Estudio de las rectas
Un monopatín eléctrico de alquiler cobra $\$40$ por desbloquearlo y $\$20$ por cada minuto. La alcancía de Lucía arranca con $\$600$ y suma $\$100$ por semana. En los dos casos la gráfica es una recta, y con solo dos números (cuánto crece por unidad y desde dónde arranca) sabés todo lo que va a pasar.
Pendiente y ordenada en el origen
Algunos ejercicios y textos escriben la misma función como $y = mx + n$: $m$ es la pendiente (nuestra $a$) y $n$ la ordenada en el origen (nuestra $b$). Es lo mismo con otras letras.
Movelos $a$ y $b$. Fijate en que $a$ inclina la recta y $b$ la sube o la baja sin girarla:
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$a > 0$: la recta es creciente. $a < 0$: decreciente. $a = 0$: recta horizontal (función constante).
-
Cuanto mayor es $|a|$, más empinada es la recta.
Dada la función lineal $y = -2x$, indica razonadamente: a) ¿Cuál es el valor de su pendiente ($m$)? b) ¿La función es creciente o decreciente? c) ¿Pasa la gráfica por el…
Dada la función lineal $y = -2x$, indica razonadamente:
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a) ¿Cuál es el valor de su pendiente ($m$)?
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b) ¿La función es creciente o decreciente?
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c) ¿Pasa la gráfica por el origen de coordenadas $(0, 0)$?
El alquiler de un monopatín eléctrico tiene un costo de $\$40$ por el desbloqueo inicial y $\$20$ por cada minuto de uso. La función que relaciona el costo ($y$) con el…
El alquiler de un monopatín eléctrico tiene un costo de $\$40$ por el desbloqueo inicial y $\$20$ por cada minuto de uso. La función que relaciona el costo ($y$) con el tiempo en minutos ($x$) es $y = 20x + 40$.
Calculá cuánto costará un viaje que dure $10$ minutos.
Un nuevo servicio de streaming de música ofrece una suscripción que cuesta $\$120…
Un nuevo servicio de streaming de música ofrece una suscripción que cuesta $\$120$ por cada mes contratado.
- a) Completá la siguiente tabla de valores que relaciona el tiempo en meses ($x$) con el costo total ($y$):
| Meses ($x$) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Costo ( pesos) ($y$) | $120$ |
- b) Escribí la ecuación de la función de proporcionalidad directa que representa esta situación.
Variables y dominio de la función afín
En una función hay dos variables que se relacionan:
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La variable independiente ($x$) es la que elegimos libremente: el tiempo, la cantidad de minutos, las semanas.
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La variable dependiente ($y$) es la que se calcula a partir de $x$: el costo, la altura, el dinero ahorrado.
Por ejemplo, en el monopatín, $x$ son los minutos (independiente) e $y$ el costo (dependiente): el costo depende del tiempo que uses.
Una función se define entre dos conjuntos: escribimos $f: A \to B$.
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El dominio $A$ es el conjunto de valores que puede tomar $x$.
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El codominio $B$ es el conjunto donde caen los valores $f(x)$.
-
El conjunto imagen son los valores de $f(x)$ que realmente se obtienen (está dentro del codominio).
Si no hay restricciones, la función afín $f(x) = ax + b$ se define en $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$: su gráfica es una recta completa. Si $a \neq 0$, el conjunto imagen es todo $\mathbb{R}$. Si $a = 0$, es un solo valor: $\{b\}$.
Pero muchas veces el contexto limita el dominio. Con $x$ = cantidad de minutos de un viaje en monopatín, $x$ no puede ser negativo: el dominio es $[0, +\infty)$ y la gráfica es una semirrecta. Si $x$ cuenta «semanas completas» de ahorro, el dominio es $\mathbb{N}$ y la gráfica son puntos aislados sobre la recta.
Rectas especiales: horizontales, verticales y por el origen
No todas las rectas son de la forma $y = ax + b$ con $a \neq 0$. Mirá estos casos:
| Ecuación | Cómo es la recta | ¿Es función? |
|---|---|---|
| $y = 3$ | horizontal, $a = 0$ | Sí: función constante |
| $y = 3x$ | pasa por el origen | Sí: proporcionalidad directa |
| $x = -2$ | vertical | No |
Una recta vertical no es función: al valor $x = -2$ le corresponden infinitos valores de $y$. Con la prueba de la recta vertical se ve enseguida: si alguna recta vertical corta la gráfica en más de un punto, esa gráfica no representa una función.
