Volumen
El club del barrio quiere llenar una piscina. ¿Cuántos litros de agua necesita? ¿Y cuánto dulce de leche entra en un pote? Son preguntas de volumen: el espacio que ocupa un cuerpo.
Prismas y cilindros
Un prisma o un cilindro son como una «pila» de bases iguales, una arriba de otra. Si la base tiene área $A_{base}$ y la pila tiene altura $h$, el volumen es el área de la base por la altura:
$$V = A_{base} \cdot h \qquad \text{Ortoedro: } V = a \cdot b \cdot c \qquad \text{Cilindro: } V = \pi r^2 h$$La base no tiene por qué ser un rectángulo o un círculo: puede ser un triángulo, un trapecio, un hexágono. Primero calculás el área de esa base (como en 7.°) y después multiplicás por la altura del prisma.
El principio de Cavalieri dice que dos cuerpos de igual altura, cuyas secciones paralelas a la base tienen siempre la misma área, tienen el mismo volumen. Por eso un prisma y un cilindro con igual altura e igual área de la base tienen igual volumen, aunque «se vean» distintos.
Compraste un celular nuevo y querés calcular el volumen de su caja para saber cuánto espacio ocupará en tu estante. La caja es un ortoedro (prisma rectangular) con las…
Compraste un celular nuevo y querés calcular el volumen de su caja para saber cuánto espacio ocupará en tu estante. La caja es un ortoedro (prisma rectangular) con las siguientes dimensiones: $16 \text{ cm}$ de largo, $9 \text{ cm}$ de ancho y $5 \text{ cm}$ de alto. Calculá su volumen en $\text{cm}^3$.
Estás de campamento con tus amigos y tienen una carpa con forma de prisma triangular recto. La base de la carpa (el piso) es un triángulo de $2 \text{ m}$ de base y…
Estás de campamento con tus amigos y tienen una carpa con forma de prisma triangular recto. La base de la carpa (el piso) es un triángulo de $2 \text{ m}$ de base y $1,5 \text{ m}$ de altura. Si la carpa tiene una longitud (profundidad) de $3 \text{ m}$, ¿cuál es el volumen de aire que hay dentro de la carpa?
El principio de Cavalieri afirma que dos cuerpos con la misma altura y cuyas secciones a una misma distancia de la base tienen la misma área, poseen el mismo volumen.…
El principio de Cavalieri afirma que dos cuerpos con la misma altura y cuyas secciones a una misma distancia de la base tienen la misma área, poseen el mismo volumen. Compara un prisma hexagonal regular de $20\text{ cm}$ de altura y $30\text{ cm}^2$ de área de la base con un cilindro de la misma altura y el mismo área de la base. Si vertemos $0,5\text{ litros}$ de agua en cada uno, ¿cuál se llenará primero? Justifica tu respuesta calculando el volumen de ambos.
Unidades de volumen y capacidad
Para medir volumen usamos unidades cúbicas: cm³, dm³, m³. Cada paso al siguiente multiplica o divide por $1.000$ (porque son tres dimensiones). La capacidad se mide en litros, y se relaciona así:
| Volumen | Capacidad |
|---|---|
| $1$ cm³ | $1$ ml |
| $1$ dm³ | $1$ L |
| $1$ m³ | $1.000$ L |
Además, $1$ L $= 1.000$ ml y $1$ hectolitro ($1$ hl) $= 100$ L.
Para un proyecto de clase, tienes que estimar cuánta agua cabe en tu mochila escolar. Si suponemos que tu mochila tiene una capacidad de $18.500 \text{ cm}^3$, ¿cuántos…
Para un proyecto de clase, tienes que estimar cuánta agua cabe en tu mochila escolar. Si suponemos que tu mochila tiene una capacidad de $18.500 \text{ cm}^3$, ¿cuántos litros de agua podría contener si fuera totalmente impermeable?
Recuerda que $1 \text{ dm}^3$ es equivalente a $1 \text{ litro}$.
En el laboratorio de ciencias tienen un pequeño acuario con forma de ortoedro. Sus medidas son $40 \text{ cm}$ de largo, $20 \text{ cm}$ de ancho y $25 \text{ cm}$ de…
En el laboratorio de ciencias tienen un pequeño acuario con forma de ortoedro. Sus medidas son $40 \text{ cm}$ de largo, $20 \text{ cm}$ de ancho y $25 \text{ cm}$ de alto. Si lo llenamos de agua hasta una altura de $20 \text{ cm}$, ¿cuántos litros de agua echamos?
