo del liceo. Lucía tarda $6$ minutos en dar una vuelta completa y Marcos tarda $8$ minutos. Si salen juntos de la línea de meta:

1. a) ¿Al cabo de cuántos minutos volverán a cruzar la meta al mismo tiempo?
2. b) ¿Calculá cuántas vueltas habrá dado cada uno en ese momento?

En un almacén queremos apilar cajas de dos tipos de productos diferentes. Las cajas del producto A tienen una altura de $18$ cm y las del producto B tienen una altura de $30$ cm. En la figura puedes ver una caja de cada tipo (las alturas están dibujadas a la misma escala).

Si apilamos cajas del producto A en una pila y cajas del producto B en otra:

1. a) ¿Cuál es la altura mínima que deben alcanzar ambas pilas para que tengan exactamente la misma altura?

1. b) ¿Cuántas cajas de cada tipo habrá en cada pila en ese momento?

Busca el número más pequeño que, al ser dividido por $15$, $20$ y $35$, da siempre un resto igual a $0$. Una vez hallado, indica cuál sería el número más pequeño que al dividirlo por esos mismos valores diera siempre un resto de $3$.

En una estación espacial, cuatro satélites de investigación orbitan alrededor de un asteroide. El primero completa su órbita cada $12$ horas, el segundo cada $18$ horas, el tercero cada $20$ horas y el cuarto cada $30$ horas. Si hoy a las $12:00$ del mediodía se encuentran alineados por primera vez, ¿cuántos días completos deberán transcurrir para que vuelvan a coincidir exactamente en la misma posición? ¿A qué hora del día ocurrirá dicho encuentro?