Un estacionamiento para bicicletas en el centro de la ciudad cobra una tarifa fija de $\$80…
Un estacionamiento para bicicletas en el centro de la ciudad cobra una tarifa fija de $\$80$ al día, sin importar cuántas horas dejes la bicicleta estacionada.
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a) Representá esta situación mediante una tabla de valores (horas vs costo).
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b) ¿Qué tipo de función es: lineal, afín o constante?
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c) ¿Cuál sería su ecuación?
Para que una gráfica represente una función, a cada valor de la variable independiente $x$ le debe corresponder un único valor de la variable dependiente $y$. Observa…
Para que una gráfica represente una función, a cada valor de la variable independiente $x$ le debe corresponder un único valor de la variable dependiente $y$. Observa las siguientes gráficas e indica razonadamente cuál de ellas no es una función. Para razonarlo, imagina rectas verticales que recorren cada gráfica y fíjate en cuántos puntos la cortan.
Asociá cada una de las siguientes ecuaciones de rectas con su descripción correspondiente: 1. $y = 3$ 2. $x = -2$ 3. $y = 3x$ 4. $y = -x + 3$ A) Recta que pasa por el…
Asociá cada una de las siguientes ecuaciones de rectas con su descripción correspondiente:
-
$y = 3$
-
$x = -2$
-
$y = 3x$
-
$y = -x + 3$
A) Recta que pasa por el origen y tiene pendiente positiva.
B) Función constante que representa una línea horizontal.
C) Recta con pendiente negativa y ordenada en el origen igual a $3$.
D) Línea vertical que no representa una función.
Leer la ecuación en una gráfica
Para escribir $y = ax + b$ desde una gráfica:
-
Leé $b$: donde la recta corta al eje $Y$.
-
Elegí dos puntos de la recta con coordenadas bien claras y calculá la pendiente.
-
Escribí la ecuación.
Si la recta es la de una persona que camina a velocidad constante y pasa por el origen, es de proporcionalidad directa y la pendiente es la constante de proporcionalidad (la velocidad).
También podés leer las coordenadas de puntos destacados de una gráfica: primero la abscisa ($x$), después la ordenada ($y$).
Un grupo de amigos está diseñando un nuevo logo para su club de videojuegos en un papel cuadriculado. Escribe las coordenadas de los puntos destacados en la gráfica que…
Un grupo de amigos está diseñando un nuevo logo para su club de videojuegos en un papel cuadriculado. Escribe las coordenadas de los puntos destacados en la gráfica que forman los vértices del diseño.
Observa la siguiente gráfica que muestra el recorrido de una persona que camina a velocidad constante. Indica si la relación entre la distancia recorrida y el tiempo es…
Observa la siguiente gráfica que muestra el recorrido de una persona que camina a velocidad constante. Indica si la relación entre la distancia recorrida y el tiempo es de proporcionalidad directa y calcula su constante de proporcionalidad (la pendiente).
Dada la siguiente gráfica que representa una función afín, realizá los siguientes pasos: a) Identificá visualmente la ordenada en el origen ($n$). b) Calculá la…
Dada la siguiente gráfica que representa una función afín, realizá los siguientes pasos:
- a) Identificá visualmente la ordenada en el origen ($n$).
- b) Calculá la pendiente ($m$) utilizando dos puntos de la recta por los que pase exactamente (por ejemplo, los puntos de corte con los ejes).
- c) Escribí la ecuación explícita de la recta de la forma $y = mx + n$.
Calcular la pendiente con dos puntos
Si conocés dos puntos $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$ de la recta:
$$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\text{lo que sube}}{\text{lo que avanza}}$$Una vez que tenés $a$, sustituís uno de los puntos en $y = ax + b$ y despejás $b$ (una ecuación de primer grado).
Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(-2, 5)$ y $B(4, -7)$. Para ello: 1. Calcula primero la pendiente $m$ mediante la fórmula…
Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(-2, 5)$ y $B(4, -7)$. Para ello:
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Calcula primero la pendiente $m$ mediante la fórmula $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
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Sustituye la pendiente y uno de los puntos en la ecuación $y = mx + n$ para encontrar el valor de $n$.
