Fracción generatriz de un número decimal
Mateo programa un videojuego en su ceibalita. El motor le devuelve la probabilidad de que aparezca un objeto raro como $0{,}02\overline{45}$, pero el código pide una fracción irreducible exacta. ¿Qué fracción tiene que escribir? Para contestar, vas a aprender a pasar cualquier decimal periódico a fracción y a usar esa fracción para operar y comparar sin errores de aproximación.
Tres tipos de expresión decimal
Todo número racional se puede escribir como fracción y también como decimal. Al dividir el numerador entre el denominador pueden pasar tres cosas:
La parte entera es lo que está antes de la coma. No forma parte del período ni del anteperíodo.
Clasifica los siguientes números según sean decimales exactos, periódicos puros o periódicos mixtos. Después, indica para cada uno de ellos cuál es su parte entera y, si…
Clasifica los siguientes números según sean decimales exactos, periódicos puros o periódicos mixtos. Después, indica para cada uno de ellos cuál es su parte entera y, si tienen, su periodo y su anteperiodo.
- a) $2,75$
- b) $1,\widehat{6}$
- c) $0,1\widehat{25}$
- d) $34,\widehat{09}$
Decimales exactos
Un decimal exacto es una fracción con denominador $10$, $100$, $1.000$… Leído en voz alta, ya lo dice: $0{,}75$ son «setenta y cinco centésimas».
Calcula la fracción generatriz de estos decimales exactos. No olvides simplificar la fracción hasta llegar a la fracción irreducible. a) $0,8$ b) $1,25$ c) $0,064$ d)…
Calcula la fracción generatriz de estos decimales exactos. No olvides simplificar la fracción hasta llegar a la fracción irreducible.
- a) $0,8$
- b) $1,25$
- c) $0,064$
- d) $12,5$
Un reloj inteligente marca que has completado el $0,65$ de tu objetivo diario de pasos, como muestra el anillo de la figura. ¿Qué fracción del total de pasos representa…
Un reloj inteligente marca que has completado el $0,65$ de tu objetivo diario de pasos, como muestra el anillo de la figura. ¿Qué fracción del total de pasos representa esta cantidad? Expresa el resultado como una fracción irreducible.
Periódicos puros
Ahora el período se repite sin fin. ¿Cómo lo convertís en algo finito? Con un truco algebraico: multiplicar por una potencia de $10$ y restar.
Con el período de dos cifras multiplicás por $100$; con tres cifras, por $1.000$. Siempre queda $10^n x - x = (10^n - 1)x$, y $10^n - 1$ son $n$ nueves. De ahí sale la regla corta.
Halla la fracción generatriz de los siguientes números decimales periódicos puros: a) $0,\widehat{4}$ b) $0,\widehat{15}$ c) $2,\widehat{3}$ d) $1,\widehat{72}$
Halla la fracción generatriz de los siguientes números decimales periódicos puros:
- a) $0,\widehat{4}$
- b) $0,\widehat{15}$
- c) $2,\widehat{3}$
- d) $1,\widehat{72}$
Ayer llovió mucho y el pluviómetro del liceo recogió un total de $3,\widehat{3}$ litros por metro cuadrado. ¿Cómo expresarías esa cantidad exacta de agua usando una…
Ayer llovió mucho y el pluviómetro del liceo recogió un total de $3,\widehat{3}$ litros por metro cuadrado. ¿Cómo expresarías esa cantidad exacta de agua usando una fracción?
Halla la fracción generatriz del número decimal periódico puro $12,\widehat{3}$. Para ello, sigue el método algebraico llamando $x$ al número y multiplicando por la…
Halla la fracción generatriz del número decimal periódico puro $12,\widehat{3}$. Para ello, sigue el método algebraico llamando $x$ al número y multiplicando por la potencia de 10 adecuada para restar las expresiones y eliminar la parte decimal. No olvides simplificar el resultado.
Periódicos mixtos
Si hay anteperíodo, primero hay que «correr la coma» hasta el comienzo del período, y después otra vez para pasar un período entero.
Expresa en forma de fracción irreducible los siguientes decimales periódicos mixtos: a) $0,1\widehat{6}$ b) $1,2\widehat{3}$ c) $0,0\widehat{5}$ d) $2,1\widehat{45}$
Expresa en forma de fracción irreducible los siguientes decimales periódicos mixtos:
- a) $0,1\widehat{6}$
- b) $1,2\widehat{3}$
- c) $0,0\widehat{5}$
- d) $2,1\widehat{45}$
Un "streamer" de Twitch ha calculado que la duración media de sus suscripciones es de $2,41\hat{6}$ meses. Si quiere expresar este tiempo de forma exacta para su informe…
Un "streamer" de Twitch ha calculado que la duración media de sus suscripciones es de $2,41\hat{6}$ meses. Si quiere expresar este tiempo de forma exacta para su informe trimestral:
-
Identifica de qué tipo de número decimal se trata.
-
Calcula su fracción generatriz siguiendo los pasos del método de las potencias de 10.
-
Simplifica la fracción hasta que sea irreducible.
Observa la siguiente recta numérica donde se han señalado tres puntos: $A$, $B$ y $C$. El punto $B$ representa al número decimal $1,2\widehat{7}$. Halla su fracción…
Observa la siguiente recta numérica donde se han señalado tres puntos: $A$, $B$ y $C$. El punto $B$ representa al número decimal $1,2\widehat{7}$. Halla su fracción generatriz irreducible y razona entre qué dos números enteros se encuentra dicho punto.