Decidiste construir un hormiguero de gel para un proyecto de ciencias. El recipiente tiene forma de ortoedro (prisma rectangular) con unas dimensiones de $25\text{ cm}$…
Decidiste construir un hormiguero de gel para un proyecto de ciencias. El recipiente tiene forma de ortoedro (prisma rectangular) con unas dimensiones de $25\text{ cm}$ de largo, $10\text{ cm}$ de ancho y $18\text{ cm}$ de alto. Si el gel se vende en potes de $0,5\text{ litros}$, ¿cuántos potes completos vas a necesitar comprar para llenar el hormiguero hasta una altura de $15\text{ cm}$?
Porcentajes, volumen conocido y rampas
A veces el problema no te pide el volumen, sino algo que se hace con él.
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Llenado parcial: si el envase se llena al $90\,\%$, multiplicás su volumen por $0{,}9$ (el índice del $90\,\%$).
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Una medida desconocida: si conocés $V$ y dos dimensiones, despejás la que falta (es una ecuación de primer grado): $h = \dfrac{V}{a \cdot b}$.
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Base trapecio: el área de la base es $\dfrac{(B + b) \cdot h_{trapecio}}{2}$ y después multiplicás por el ancho del prisma.
Una conocida marca de batidos ha diseñado un nuevo envase cilíndrico para su edición limitada de verano. El bote tiene un diámetro de $8\text{ cm}$ y una altura de…
Una conocida marca de batidos ha diseñado un nuevo envase cilíndrico para su edición limitada de verano. El bote tiene un diámetro de $8\text{ cm}$ y una altura de $15\text{ cm}$. Si el fabricante indica que el batido ocupa el $90\%$ de la capacidad total del envase para dejar espacio al aire, calcula cuántos mililitros ($ml$) de producto contiene cada bote.
Una piscina municipal con forma de prisma rectangular tiene una capacidad de $1200\text{ m}^3$. Si sabemos que el largo de la piscina es de $50\text{ metros}$ y el ancho…
Una piscina municipal con forma de prisma rectangular tiene una capacidad de $1200\text{ m}^3$. Si sabemos que el largo de la piscina es de $50\text{ metros}$ y el ancho de $12\text{ metros}$, calculá la profundidad (altura) de la piscina. Si la intendencia decide llenarla solo hasta los $4/5$ de su capacidad por seguridad, ¿cuántos litros de agua habrá en la piscina?
Se desea construir una rampa de hormigón para una pista de skate*. La rampa tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio rectángulo. Las bases del trapecio miden…
Se desea construir una rampa de hormigón para una pista de skate. La rampa tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio rectángulo. Las bases del trapecio miden $3\text{ m}$ y $1\text{ m}$, y su altura (longitud de la base de la rampa en el suelo) es de $5\text{ m}$. Si el ancho de la rampa es de $4\text{ m}$, calculá cuántos metros cúbicos de hormigón se necesitan y el costo total si el precio es de $3\,800\text{ \$/m}^3$.
Pirámides y conos: un tercio
Si llenás de agua una pirámide y la vaciás en un prisma de la misma base y la misma altura, necesitás exactamente tres pirámides para llenarlo. Con el cono y el cilindro pasa igual.
$$V_{pirámide} = \frac{A_{base} \cdot h}{3} \qquad\qquad V_{cono} = \frac{\pi r^2 h}{3}$$Tienes un pisapapeles de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. El área de su base cuadrada es de $25 \text{ cm}^2$ y la altura de la pirámide es de…
Tienes un pisapapeles de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. El área de su base cuadrada es de $25 \text{ cm}^2$ y la altura de la pirámide es de $9 \text{ cm}$. Calcula el volumen de cristal necesario para fabricar este pisapapeles.
Para una fiesta de cumpleaños, se han fabricado gorros de cartulina en forma de cono. Si cada gorro tiene un radio de $8 \text{ cm}$ y una altura de $15 \text{ cm}$,…
Para una fiesta de cumpleaños, se han fabricado gorros de cartulina en forma de cono. Si cada gorro tiene un radio de $8 \text{ cm}$ y una altura de $15 \text{ cm}$, ¿qué volumen de aire queda "atrapado" dentro del gorro cuando alguien lo lleva puesto? (Utiliza $\pi \approx 3,14$).