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Escribe la ecuación final y di si la función es creciente o decreciente justificando tu respuesta según el valor de la pendiente.
Lucía está ahorrando dinero en una alcancía. Inicialmente tiene $\$600$ y cada semana decide meter $\$100$ de su propina. a) Completá la siguiente tabla de valores: |…
Lucía está ahorrando dinero en una alcancía. Inicialmente tiene $\$600$ y cada semana decide meter $\$100$ de su propina.
- a) Completá la siguiente tabla de valores:
| Semanas ($x$) | $0$ | $1$ | $2$ | $4$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Dinero ahorrado ($y$) | $600$ |
- b) Escribí la ecuación de la función.
- c) Si Lucía quiere comprarse un videojuego que cuesta $\$2\,200$, ¿cuántas semanas tendrá que esperar según esta función?
Halla la ecuación de la recta $r$ que cumple las siguientes condiciones simultáneamente: 1. Es decreciente. 2. Su pendiente es el doble (en valor absoluto) de la…
Halla la ecuación de la recta $r$ que cumple las siguientes condiciones simultáneamente:
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Es decreciente.
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Su pendiente es el doble (en valor absoluto) de la pendiente de la recta que pasa por los puntos $C(0, 1)$ y $D(2, 2)$.
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Pasa por el punto de intersección de las rectas $y = 2x - 5$ e $y = 3$.
a) Calcula primero la pendiente de la recta que pasa por $C$ y $D$.
b) Determina el punto de intersección mencionado en el punto 3.
c) Escribe la ecuación final de la recta $r$.
Cortes con los ejes y triángulo con los ejes
Una recta que no es horizontal ni pasa por el origen corta a los dos ejes:
-
Eje $Y$: se hace $x = 0$. El punto es $(0, b)$.
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Eje $X$: se hace $y = 0$ y se resuelve la ecuación de primer grado $ax + b = 0$. El punto es $\left(-\dfrac{b}{a}, 0\right)$.
Los dos cortes y el origen forman un triángulo rectángulo cuyos catetos están sobre los ejes. Su área es
$$\text{Área} = \frac{|\text{corte con }X| \cdot |\text{corte con }Y|}{2}$$Cuando el problema dice que $b$ es un entero positivo y da el área, podés tantear. Si el área es $A$, el corte con $X$ mide $\dfrac{2A}{b}$. Para cada valor de $b$ (1, 2, 3, …) la recta pasa por $(0, b)$ y por ese corte, y calculás su pendiente. Después comprobás si pasa por el punto dado, y te quedás con el valor que sí cumple. El signo de $a$ lo decide el enunciado y la ubicación del punto.
Se sabe que una función afín tiene como representación gráfica una recta que pasa por el punto $A(3, -2)$. Además, sabemos que esta recta forma un triángulo con los ejes…
Se sabe que una función afín tiene como representación gráfica una recta que pasa por el punto $A(3, -2)$. Además, sabemos que esta recta forma un triángulo con los ejes de coordenadas cuya área es de $4$ unidades cuadradas, y su ordenada en el origen es un número entero positivo.
a) Determiná el valor de la ordenada en el origen ($n$).
b) Calculá la pendiente ($m$) de la recta.
c) Escribí la ecuación de la recta y comprobá que el punto $A$ pertenece a ella.
Rectas paralelas
Si el punto no está sobre el eje $Y$, se sustituye en $y = ax + b$ y se despeja $b$. Por ejemplo, la paralela a $y = 2x$ que pasa por $(1, 5)$: $5 = 2 \cdot 1 + b$, entonces $b = 3$ y la recta es $y = 2x + 3$.
Determiná la ecuación de la recta que cumple las siguientes dos condiciones: Es paralela a la recta $y = -3x + 5$. Pasa por el punto $P(0, 4)$. Explicá qué…
Determiná la ecuación de la recta que cumple las siguientes dos condiciones:
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Es paralela a la recta $y = -3x + 5$.
-
Pasa por el punto $P(0, 4)$.
