Cuerpos redondos
El termo del mate, un cucurucho de helado, una pelota de básquetbol. Ninguno tiene caras planas como un poliedro: son cuerpos redondos. En esta página vas a aprender a describirlos y a calcular cuánto material lleva fabricarlos (área) y cuánto les entra (volumen). Un termo de 1 litro, ¿qué medidas tiene? Lo vemos al final.
Los tres cuerpos redondos
Ninguno es un poliedro: todos tienen una superficie curva. El cilindro y el cono tienen además bases planas (círculos). La esfera no tiene ninguna cara plana.
También se llaman figuras de revolución, porque se generan haciendo girar una figura plana una vuelta completa alrededor de una recta, el eje:
| Figura plana | Eje de giro | Cuerpo |
|---|---|---|
| Rectángulo | uno de sus lados | cilindro |
| Triángulo rectángulo | uno de sus catetos | cono |
| Trapecio rectángulo | el lado perpendicular a las bases | tronco de cono |
| Semicírculo | su diámetro | esfera |
Imagina que eres un diseñador gráfico y estás creando un logotipo en 3D. Para ello, haces girar un rectángulo de $5 \text{ cm}$ de base y $12 \text{ cm}$ de altura…
Imagina que eres un diseñador gráfico y estás creando un logotipo en 3D. Para ello, haces girar un rectángulo de $5 \text{ cm}$ de base y $12 \text{ cm}$ de altura alrededor de uno de sus lados más largos (el lado de $12 \text{ cm}$), como muestra la figura.
- a) Dibuja el cuerpo de revolución que se obtiene.
- b) Identifica cómo se llaman sus elementos principales (base y altura) e indica cuánto mide cada uno.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Observa las tres figuras planas A, B y C. Cada una gira una vuelta completa alrededor del eje discontinuo que tiene dibujado. Identifica cuál de ellas da lugar a un…
Observa las tres figuras planas A, B y C. Cada una gira una vuelta completa alrededor del eje discontinuo que tiene dibujado. Identifica cuál de ellas da lugar a un tronco de cono. Explica brevemente por qué has elegido esa opción.
Elementos del cilindro y del cono
Como $r$, $h$ y $g$ forman un triángulo rectángulo, vale el teorema de Pitágoras: $g^2 = r^2 + h^2$.
Para una fiesta de disfraces, quieres fabricar un gorro cónico. Has medido el radio de la base, que es de $9 \text{ cm}$, y la altura del gorro, que será de…
Para una fiesta de disfraces, quieres fabricar un gorro cónico. Has medido el radio de la base, que es de $9 \text{ cm}$, y la altura del gorro, que será de $12 \text{ cm}$. Utiliza el Teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la generatriz ($g$) que necesitarás para trazar el desarrollo en la cartulina.
Área del cilindro y del cono
Para saber cuánto material hace falta, desplegamos el cuerpo sobre el plano.
El cilindro se despliega en un rectángulo y dos círculos. El rectángulo mide $2\pi r$ de base (es el largo de la circunferencia de la base) y $h$ de altura.
El cono se despliega en un círculo (la base) y un sector circular. Ese sector tiene radio $g$ y su arco mide $2\pi r$, y su área es $\pi r g$.
Una famosa marca de papas fritas utiliza tubos cilíndricos. Si el radio de la base del tubo es de $4 \text{ cm}$ y su altura es de $20 \text{ cm}$, calculá el área de la…
Una famosa marca de papas fritas utiliza tubos cilíndricos. Si el radio de la base del tubo es de $4 \text{ cm}$ y su altura es de $20 \text{ cm}$, calculá el área de la etiqueta de papel que rodea lateralmente el tubo (área lateral). Tomá $\pi \approx 3,14$.
Observa el desarrollo plano de un cilindro. Se sabe que el área de una de sus bases circulares es de $28,26\text{ cm}^2$ y que la altura del rectángulo lateral es de…
Observa el desarrollo plano de un cilindro. Se sabe que el área de una de sus bases circulares es de $28,26\text{ cm}^2$ y que la altura del rectángulo lateral es de $10\text{ cm}$. Calcula:
- a) El radio de la base.