Alturas ocultas: Pitágoras
Muchas veces el problema da la arista lateral de la pirámide o la generatriz del cono, pero no la altura. La altura se halla con un triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras: $a^2 + b^2 = c^2$.
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Cono: altura $h$, radio $r$ y generatriz $g$ forman un triángulo rectángulo con hipotenusa $g$: $h^2 + r^2 = g^2$.
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Pirámide regular: la altura, el radio de la base (distancia del centro a un vértice) y la arista lateral forman un triángulo rectángulo con hipotenusa la arista lateral.
En un cuadrado de lado $l$, el radio de la base es la mitad de la diagonal: $\left(\dfrac{d}{2}\right)^2 = \dfrac{l^2 + l^2}{4} = \dfrac{l^2}{2}$. En un hexágono regular, el radio es igual al lado, y su área es $6$ triángulos equiláteros de lado $l$ (cada uno con altura $\sqrt{l^2 - (l/2)^2}$).
Una empresa de perfumes lanza una fragancia en un frasco con forma de cono recto. El radio de la base es de $3\text{ cm}$ y la generatriz mide $5\text{ cm}$. Calcula el…
Una empresa de perfumes lanza una fragancia en un frasco con forma de cono recto. El radio de la base es de $3\text{ cm}$ y la generatriz mide $5\text{ cm}$. Calcula el volumen de perfume que cabe en el frasco expresado en centímetros cúbicos. Ayuda: primero deberás hallar la altura del cono usando el teorema de Pitágoras.
Para un evento de videojuegos, se ha diseñado un trofeo que consiste en una pirámide cuadrangular regular de bronce. El lado de la base cuadrada mide $12\text{ cm}$ y la…
Para un evento de videojuegos, se ha diseñado un trofeo que consiste en una pirámide cuadrangular regular de bronce. El lado de la base cuadrada mide $12\text{ cm}$ y la arista lateral (la que une el vértice con una esquina de la base) mide $10\text{ cm}$. Calcula el volumen de bronce necesario para fabricar un trofeo.
Calcula el volumen de una pirámide hexagonal regular cuya arista lateral mide $13\text{ cm}$ y el lado de su base mide $10\text{ cm}$. Recuerda que en un hexágono…
Calcula el volumen de una pirámide hexagonal regular cuya arista lateral mide $13\text{ cm}$ y el lado de su base mide $10\text{ cm}$. Recuerda que en un hexágono regular, el radio de la circunferencia circunscrita es igual al lado. Expresa el resultado en $cm^3$ aproximando a las unidades.
La esfera
$$V_{esfera} = \frac{4}{3}\pi r^3$$Una pelota de ping-pong tiene un radio de $2 \text{ cm}$. Calcula el volumen de la pelota de ping-pong en $\text{cm}^3$. (Utiliza la fórmula del volumen de la esfera…
Una pelota de ping-pong tiene un radio de $2 \text{ cm}$. Calcula el volumen de la pelota de ping-pong en $\text{cm}^3$. (Utiliza la fórmula del volumen de la esfera $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ y toma $\pi \approx 3,14$).
En un museo de ciencia hay una exhibición interactiva con una esfera de cristal llena de un gas noble. Si el diámetro de la esfera es de $60\text{ cm}$, ¿cuál es el…
En un museo de ciencia hay una exhibición interactiva con una esfera de cristal llena de un gas noble. Si el diámetro de la esfera es de $60\text{ cm}$, ¿cuál es el volumen de gas en su interior? Expresa el resultado en metros cúbicos ($m^3$).
Cuerpos compuestos
Muchos objetos combinan varios cuerpos: un silo (cilindro + semiesfera), un trofeo (prisma + pirámide), un frasco (cilindro + cono). Se descomponen, se calcula el volumen de cada parte y se suman.
La semiesfera es la mitad de una esfera: $V = \dfrac{2}{3}\pi r^3$.
Otro caso: un cuerpo sumergido desplaza un volumen de agua igual al suyo.
Un silo de almacenamiento de grano tiene una forma compuesta: un cuerpo cilíndrico de $10\text{ m}$ de altura y una cúpula semiesférica en la parte superior. Si el radio…
Un silo de almacenamiento de grano tiene una forma compuesta: un cuerpo cilíndrico de $10\text{ m}$ de altura y una cúpula semiesférica en la parte superior. Si el radio de la base es de $4\text{ m}$, calcula la capacidad total del silo en hectolitros ($hl$).