Explicá qué característica deben compartir dos rectas para ser paralelas y cómo usaste el punto $P$ para hallar la ordenada en el origen.
Dibuja en unos mismos ejes de coordenadas las gráficas de las funciones $y = 2x - 1$ e $y = 2x + 3$. a) ¿Qué relación geométrica observas entre ambas rectas? b)…
Dibuja en unos mismos ejes de coordenadas las gráficas de las funciones $y = 2x - 1$ e $y = 2x + 3$.
- a) ¿Qué relación geométrica observas entre ambas rectas?
- b) Justifica tu respuesta anterior comparando sus ecuaciones.
- c) ¿Se cortarán en algún punto estas dos rectas? Razona tu respuesta.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En una competencia de drones, el "Dron A" sigue una trayectoria rectilínea representada por la función $y = \frac{3}{2}x + 2$. Se quiere lanzar un "Dron B" cuya…
En una competencia de drones, el "Dron A" sigue una trayectoria rectilínea representada por la función $y = \frac{3}{2}x + 2$. Se quiere lanzar un "Dron B" cuya trayectoria sea una línea recta paralela a la del "Dron A", pero que pase obligatoriamente por el punto donde se encuentra una baliza situada en las coordenadas $P(-4, -1)$.
a) Determiná la ecuación de la función afín que describe la trayectoria del "Dron B".
b) ¿En qué punto cortará la trayectoria del "Dron B" al eje de ordenadas (eje $Y$)?
c) Representá gráficamente ambas trayectorias e indicá si alguna de ellas es una función de proporcionalidad directa.
Dadas las funciones $f(x) = ax + 3$ y $g(x) = -2x + b$: a) Si ambas rectas son paralelas y la recta $g(x)$ pasa por el punto $P(1, 4)$, calcula los valores de $a$ y $b$.…
Dadas las funciones $f(x) = ax + 3$ y $g(x) = -2x + b$:
a) Si ambas rectas son paralelas y la recta $g(x)$ pasa por el punto $P(1, 4)$, calcula los valores de $a$ y $b$.
b) Una vez hallados $a$ y $b$, calcula el punto donde la recta $f(x)$ corta al eje de abscisas (eje $X$).
c) ¿Es alguna de estas funciones una función constante? Justifica tu respuesta.
Modelizar con rectas
Muchos fenómenos que cambian de forma constante se describen con una función afín. Se identifica $b$ (valor inicial) y $a$ (cambio por unidad), o se calculan con dos datos. El signo de $a$ dice si crece o decrece. Al plantear el problema, empezá siempre por decir cuál es la variable independiente (lo que elegís, como el tiempo) y cuál la dependiente (lo que resulta, como la altura o el volumen).
Un dron se encuentra inicialmente a una altura de $40$ metros. Al pulsar el botón de "regreso a base", el dron comienza a descender de forma constante a una velocidad de…
Un dron se encuentra inicialmente a una altura de $40$ metros. Al pulsar el botón de "regreso a base", el dron comienza a descender de forma constante a una velocidad de $4$ metros por segundo. La figura muestra solo el comienzo del descenso.
- a) Define las variables independiente y dependiente de este problema.
- b) Escribe la ecuación de la función que relaciona la altura del dron ($y$) con el tiempo transcurrido ($x$) desde que se pulsó el botón.
- c) ¿Cuál es la altura del dron tras $6$ segundos? ¿Cuánto tiempo tarda en aterrizar totalmente (altura $0$)?
Un tanque de agua de $1000$ litros tiene una fuga. Cada hora que pasa, el volumen de agua disminuye en una cantidad constante. A las $3$ horas de detectar la fuga,…
Un tanque de agua de $1000$ litros tiene una fuga. Cada hora que pasa, el volumen de agua disminuye en una cantidad constante. A las $3$ horas de detectar la fuga, quedan $850$ litros.
a) Encontrá la ecuación de la función afín que relaciona el tiempo transcurrido ($x$) con el volumen de agua en el tanque ($y$).
b) Si no se repara la fuga, ¿cuánta agua quedará a las $10$ horas?
c) Representá la función e indicá el dominio y el recorrido de la función teniendo en cuenta el contexto físico del problema (el tiempo no puede ser negativo y el volumen no puede ser menor que cero).