Usar la generatriz para operar sin aproximar
Un decimal periódico escrito con pocas cifras es una aproximación. Si operás con esa aproximación, el error se arrastra al resultado, y la calculadora también redondea. La fracción generatriz es el valor exacto.
Con raíces y potencias, el truco es el mismo. Por ejemplo, $\sqrt{0{,}25} = \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$, y $(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$. Convertí cada pieza a fracción y recién después operá, respetando la jerarquía de las operaciones.
Calcula el resultado de la siguiente operación pasando primero los números decimales a fracción generatriz y operando después: $$\frac{1}{3} + 0,\widehat{6}$$
Calcula el resultado de la siguiente operación pasando primero los números decimales a fracción generatriz y operando después:
$$\frac{1}{3} + 0,\widehat{6}$$Calcula el valor de la siguiente expresión de forma exacta. Para ello, primero debes transformar cada número decimal en su respectiva fracción generatriz irreducible:…
Calcula el valor de la siguiente expresión de forma exacta. Para ello, primero debes transformar cada número decimal en su respectiva fracción generatriz irreducible:
$$1,25 - 0,\hat{3} \cdot \left( \frac{1}{2} + 0,1\hat{6} \right)$$Calcula el valor exacto de la siguiente expresión combinada. Para evitar errores de aproximación, transforma cada número decimal en su respectiva fracción generatriz…
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión combinada. Para evitar errores de aproximación, transforma cada número decimal en su respectiva fracción generatriz antes de operar y simplifica el resultado hasta obtener una fracción irreducible:
$$L = \frac{1,2\widehat{6} \cdot \sqrt{0,25}}{(-2)^{-2} + 0,8\widehat{3}}$$Comparar valores usando la generatriz
Cuando dos números están muy cerca, o uno es decimal y el otro fracción, conviene pasar ambos a fracción y buscar denominador común.
Así se cierra el gancho: Mateo tiene que escribir $\frac{27}{1.100}$ en su código, y esa probabilidad es apenas menor que $\frac{1}{40}$.
Amina y Marcos están comparando cuánto han avanzado en la lectura de un libro. Amina dice que ha leído $\frac{3}{4}$ del libro, y Marcos dice que ha leído $0,75$ partes.…
Amina y Marcos están comparando cuánto han avanzado en la lectura de un libro. Amina dice que ha leído $\frac{3}{4}$ del libro, y Marcos dice que ha leído $0,75$ partes.
Calcula la fracción generatriz del número de Marcos y comprueba si realmente han leído lo mismo.
En una clase de Educación Física, tres alumnos han cronometrado cuánto tardan en recorrer 100 metros lisos. Los tiempos obtenidos son: Sara: $12,5$ segundos. Iván:…
En una clase de Educación Física, tres alumnos han cronometrado cuánto tardan en recorrer 100 metros lisos. Los tiempos obtenidos son:
-
Sara: $12,5$ segundos.
-
Iván: $12,\hat{5}$ segundos.
-
Kenia: $12,0\hat{5}$ segundos.
Expresa el tiempo de cada alumno en forma de fracción generatriz irreducible y ordénalos de más rápido a más lento.
Un joven programador está diseñando un videojuego y necesita definir la probabilidad de que aparezca un objeto raro. El código requiere que la probabilidad se introduzca…
Un joven programador está diseñando un videojuego y necesita definir la probabilidad de que aparezca un objeto raro. El código requiere que la probabilidad se introduzca como una fracción irreducible, pero el motor gráfico le devuelve el valor en formato decimal periódico mixto: $P = 0,02\widehat{45}$.
Halla la fracción generatriz que debe introducir el programador y justifica si dicha probabilidad es mayor o menor que $\frac{1}{40}$.
Razonar con la generatriz
Con la fracción irreducible podés responder preguntas sobre el decimal sin calcularlo.
Otro uso es reconocer si una fracción corresponde a un decimal dado. Calculá la generatriz de cada candidato, o hacé la división, y compará. Para $0{,}\overline{45}$, la fracción $\frac{45}{99}$ da $\frac{5}{11}$.
Relaciona en tu cuaderno cada número decimal con su fracción generatriz irreducible correspondiente. Ten cuidado, hay una fracción que no corresponde a ninguno de los…
Relaciona en tu cuaderno cada número decimal con su fracción generatriz irreducible correspondiente. Ten cuidado, hay una fracción que no corresponde a ninguno de los números:
| Número Decimal | Fracción Generatriz |
|---|---|
| $0,\widehat{45}$ | $\frac{9}{20}$ |
| $0,45$ | $\frac{41}{90}$ |
| $0,4\widehat{5}$ | $\frac{5}{11}$ |
| $\frac{1}{2}$ |
Sabemos que en el sistema de numeración decimal, el número $0,\widehat{9}$ es igual a $1$. Demuéstralo utilizando el algoritmo de la fracción generatriz. A continuación,…
Sabemos que en el sistema de numeración decimal, el número $0,\widehat{9}$ es igual a $1$. Demuéstralo utilizando el algoritmo de la fracción generatriz.
A continuación, utiliza esa misma lógica para razonar a qué número decimal exacto equivale el decimal periódico mixto $4,2\widehat{9}$ y comprueba tu respuesta realizando la suma $4,2 + 0,0\widehat{9}$ mediante fracciones.
Un concurso de televisión propone el siguiente reto: "Busca el número natural más pequeño, distinto de cero, que, al multiplicarlo por el decimal periódico mixto…
Un concurso de televisión propone el siguiente reto: "Busca el número natural más pequeño, distinto de cero, que, al multiplicarlo por el decimal periódico mixto $0,1\widehat{36}$, dé como resultado un número entero". ¿Qué número es el que buscan? Explica los pasos seguidos.