Una empresa de perfumes vende su fragancia estrella en un frasco que consiste en un cilindro de cristal de $4\text{ cm}$ de diámetro y $10\text{ cm}$ de altura, rematado…
Una empresa de perfumes vende su fragancia estrella en un frasco que consiste en un cilindro de cristal de $4\text{ cm}$ de diámetro y $10\text{ cm}$ de altura, rematado por un tapón en forma de cono de la misma base y $3\text{ cm}$ de altura. Si el frasco se llena solo hasta el $85\%$ de su capacidad total para dejar espacio al aire, ¿cuántos mililitros ($ml$) de perfume contiene cada frasco? (Toma $\pi \approx 3,1416$).
En el laboratorio de física, los alumnos sumergen completamente una esfera de plomo en un recipiente cilíndrico lleno de agua hasta la mitad. El radio del recipiente es…
En el laboratorio de física, los alumnos sumergen completamente una esfera de plomo en un recipiente cilíndrico lleno de agua hasta la mitad. El radio del recipiente es de $10\text{ cm}$. Al introducir la esfera, el nivel del agua sube exactamente $4,5\text{ cm}$ sin llegar a desbordarse. ¿Cuál es el radio de la esfera de plomo? Expresa el resultado en centímetros con dos decimales.
Huecos, troncos y densidad
Si el cuerpo tiene un hueco, restás: el volumen del cuerpo entero menos el del hueco. Lo mismo para el tronco de pirámide (o de cono): es una pirámide grande a la que le sacaste la punta, y se calcula restando la pirámide chica de la grande.
La pirámide chica es semejante a la grande, así que por Thales las medidas se mantienen en la misma proporción: si la base grande mide el doble que la chica, la altura total también es el doble de la altura de la punta cortada.
Masa y densidad: la masa es $m = \text{densidad} \cdot V$. Si la densidad está en g/cm³ y el volumen en cm³, la masa sale en gramos; para pasar a kg dividís entre $1.000$.
Una pieza industrial de acero tiene forma de ortoedro de dimensiones $10\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 6\text{ cm}$. Para alivianar su peso, se le hizo un orificio…
Una pieza industrial de acero tiene forma de ortoedro de dimensiones $10\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 6\text{ cm}$. Para alivianar su peso, se le hizo un orificio cilíndrico que atraviesa la pieza de arriba a abajo por su cara más grande. El radio del cilindro es de $2\text{ cm}$. Sabiendo que la densidad del acero es de $7,85\text{ g/cm}^3$, calculá la masa total de la pieza en kilogramos. (Tomá $\pi \approx 3,14$).
Un depósito de agua tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las aristas de las bases miden $4\text{ m}$ y $2\text{ m}$ respectivamente. La altura del…
Un depósito de agua tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las aristas de las bases miden $4\text{ m}$ y $2\text{ m}$ respectivamente. La altura del depósito es de $3\text{ m}$. Si el depósito está lleno hasta las tres cuartas partes de su altura (es decir, el agua alcanza los $2,25\text{ m}$ desde la base), ¿cuántos litros de agua contiene? (Nota: Tendrás que usar la semejanza para hallar el lado de la superficie del agua).
Un fabricante de helados quiere comparar dos recipientes. El primero tiene forma de cono de $6\text{ cm}$ de radio y $15\text{ cm}$ de altura. El segundo es un cilindro…
Un fabricante de helados quiere comparar dos recipientes. El primero tiene forma de cono de $6\text{ cm}$ de radio y $15\text{ cm}$ de altura. El segundo es un cilindro con el mismo radio y la misma altura, pero dentro contiene una semiesfera de chocolate que ocupa la parte inferior. Si el radio de la semiesfera es también de $6\text{ cm}$, ¿cuál de los dos recipientes tiene mayor volumen disponible para el helado de vainilla? Razona la respuesta realizando los cálculos.
Volvé al principio: una piscina de $10$ m de largo, $5$ m de ancho y $2$ m de profundidad es un ortoedro: $10 \cdot 5 \cdot 2 = 100$ m³, que son $100.000$ L de agua. Y en el cucurucho entra un tercio de lo que entraría en el cilindro de igual base y altura.