- b) El área lateral del cilindro.
- c) El área total.
(Usa $\pi \approx 3,14$).
Se está fabricando una carpa provisional para un evento con forma de cono perfecto. La altura de la carpa desde el suelo hasta el vértice superior es de $4\text{ m}$ y…
Se está fabricando una carpa provisional para un evento con forma de cono perfecto. La altura de la carpa desde el suelo hasta el vértice superior es de $4\text{ m}$ y el diámetro de la base circular es de $6\text{ m}$. ¿Cuántos metros cuadrados de lona se han necesitado para cubrir solo la parte lateral de la carpa? (Dato: Primero deberás hallar la generatriz usando el Teorema de Pitágoras).
La esfera
La esfera solo tiene un elemento: el radio $r$, la distancia del centro a cualquier punto de la superficie. El diámetro es $d = 2r$.
Una pelota de básquetbol tiene un diámetro de $24 \text{ cm}$. ¿Cuál es la superficie total de cuero necesaria para fabricarla? Recordá que el radio es la mitad del…
Una pelota de básquetbol tiene un diámetro de $24 \text{ cm}$. ¿Cuál es la superficie total de cuero necesaria para fabricarla? Recordá que el radio es la mitad del diámetro y utilizá la fórmula del área de la esfera $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$. (Usá $\pi \approx 3,14$).
En una clase de geografía, observamos un globo terráqueo. Si sabemos que la longitud del ecuador (circunferencia máxima) es de aproximadamente $62,8 \text{ cm}$, ¿cuál…
En una clase de geografía, observamos un globo terráqueo. Si sabemos que la longitud del ecuador (circunferencia máxima) es de aproximadamente $62,8 \text{ cm}$, ¿cuál es el radio de esa esfera? (Utiliza $\pi \approx 3,14$).
Una famosa marca de chocolates vende sus bombones en una caja con forma de esfera de $10\text{ cm}$ de diámetro. Si la caja está llena hasta el $75\%$ de su capacidad…
Una famosa marca de chocolates vende sus bombones en una caja con forma de esfera de $10\text{ cm}$ de diámetro. Si la caja está llena hasta el $75\%$ de su capacidad con chocolate líquido, ¿cuántos centímetros cúbicos de chocolate hay en su interior? Expresa el resultado redondeando a las centésimas.
Volumen del cilindro y del cono
El volumen mide cuántas unidades cúbicas entran en el cuerpo. En un cilindro se «apilan» capas iguales a la base, tantas como indica la altura.
¿Por qué un tercio? Un cono con la misma base y la misma altura que un cilindro ocupa exactamente la tercera parte: si lo llenás de agua tres veces, llenás el cilindro.
Vuelta al termo: con $r = 5$ cm y $h = 13$ cm, $V = \pi \cdot 25 \cdot 13 \approx 3{,}14 \cdot 325 = 1.020{,}5$ cm³, que es casi 1 litro.
Un bote de refresco tiene forma cilíndrica. El radio de su base mide $3 \text{ cm}$ y su altura es de $12 \text{ cm}$. Calcula el volumen de refresco que puede contener…
Un bote de refresco tiene forma cilíndrica. El radio de su base mide $3 \text{ cm}$ y su altura es de $12 \text{ cm}$. Calcula el volumen de refresco que puede contener si se llena por completo. Expresa el resultado en centímetros cúbicos ($cm^3$).
Un barquillo de helado tiene forma de cono. Si el área de la base es de $25 \text{ cm}^2$ y la altura del barquillo es de $10 \text{ cm}$, calcula su volumen. Recuerda…
Un barquillo de helado tiene forma de cono. Si el área de la base es de $25 \text{ cm}^2$ y la altura del barquillo es de $10 \text{ cm}$, calcula su volumen. Recuerda que el volumen de un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro con la misma base y altura: $V = \frac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot h$.
