Identidades notables

Lucía quiere diseñar una alfombra cuadrada para su habitación. El lado de la alfombra mide $(x + 4)$ metros.

1. a) Escribe la expresión del área de la alfombra como el cuadrado de un binomio.
2. b) Desarrolla el binomio para obtener el polinomio que representa el área.

Un error muy común al empezar con los productos notables es pensar que el cuadrado de una suma es simplemente la suma de los cuadrados. Por ejemplo:

¿Es cierto que $(x + 3)^2 = x^2 + 3^2$?

Para comprobarlo, calculá el valor numérico de ambas expresiones para $x = 2$ y explicá si los resultados son iguales o diferentes.

Completa los huecos en blanco para que las siguientes igualdades sean correctas:

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + \dots x + 16$

1. b) $(a - \dots)^2 = a^2 - 6a + 9$

1. c) $(y + 5)(y - 5) = y^2 - \dots$

Desarrollá las siguientes expresiones utilizando los productos notables para convertirlas en un polinomio ordenado:

1. a) $(3x + 5)^2$

1. b) $(2x - 7y)^2$

1. c) $(x^2 + 4) \cdot (x^2 - 4)$

1. d) $(\frac{x}{2} - 6)^2$

Relaciona en tu cuaderno cada producto notable con su expresión desarrollada correspondiente:

• A. $(x + 2)^2$

• B. $(x - 2)^2$

• C. $(x + 2)(x - 2)$

• $x^2 - 4$

• $x^2 + 4x + 4$

• $x^2 - 4x + 4$

Los productos notables también sirven para realizar cálculos mentales rápidos con números grandes. Utilizá la identidad del producto de una suma por una diferencia $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2$ para calcular los siguientes productos de forma ingeniosa:

1. a) $52 \cdot 48$ (Pista: considerá $50 + 2$ y $50 - 2$)

1. b) $99 \cdot 101$

1. c) $35 \cdot 25$

Observá la siguiente figura que representa un cuadrado de lado $(x + 3)$ al que se le recortó un cuadrado interior de lado $(x - 1)$. Utilizá los productos notables para escribir una expresión simplificada que represente el área sombreada en color naranja.

Una intendencia quiere diseñar una nueva plaza cuadrada. En el centro habrá una zona ajardinada, también cuadrada, rodeada por un camino de baldosas de ancho constante.

Si el lado total de la plaza mide $(3x + 2)$ metros y el lado del jardín central mide $(3x - 2)$ metros, calculá el polinomio simplificado que representa el área destinada únicamente al camino de baldosas.

Halla el área de la zona sombreada en la siguiente figura. Expresa el resultado como un polinomio simplificado en función de $x$. El lado del cuadrado exterior mide $2x+3$ y el lado del cuadrado interior blanco mide $2x-3$.

Un diseñador de aplicaciones está creando un icono cuadrado para una red social. El diseño original tiene un lado de $x$ píxeles. El cliente pide dos cambios: primero, aumentar el lado en $4$ píxeles para añadir un borde decorativo; segundo, crear una versión reducida donde cada lado mide $4$ píxeles menos que el original.

Halla el polinomio que representa la diferencia de áreas entre el icono ampliado y el icono reducido en función de $x$.

Nadia y Diego están haciendo los deberes de matemáticas y han cometido algunos errores comunes. Identifica cuál de las siguientes igualdades es incorrecta y corrígela en tu cuaderno explicando por qué está mal:

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + 16$

1. b) $(x - 5) \cdot (x + 5) = x^2 - 25$

1. c) $(2a - 3)^2 = 4a^2 - 12a + 9$

Simplificá al máximo la siguiente expresión algebraica operando primero los productos notables y reduciendo después los términos semejantes:

$E = (2x + 1)^2 - (2x - 1)^2 + (x + 1) \cdot (x - 1)$

Copia y completa en tu cuaderno los términos que faltan para que estas expresiones formen un trinomio cuadrado perfecto o una diferencia de cuadrados:

1. a) $x^2 + 10x + \_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_)^2$

1. b) $25a^2 - \_\_\_\_ + 1 = (\_\_\_\_ - 1)^2$

1. c) $16x^2 - \_\_\_\_ = (\_\_\_\_ + 3y) \cdot (\_\_\_\_ - 3y)$

Desarrollá las siguientes expresiones utilizando los productos notables y simplificá los términos semejantes siempre que sea posible:

1. a) $\left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{4}{5} \right)^2$

1. b) $(2x^3 + 5y)^2 - (2x^3 - 5y)^2$

1. c) $(x^2 - 3)(x^2 + 3) - (x^2 - 1)^2$

Encuentra el término que falta en cada expresión para que el trinomio sea el resultado de un cuadrado de una suma o de una diferencia (cuadrado perfecto). Después, escribe la potencia correspondiente:

1. a) $16x^4 + \dots + 9y^2$

1. b) $\frac{1}{4}x^2 - 5x + \dots$

1. c) $49a^6 - 28a^3b + \dots$

Demuestra algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números enteros consecutivos es siempre igual a la suma de dichos números.

(Pista: llama $x$ al primer número y $x+1$ al siguiente).

Calculá el valor numérico de la expresión $E = (3x + 4y)^2 - (3x - 4y)^2$ para los valores $x = \frac{1}{3}$ e $y = 5$.

Consejo: Simplificá la expresión algebraica utilizando los productos notables antes de sustituir los valores.

En el cubo de la figura, de arista $x$, se trazó la diagonal de una de sus caras y la diagonal principal del cuerpo. Se forma además un hexágono regular al cortar el cubo por un plano $P$ que pasa por los puntos medios de sus aristas.

1. a) Expresá mediante un binomio al cuadrado el área de una cara si la arista aumentara en $2\text{ cm}$.
2. b) Si el área del hexágono se puede expresar como $\frac{3\sqrt{3}}{4} x^2$, demostrá utilizando identidades notables que si la arista fuera $(x+y)$, la nueva área del hexágono sería $\frac{3\sqrt{3}}{4}(x^2 + 2xy + y^2)$.
3. c) Calculá el valor exacto del perímetro del hexágono para $x = 4\text{ cm}$ (simplificá la raíz).

Simplificá las siguientes fracciones algebraicas utilizando los productos notables para factorizar el numerador y el denominador:

1. a) $\frac{x^2 - 25}{x^2 + 10x + 25}$

1. b) $\frac{9x^2 - 12x + 4}{9x^2 - 4}$

Un fabricante de placas solares ha descubierto que la eficiencia de sus paneles mejora si se utiliza una configuración de celdas que sigue la identidad del producto de una suma por una diferencia.

Si el área total de una placa viene dada por el polinomio $A(x) = 16x^4 - 81y^2$, ¿cuáles son las expresiones algebraicas que representan el largo y el ancho de dicha placa?