La batería de una computadora portátil se descarga de forma lineal. A las 10:00 de la mañana, la batería estaba al $90\%$. A las 12:30 del mediodía, el nivel había…
La batería de una computadora portátil se descarga de forma lineal. A las 10:00 de la mañana, la batería estaba al $90\%$. A las 12:30 del mediodía, el nivel había bajado al $45\%$.
a) Si llamamos $x$ al tiempo transcurrido en horas desde las 10:00, hallá la ecuación de la función que nos da el porcentaje de batería restante.
b) ¿Cuál es la pendiente de la función? Explicá su significado en este contexto real.
c) ¿A qué hora exacta se agotará la batería por completo si el consumo sigue siendo el mismo?
Funciones definidas por tramos
A veces una situación cambia de regla a partir de cierto valor de $x$: un video viral, un cambio de tarifa. Entonces la función usa una recta en cada tramo, y cada una vale en su propio dominio. Se escribe así:
$$f(x) = \begin{cases} a_1 x + b_1 & \text{si } x \le k \\ a_2 x + b_2 & \text{si } x > k \end{cases}$$Para calcular $f(x)$, primero mirás en qué tramo cae el valor de $x$ y después usás solo la fórmula de ese tramo.
Un creador de contenido digital analizó el crecimiento de sus seguidores. Durante el primer mes, su crecimiento siguió una función lineal que pasaba por los puntos…
Un creador de contenido digital analizó el crecimiento de sus seguidores. Durante el primer mes, su crecimiento siguió una función lineal que pasaba por los puntos $A(2, 500)$ y $B(5, 1250)$, donde $x$ es el día del mes e $y$ el número de seguidores. Sin embargo, a partir del día 15, debido a un video viral, su crecimiento pasó a ser otra función lineal paralela a la anterior pero que en el día $x = 16$ ya alcanzaba los $5000$ seguidores.
a) Hallá la ecuación de la función lineal del primer tramo (días 1 al 15).
b) Hallá la ecuación de la nueva función a partir del día 15.
c) ¿Cuántos seguidores tenía el día 20 según esta segunda función?
Comparar tarifas con rectas
En los problemas de tarifas, $b$ es el cargo fijo y $a$ el costo por unidad (por minuto, por GB). Para saber cuándo conviene una u otra, se igualan las dos funciones: la solución es la abscisa del punto de corte.
Dos empresas de alquiler de monopatines eléctricos tienen tarifas diferentes. La empresa EcoRolling cobra $\$8…
Dos empresas de alquiler de monopatines eléctricos tienen tarifas diferentes. La empresa EcoRolling cobra $\$8$ por cada minuto de uso sin cuota fija. La empresa FastGlide cobra una cuota fija de $\$80$ por desbloquear el monopatín y luego $\$4$ por cada minuto.
- a) Escribí la función que relaciona el costo total ($y$) con el tiempo de uso en minutos ($x$) para cada una de las empresas.
- b) Indicá cuál de las dos es una función de proporcionalidad directa (lineal) y cuál es una función afín.
- c) ¿A partir de cuántos minutos de trayecto empieza a ser más barata la opción de FastGlide?
Dos compañías de fibra óptica ofrecen las siguientes tarifas mensuales: NetRápido: $800$ pesos fijos al mes más $20$ pesos por cada GB de descarga extra. FibraTotal: Sin…
Dos compañías de fibra óptica ofrecen las siguientes tarifas mensuales:
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NetRápido: $800$ pesos fijos al mes más $20$ pesos por cada GB de descarga extra.
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FibraTotal: Sin costo fijo, pero cobra $52$ pesos por cada GB de descarga.
a) Escribí la expresión algebraica de la función que relaciona el costo mensual ($y$) con los GB extra ($x$) para cada compañía.
b) ¿A partir de cuántos GB de descarga extra empieza a ser más rentable la compañía NetRápido? (Hallá el punto de corte de ambas rectas).
c) Si un mes consumís $30$ GB extra, ¿cuál es la diferencia de precio entre ambas?
Vuelvo al principio: la alcancía de Lucía es $y = 100x + 600$: parte de $\$600$ ($b = 600$) y suma $\$100$ por semana ($a = 100$). El monopatín cuesta $y = 20x + 40$.