Un envase de perfume tiene forma de cilindro de $10\text{ cm}$ de altura. En su interior, el cristal tiene una forma cónica invertida que llega exactamente hasta el…
Un envase de perfume tiene forma de cilindro de $10\text{ cm}$ de altura. En su interior, el cristal tiene una forma cónica invertida que llega exactamente hasta el fondo y cuya base coincide con la tapa del cilindro. Si el radio del envase es de $3\text{ cm}$, calcula qué porcentaje del volumen total del cilindro está ocupado por el perfume cuando el envase está lleno. ¿Depende este porcentaje del radio y la altura elegidos? Razona tu respuesta.
El tronco de cono
Si a un cono le cortás la punta con un plano paralelo a la base, lo que queda es un tronco de cono. Tiene dos bases circulares, de radios $R$ (mayor) y $r$ (menor), una altura $h$ y una generatriz $g$.
¿Por qué? Desplegado, el lateral es como un trapecio curvo: su ancho es $g$ y su «largo medio» es el promedio de los dos arcos, $\frac{2\pi R + 2\pi r}{2} = \pi(R + r)$.
Una empresa de diseño de interiores fabrica tulipas para lámparas con forma de tronco de cono. El radio de la base superior es de $12\text{ cm}$, el de la base inferior…
Una empresa de diseño de interiores fabrica tulipas para lámparas con forma de tronco de cono. El radio de la base superior es de $12\text{ cm}$, el de la base inferior es de $20\text{ cm}$ y la altura de la tulipa es de $15\text{ cm}$. Si el material especial de tela cuesta $740\text{ \$/m}^2$, calculá el costo del material necesario para fabricar 25 tulipas iguales (tené en cuenta que la tulipa no tiene bases, es solo la superficie lateral).
Cuerpos compuestos
Muchos objetos son un cuerpo pegado a otro. Para calcular su área y su volumen:
-
Volumen: se suman los volúmenes de las partes.
-
Área: se suman las áreas de las superficies que quedan a la vista. Las bases que se pegan entre sí no se cuentan.
Una semiesfera tiene la mitad del volumen, $\frac{2}{3}\pi r^3$, y como superficie curva $2\pi r^2$ (la mitad de $4\pi r^2$).
Calcula el volumen de una pieza de madera que se ha formado uniendo un cilindro y una semiesfera (media esfera). El cilindro tiene una altura de $10\text{ cm}$ y el…
Calcula el volumen de una pieza de madera que se ha formado uniendo un cilindro y una semiesfera (media esfera). El cilindro tiene una altura de $10\text{ cm}$ y el radio de su base es de $4\text{ cm}$. La semiesfera se apoya exactamente sobre la base superior del cilindro.
Un helado de cucurucho tiene forma de cono. El barquillo tiene una profundidad (altura) de $12\text{ cm}$ y el radio de la abertura es de $3\text{ cm}$. Si el helado…
Un helado de cucurucho tiene forma de cono. El barquillo tiene una profundidad (altura) de $12\text{ cm}$ y el radio de la abertura es de $3\text{ cm}$. Si el helado llena el interior del cucurucho y además sobresale una bola perfecta en la parte superior que tiene el mismo radio que el cono, calcula el volumen total de helado.
Calcula el área de la superficie de un "cono de helado" compuesto por un cono recto de $12\text{ cm}$ de altura y $5\text{ cm}$ de radio de la base, coronado por una…
Calcula el área de la superficie de un "cono de helado" compuesto por un cono recto de $12\text{ cm}$ de altura y $5\text{ cm}$ de radio de la base, coronado por una semiesfera perfecta que encaja exactamente en la base del cono. Si queremos envolver el helado (cono y semiesfera) con un papel protector, ¿qué superficie mínima de papel necesitaremos?
Restar volúmenes y calcular la masa
A veces hay que restar. Si un cilindro es hueco, el volumen del material es el del cilindro exterior menos el del cilindro interior. Si metés un objeto en un recipiente con agua, el volumen que sube el agua es igual al volumen del objeto sumergido.
De volumen a masa: la densidad
Un objeto de acero pesa mucho más que uno de madera del mismo tamaño. La densidad dice cuánta masa hay en cada unidad de volumen. El acero tiene unos $7850$ kg/m³: cada metro cúbico de acero tiene $7850$ kg de masa.
¿Por qué? Si 1 m³ tiene 7850 kg, 2 m³ tienen el doble, y así: la masa es proporcional al volumen, y la densidad es la constante de proporcionalidad.
Un rodillo de apisonadora de acero tiene forma de cilindro con un diámetro de $1,2\text{ metros}$ y una longitud de $2,5\text{ metros}$. El acero tiene una densidad de…
Un rodillo de apisonadora de acero tiene forma de cilindro con un diámetro de $1,2\text{ metros}$ y una longitud de $2,5\text{ metros}$. El acero tiene una densidad de $7850\text{ kg/m}^3$. Si el rodillo es hueco y el espesor del acero es de $10\text{ cm}$ en todo su contorno (excepto en las caras laterales que se consideran despreciables), calcula la masa total del rodillo en toneladas.
Una esfera de cristal de $15\text{ cm}$ de radio se introduce en un recipiente cilíndrico de $32\text{ cm}$ de diámetro que contiene agua. Si la esfera se sumerge…
Una esfera de cristal de $15\text{ cm}$ de radio se introduce en un recipiente cilíndrico de $32\text{ cm}$ de diámetro que contiene agua. Si la esfera se sumerge completamente hasta el fondo, ¿cuántos centímetros subirá el nivel del agua en el recipiente? Expresa el resultado redondeando a las centésimas.
Se desea construir un depósito para cereales que consta de un cuerpo cilíndrico de $4\text{ m}$ de altura y $3\text{ m}$ de radio, rematado en su parte inferior por un…
Se desea construir un depósito para cereales que consta de un cuerpo cilíndrico de $4\text{ m}$ de altura y $3\text{ m}$ de radio, rematado en su parte inferior por un cono del mismo radio y una generatriz de $5\text{ m}$ para facilitar la descarga. Calcula el volumen total de almacenamiento del depósito y la superficie total de chapa necesaria para fabricarlo (incluyendo la tapa superior plana del cilindro).
Cortar un cuerpo redondo
Si cortás un cuerpo redondo con un plano, la figura que aparece depende de cómo lo cortes.
Radio del círculo de corte en una esfera. Si el plano está a una distancia $d$ del centro, el radio $R$ de la esfera, la distancia $d$ y el radio $\rho$ del círculo de corte forman un triángulo rectángulo con hipotenusa $R$. Entonces $\rho^2 = R^2 - d^2$.
Se corta una esfera de madera de $13\text{ cm}$ de radio por un plano horizontal. Si la distancia desde el centro de la esfera hasta el corte es de $5\text{ cm}$, ¿cuál…
Se corta una esfera de madera de $13\text{ cm}$ de radio por un plano horizontal. Si la distancia desde el centro de la esfera hasta el corte es de $5\text{ cm}$, ¿cuál es el radio del círculo que se forma en la sección del corte? (Aplica el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que se forma).
Se ha cortado una esfera de madera de $20\text{ cm}$ de radio por un plano situado a $12\text{ cm}$ del centro. Al separar los dos fragmentos, se obtienen dos casquetes…
Se ha cortado una esfera de madera de $20\text{ cm}$ de radio por un plano situado a $12\text{ cm}$ del centro. Al separar los dos fragmentos, se obtienen dos casquetes esféricos. Calcula el área total (superficie curva más la base circular plana del corte) del casquete esférico más pequeño.
(Pista: utiliza el teorema de Pitágoras para hallar el radio del círculo de la sección).